Номер 271, страница 67 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 8. Степень с целым отрицательным показателем. Глава 1. Рациональные выражения - номер 271, страница 67.

Условие.

271. Упростите выражение:

1) $-4m^3n^5 \cdot 5m^4n^2$

2) $(-2m^7n^2)^4$

3) $8x^3y^4 \cdot \left(-\frac{1}{2}x^2y^5\right)^3$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы упростить произведение одночленов $-4m^3n^5 \cdot 5m^4n^2$, необходимо сгруппировать и перемножить числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями.

Сначала перемножаем числовые коэффициенты:

$-4 \cdot 5 = -20$

Затем, используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием ($a^x \cdot a^y = a^{x+y}$), перемножаем степени переменной $m$:

$m^3 \cdot m^4 = m^{3+4} = m^7$

Аналогично для переменной $n$:

$n^5 \cdot n^2 = n^{5+2} = n^7$

Собираем полученные результаты вместе, чтобы получить итоговый одночлен:

$-20m^7n^7$

Ответ: $-20m^7n^7$

2) Для упрощения выражения $(-2m^7n^2)^4$ необходимо возвести в четвертую степень каждый множитель, находящийся в скобках. Используем свойство возведения произведения в степень $(abc)^k = a^k b^k c^k$.

Возводим в степень числовой коэффициент:

$(-2)^4 = 16$

Затем, используя свойство возведения степени в степень $(a^x)^y = a^{xy}$, возводим в степень переменные:

$(m^7)^4 = m^{7 \cdot 4} = m^{28}$

$(n^2)^4 = n^{2 \cdot 4} = n^8$

Объединяем все части:

$16m^{28}n^8$

Ответ: $16m^{28}n^8$

3) Чтобы упростить выражение $8x^3y^4 \cdot (-\frac{1}{2}x^2y^5)^3$, начнем с возведения второго множителя в куб.

Возводим в куб одночлен в скобках, применяя правило возведения произведения в степень, а затем правило возведения степени в степень:

$(-\frac{1}{2}x^2y^5)^3 = (-\frac{1}{2})^3 \cdot (x^2)^3 \cdot (y^5)^3 = -\frac{1}{8} \cdot x^{2 \cdot 3} \cdot y^{5 \cdot 3} = -\frac{1}{8}x^6y^{15}$

Теперь исходное выражение принимает вид:

$8x^3y^4 \cdot (-\frac{1}{8}x^6y^{15})$

Теперь перемножим полученные одночлены. Сначала перемножим коэффициенты:

$8 \cdot (-\frac{1}{8}) = -1$

Затем перемножим степени с одинаковыми основаниями:

$x^3 \cdot x^6 = x^{3+6} = x^9$

$y^4 \cdot y^{15} = y^{4+15} = y^{19}$

Соединяем все части вместе. Коэффициент -1 обычно не пишется, остается только знак "минус":

$-x^9y^{19}$

Ответ: $-x^9y^{19}$