Номер 274, страница 70 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 9. Свойства степени с целым показателем. Глава 1. Рациональные выражения - номер 274, страница 70.

Условие.

274. Представьте выражение в виде степени с основанием $a$ или произведения степеней с разными основаниями:

1) $a^{-6} \cdot a^{9};$

2) $a^{5} \cdot a^{-8};$

3) $a^{-5} \cdot a^{10} \cdot a^{-12};$

4) $a^{-2} : a^{6};$

5) $a^{7} : a^{-3};$

6) $a^{-3} : a^{-15};$

7) $a^{12} \cdot a^{-20} : a^{-9};$

8) $(a^{-5})^{4};$

9) $(a^{-6})^{-8};$

10) $(a^{2})^{-4} \cdot (a^{-3})^{-2} \cdot (a^{-8})^{3}.$

11) $(a^{4}b^{-2}c^{3})^{-10}.$

12) $(\frac{a^{10}b^{-7}}{c^{6}d^{-14}})^{-2}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для умножения степеней с одинаковым основанием нужно сложить их показатели, используя правило $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
$a^{-6} \cdot a^9 = a^{-6+9} = a^3$.
Ответ: $a^3$.

2) Применяем то же правило, что и в предыдущем примере: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
$a^5 \cdot a^{-8} = a^{5+(-8)} = a^{5-8} = a^{-3}$.
Ответ: $a^{-3}$.

3) Свойство умножения степеней распространяется на любое количество множителей. Складываем все показатели.
$a^{-5} \cdot a^{10} \cdot a^{-12} = a^{-5+10-12} = a^{5-12} = a^{-7}$.
Ответ: $a^{-7}$.

4) При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются, согласно правилу $a^m : a^n = a^{m-n}$.
$a^{-2} : a^6 = a^{-2-6} = a^{-8}$.
Ответ: $a^{-8}$.

5) Используем правило деления степеней $a^m : a^n = a^{m-n}$.
$a^7 : a^{-3} = a^{7-(-3)} = a^{7+3} = a^{10}$.
Ответ: $a^{10}$.

6) Снова применяем правило вычитания показателей при делении степеней.
$a^{-3} : a^{-15} = a^{-3-(-15)} = a^{-3+15} = a^{12}$.
Ответ: $a^{12}$.

7) Выполняем действия последовательно слева направо. Сначала умножение, затем деление.
$a^{12} \cdot a^{-20} : a^{-9} = a^{12-20} : a^{-9} = a^{-8} : a^{-9} = a^{-8-(-9)} = a^{-8+9} = a^1 = a$.
Ответ: $a$.

8) При возведении степени в степень их показатели перемножаются, по правилу $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
$(a^{-5})^4 = a^{-5 \cdot 4} = a^{-20}$.
Ответ: $a^{-20}$.

9) Используем то же правило возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
$(a^{-6})^{-8} = a^{-6 \cdot (-8)} = a^{48}$.
Ответ: $a^{48}$.

10) Сначала упростим каждый множитель, используя правило возведения степени в степень, а затем выполним умножение и деление.
$(a^2)^{-4} = a^{2 \cdot (-4)} = a^{-8}$
$(a^{-3})^{-2} = a^{-3 \cdot (-2)} = a^6$
$(a^{-8})^3 = a^{-8 \cdot 3} = a^{-24}$
Подставляем полученные значения в исходное выражение:
$a^{-8} \cdot a^6 : a^{-24} = a^{-8+6} : a^{-24} = a^{-2} : a^{-24} = a^{-2-(-24)} = a^{-2+24} = a^{22}$.
Ответ: $a^{22}$.

11) Чтобы возвести произведение в степень, нужно возвести в эту степень каждый множитель: $(abc)^n = a^n b^n c^n$. Затем применяем правило $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
$(a^4b^{-2}c^3)^{-10} = (a^4)^{-10} \cdot (b^{-2})^{-10} \cdot (c^3)^{-10} = a^{4 \cdot (-10)}b^{-2 \cdot (-10)}c^{3 \cdot (-10)} = a^{-40}b^{20}c^{-30}$.
Ответ: $a^{-40}b^{20}c^{-30}$.

12) Для возведения дроби в степень, нужно возвести в эту степень и числитель, и знаменатель: $(\frac{x}{y})^n = \frac{x^n}{y^n}$.
$(\frac{a^{10}b^{-7}}{c^6d^{-14}})^{-2} = \frac{(a^{10}b^{-7})^{-2}}{(c^6d^{-14})^{-2}} = \frac{(a^{10})^{-2}(b^{-7})^{-2}}{(c^6)^{-2}(d^{-14})^{-2}}$
Применим правило возведения степени в степень:
$\frac{a^{10 \cdot (-2)}b^{-7 \cdot (-2)}}{c^{6 \cdot (-2)}d^{-14 \cdot (-2)}} = \frac{a^{-20}b^{14}}{c^{-12}d^{28}}$
Представим полученное выражение в виде произведения степеней, используя свойство $ \frac{1}{x^n} = x^{-n} $ и $ \frac{1}{x^{-n}} = x^n $:
$a^{-20}b^{14}c^{12}d^{-28}$.
Ответ: $a^{-20}b^{14}c^{12}d^{-28}$.