Номер 276, страница 70 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 9. Свойства степени с целым показателем. Упражнения - номер 276, страница 70.

Условие.

276. Найдите значение выражения:

1) $9^5 \cdot 9^{-7}$;

2) $10^{-8} \cdot 10^{12}$;

3) $3^{-18} : 3^{-21}$;

4) $2^{-9} \cdot 2^{-12} : 2^{-22}$;

5) $(17^4)^{-12} \cdot (17^{-6})^{-8}$;

6) $\frac{6^{-5} \cdot (6^{-3})^4}{(6^{-7})^2 \cdot 6^{-3}}$;

7) $3^{-3} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{-3}$;

8) $\frac{14^{-5}}{7^{-5}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для вычисления значения выражения $9^5 \cdot 9^{-7}$ воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
$9^5 \cdot 9^{-7} = 9^{5 + (-7)} = 9^{5-7} = 9^{-2}$.
Теперь используем определение степени с отрицательным показателем: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
$9^{-2} = \frac{1}{9^2} = \frac{1}{81}$.
Ответ: $\frac{1}{81}$.

2) Применяем свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
$10^{-8} \cdot 10^{12} = 10^{-8+12} = 10^4$.
$10^4 = 10000$.
Ответ: 10000.

3) Для деления степеней с одинаковым основанием используем правило: $a^m : a^n = a^{m-n}$.
$3^{-18} : 3^{-21} = 3^{-18 - (-21)} = 3^{-18+21} = 3^3$.
$3^3 = 27$.
Ответ: 27.

4) Выполним действия последовательно, используя свойства степеней.
Сначала умножение: $2^{-9} \cdot 2^{-12} = 2^{-9+(-12)} = 2^{-21}$.
Затем деление: $2^{-21} : 2^{-22} = 2^{-21 - (-22)} = 2^{-21+22} = 2^1 = 2$.
Ответ: 2.

5) Используем свойство возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
$(17^4)^{-12} = 17^{4 \cdot (-12)} = 17^{-48}$.
$(17^{-6})^{-8} = 17^{-6 \cdot (-8)} = 17^{48}$.
Теперь перемножим полученные результаты: $17^{-48} \cdot 17^{48} = 17^{-48+48} = 17^0 = 1$.
Ответ: 1.

6) Упростим выражение по частям. Сначала числитель, затем знаменатель.
Числитель: $6^{-5} \cdot (6^{-3})^4 = 6^{-5} \cdot 6^{-3 \cdot 4} = 6^{-5} \cdot 6^{-12} = 6^{-5-12} = 6^{-17}$.
Знаменатель: $(6^{-7})^2 \cdot 6^{-3} = 6^{-7 \cdot 2} \cdot 6^{-3} = 6^{-14} \cdot 6^{-3} = 6^{-14-3} = 6^{-17}$.
Теперь разделим числитель на знаменатель: $\frac{6^{-17}}{6^{-17}} = 6^{-17 - (-17)} = 6^0 = 1$.
Ответ: 1.

7) Используем свойство умножения степеней с одинаковым показателем: $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$.
$3^{-3} \cdot (\frac{2}{3})^{-3} = (3 \cdot \frac{2}{3})^{-3} = 2^{-3}$.
Используя определение степени с отрицательным показателем: $2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$.
Ответ: $\frac{1}{8}$.

8) Применим свойство деления степеней с одинаковым показателем: $\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n$.
$\frac{14^{-5}}{7^{-5}} = (\frac{14}{7})^{-5} = 2^{-5}$.
Вычисляем значение: $2^{-5} = \frac{1}{2^5} = \frac{1}{32}$.
Ответ: $\frac{1}{32}$.