Номер 268, страница 67 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение, Вентана-граф
Год издания: 2018 - 2022
Цвет обложки: розовый, фиолетовый, голубой с папками
ISBN: 978-5-360-12162-6
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 8 классе
Упражнения. Параграф 8. Степень с целым отрицательным показателем. Глава 1. Рациональные выражения - номер 268, страница 67.
№268 (с. 67)
Условие. №268 (с. 67)
скриншот условия

268. Упростите выражение
$\frac{2a^2 + 2}{a^2 - 1} - \frac{a + 1}{a - 1} + \frac{3a - 3}{2a + 2}$
Решение 1. №268 (с. 67)

Решение 2. №268 (с. 67)

Решение 3. №268 (с. 67)

Решение 5. №268 (с. 67)

Решение 6. №268 (с. 67)

Решение 7. №268 (с. 67)

Решение 8. №268 (с. 67)
Для того чтобы упростить данное алгебраическое выражение, необходимо последовательно выполнить следующие шаги: разложить на множители числители и знаменатели дробей, найти общий знаменатель, привести дроби к этому знаменателю, выполнить сложение и вычитание дробей, и в конце сократить полученный результат.
Исходное выражение:
$$ \frac{2a^2 + 2}{a^2 - 1} - \frac{a+1}{a-1} + \frac{3a-3}{2a+2} $$
Сначала разложим на множители числители и знаменатели каждой дроби, где это возможно. Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ и вынесение общего множителя за скобки.
- Первая дробь: $ \frac{2a^2 + 2}{a^2 - 1} = \frac{2(a^2 + 1)}{(a-1)(a+1)} $
- Вторая дробь: $ \frac{a+1}{a-1} $ (остается без изменений)
- Третья дробь: $ \frac{3a-3}{2a+2} = \frac{3(a-1)}{2(a+1)} $
После преобразований выражение принимает вид:
$$ \frac{2(a^2 + 1)}{(a-1)(a+1)} - \frac{a+1}{a-1} + \frac{3(a-1)}{2(a+1)} $$
Теперь найдем наименьший общий знаменатель (НОЗ) для дробей. Знаменатели у нас: $(a-1)(a+1)$, $(a-1)$ и $2(a+1)$. Наименьший общий знаменатель будет произведением всех уникальных множителей в их наивысшей степени, то есть $2(a-1)(a+1)$.
Приведем каждую дробь к общему знаменателю, домножив на соответствующий дополнительный множитель:
- Для первой дроби дополнительный множитель равен 2: $ \frac{2(a^2 + 1) \cdot 2}{2(a-1)(a+1)} = \frac{4a^2 + 4}{2(a-1)(a+1)} $.
- Для второй дроби дополнительный множитель равен $2(a+1)$: $ \frac{(a+1) \cdot 2(a+1)}{(a-1) \cdot 2(a+1)} = \frac{2(a+1)^2}{2(a-1)(a+1)} = \frac{2(a^2+2a+1)}{2(a-1)(a+1)} = \frac{2a^2+4a+2}{2(a-1)(a+1)} $.
- Для третьей дроби дополнительный множитель равен $(a-1)$: $ \frac{3(a-1) \cdot (a-1)}{2(a+1) \cdot (a-1)} = \frac{3(a-1)^2}{2(a-1)(a+1)} = \frac{3(a^2-2a+1)}{2(a-1)(a+1)} = \frac{3a^2-6a+3}{2(a-1)(a+1)} $.
Теперь выполним операции сложения и вычитания с полученными дробями, объединив их под общим знаменателем:
$$ \frac{(4a^2 + 4) - (2a^2 + 4a + 2) + (3a^2 - 6a + 3)}{2(a-1)(a+1)} $$
Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:
$$ \frac{4a^2 + 4 - 2a^2 - 4a - 2 + 3a^2 - 6a + 3}{2(a-1)(a+1)} = \frac{(4a^2 - 2a^2 + 3a^2) + (-4a - 6a) + (4 - 2 + 3)}{2(a-1)(a+1)} $$
$$ \frac{5a^2 - 10a + 5}{2(a-1)(a+1)} $$
Упростим числитель, вынеся общий множитель 5 и использовав формулу квадрата разности $ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $:
$$ 5a^2 - 10a + 5 = 5(a^2 - 2a + 1) = 5(a-1)^2 $$
Подставим полученное выражение обратно в дробь:
$$ \frac{5(a-1)^2}{2(a-1)(a+1)} $$
Сократим дробь на общий множитель $(a-1)$, при условии, что $ a \neq 1 $ и $ a \neq -1 $:
$$ \frac{5(a-1)}{2(a+1)} $$
Ответ: $ \frac{5(a-1)}{2(a+1)} $
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 268 расположенного на странице 67 к учебнику 2018 - 2022 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №268 (с. 67), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), учебного пособия издательства Просвещение, Вентана-граф.