Номер 269, страница 67 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 8. Степень с целым отрицательным показателем. Глава 1. Рациональные выражения - номер 269, страница 67.

Условие.

269. Можно ли утверждать, что при любом натуральном $n$ значение выражения $(5n + 6.5)^2 - (2n + 0.5)^2$ кратно 42?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Чтобы проверить утверждение, необходимо упростить данное выражение. Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Пусть $a = 5n + 6,5$ и $b = 2n + 0,5$. Тогда:

$(5n + 6,5)^2 - (2n + 0,5)^2 = ((5n + 6,5) - (2n + 0,5)) \cdot ((5n + 6,5) + (2n + 0,5))$

Упростим каждое выражение в скобках:

Первая скобка: $5n + 6,5 - 2n - 0,5 = 3n + 6$

Вторая скобка: $5n + 6,5 + 2n + 0,5 = 7n + 7$

Теперь исходное выражение равно произведению полученных результатов:

$(3n + 6)(7n + 7)$

Вынесем общие множители из каждой скобки:

$3(n + 2) \cdot 7(n + 1)$

Перемножим числовые коэффициенты:

$21(n + 1)(n + 2)$

Нам нужно доказать, что это выражение кратно 42 для любого натурального $n$. Число 42 можно представить как $42 = 21 \cdot 2$. Наше выражение уже содержит множитель 21. Следовательно, для того чтобы доказать кратность 42, нам нужно доказать, что произведение $(n + 1)(n + 2)$ кратно 2.

Выражение $(n + 1)(n + 2)$ представляет собой произведение двух последовательных натуральных чисел. Поскольку $n$ — натуральное число, то из двух последовательных чисел $n + 1$ и $n + 2$ одно всегда будет четным. Если $n$ — нечетное, то $n+1$ — четное. Если $n$ — четное, то $n+2$ — четное. Произведение любого целого числа на четное число всегда является четным, то есть делится на 2.

Таким образом, $(n + 1)(n + 2)$ всегда кратно 2. Это означает, что выражение $21(n + 1)(n + 2)$ всегда кратно $21 \cdot 2$, то есть кратно 42.

Ответ: да, можно утверждать, что при любом натуральном $n$ значение выражения кратно 42.