Номер 268, страница 67 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 8. Степень с целым отрицательным показателем. Упражнения - номер 268, страница 67.

Условие.

268. Упростите выражение

$\frac{2a^2 + 2}{a^2 - 1} - \frac{a + 1}{a - 1} + \frac{3a - 3}{2a + 2}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для того чтобы упростить данное алгебраическое выражение, необходимо последовательно выполнить следующие шаги: разложить на множители числители и знаменатели дробей, найти общий знаменатель, привести дроби к этому знаменателю, выполнить сложение и вычитание дробей, и в конце сократить полученный результат.

Исходное выражение:

$$ \frac{2a^2 + 2}{a^2 - 1} - \frac{a+1}{a-1} + \frac{3a-3}{2a+2} $$

Сначала разложим на множители числители и знаменатели каждой дроби, где это возможно. Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ и вынесение общего множителя за скобки.

• Первая дробь: $ \frac{2a^2 + 2}{a^2 - 1} = \frac{2(a^2 + 1)}{(a-1)(a+1)} $
• Вторая дробь: $ \frac{a+1}{a-1} $ (остается без изменений)
• Третья дробь: $ \frac{3a-3}{2a+2} = \frac{3(a-1)}{2(a+1)} $

После преобразований выражение принимает вид:

$$ \frac{2(a^2 + 1)}{(a-1)(a+1)} - \frac{a+1}{a-1} + \frac{3(a-1)}{2(a+1)} $$

Теперь найдем наименьший общий знаменатель (НОЗ) для дробей. Знаменатели у нас: $(a-1)(a+1)$, $(a-1)$ и $2(a+1)$. Наименьший общий знаменатель будет произведением всех уникальных множителей в их наивысшей степени, то есть $2(a-1)(a+1)$.

Приведем каждую дробь к общему знаменателю, домножив на соответствующий дополнительный множитель:

• Для первой дроби дополнительный множитель равен 2: $ \frac{2(a^2 + 1) \cdot 2}{2(a-1)(a+1)} = \frac{4a^2 + 4}{2(a-1)(a+1)} $.
• Для второй дроби дополнительный множитель равен $2(a+1)$: $ \frac{(a+1) \cdot 2(a+1)}{(a-1) \cdot 2(a+1)} = \frac{2(a+1)^2}{2(a-1)(a+1)} = \frac{2(a^2+2a+1)}{2(a-1)(a+1)} = \frac{2a^2+4a+2}{2(a-1)(a+1)} $.
• Для третьей дроби дополнительный множитель равен $(a-1)$: $ \frac{3(a-1) \cdot (a-1)}{2(a+1) \cdot (a-1)} = \frac{3(a-1)^2}{2(a-1)(a+1)} = \frac{3(a^2-2a+1)}{2(a-1)(a+1)} = \frac{3a^2-6a+3}{2(a-1)(a+1)} $.

Теперь выполним операции сложения и вычитания с полученными дробями, объединив их под общим знаменателем:

$$ \frac{(4a^2 + 4) - (2a^2 + 4a + 2) + (3a^2 - 6a + 3)}{2(a-1)(a+1)} $$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$$ \frac{4a^2 + 4 - 2a^2 - 4a - 2 + 3a^2 - 6a + 3}{2(a-1)(a+1)} = \frac{(4a^2 - 2a^2 + 3a^2) + (-4a - 6a) + (4 - 2 + 3)}{2(a-1)(a+1)} $$

$$ \frac{5a^2 - 10a + 5}{2(a-1)(a+1)} $$

Упростим числитель, вынеся общий множитель 5 и использовав формулу квадрата разности $ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $:

$$ 5a^2 - 10a + 5 = 5(a^2 - 2a + 1) = 5(a-1)^2 $$

Подставим полученное выражение обратно в дробь:

$$ \frac{5(a-1)^2}{2(a-1)(a+1)} $$

Сократим дробь на общий множитель $(a-1)$, при условии, что $ a \neq 1 $ и $ a \neq -1 $:

$$ \frac{5(a-1)}{2(a+1)} $$

Ответ: $ \frac{5(a-1)}{2(a+1)} $