Номер 281, страница 71 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 9. Свойства степени с целым показателем. Упражнения - номер 281, страница 71.

Условие.

281. Найдите значение выражения:

1) $9^{-4} \cdot 27^2;$

2) $32^{-5} : 64^{-4};$

3) $\left(2\frac{7}{9}\right)^{-7} \cdot \left(\left(\frac{3}{5}\right)^{-3}\right)^5;$

4) $8^{-2} : 0,5^4;$

5) $\frac{22^6 \cdot 2^{-8}}{44^{-3} \cdot 11^9};$

6) $\frac{10^{-2} \cdot 15^{-4}}{30^{-6}}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы найти значение выражения $9^{-4} \cdot 27^2$, представим основания 9 и 27 в виде степеней числа 3.
$9 = 3^2$
$27 = 3^3$
Подставим эти значения в исходное выражение:
$9^{-4} \cdot 27^2 = (3^2)^{-4} \cdot (3^3)^2$
Воспользуемся свойством степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(3^2)^{-4} = 3^{2 \cdot (-4)} = 3^{-8}$
$(3^3)^2 = 3^{3 \cdot 2} = 3^6$
Теперь выражение имеет вид:
$3^{-8} \cdot 3^6$
При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):
$3^{-8} \cdot 3^6 = 3^{-8+6} = 3^{-2}$
Используя свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем:
$3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$
Ответ: $\frac{1}{9}$.

2) Чтобы найти значение выражения $32^{-5} : 64^{-4}$, представим основания 32 и 64 в виде степеней числа 2.
$32 = 2^5$
$64 = 2^6$
Подставим эти значения в выражение:
$32^{-5} : 64^{-4} = (2^5)^{-5} : (2^6)^{-4}$
Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(2^5)^{-5} = 2^{5 \cdot (-5)} = 2^{-25}$
$(2^6)^{-4} = 2^{6 \cdot (-4)} = 2^{-24}$
Теперь выражение выглядит так:
$2^{-25} : 2^{-24}$
При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются ($a^m : a^n = a^{m-n}$):
$2^{-25} : 2^{-24} = 2^{-25 - (-24)} = 2^{-25+24} = 2^{-1}$
Вычисляем конечный результат:
$2^{-1} = \frac{1}{2}$
Ответ: $\frac{1}{2}$.

3) Рассмотрим выражение $(2\frac{7}{9})^{-7} \cdot ((\frac{3}{5})^{-3})^5$.
Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь:
$2\frac{7}{9} = \frac{2 \cdot 9 + 7}{9} = \frac{18+7}{9} = \frac{25}{9}$
Упростим вторую часть выражения, используя свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$((\frac{3}{5})^{-3})^5 = (\frac{3}{5})^{-3 \cdot 5} = (\frac{3}{5})^{-15}$
Выражение принимает вид:
$(\frac{25}{9})^{-7} \cdot (\frac{3}{5})^{-15}$
Представим дробь $\frac{25}{9}$ как степень дроби $\frac{5}{3}$: $\frac{25}{9} = \frac{5^2}{3^2} = (\frac{5}{3})^2$.
Подставим это в выражение:
$((\frac{5}{3})^2)^{-7} \cdot (\frac{3}{5})^{-15} = (\frac{5}{3})^{2 \cdot (-7)} \cdot (\frac{3}{5})^{-15} = (\frac{5}{3})^{-14} \cdot (\frac{3}{5})^{-15}$
Чтобы привести степени к одному основанию, воспользуемся свойством $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$:
$(\frac{5}{3})^{-14} = (\frac{3}{5})^{14}$
Получаем:
$(\frac{3}{5})^{14} \cdot (\frac{3}{5})^{-15}$
При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются:
$(\frac{3}{5})^{14 + (-15)} = (\frac{3}{5})^{-1}$
Вычисляем конечный результат:
$(\frac{3}{5})^{-1} = \frac{5}{3}$
Ответ: $\frac{5}{3}$.

4) Чтобы найти значение выражения $8^{-2} : 0.5^4$, приведем основания к числу 2.
$8 = 2^3$
$0.5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$
Подставим эти значения в выражение:
$8^{-2} : 0.5^4 = (2^3)^{-2} : (2^{-1})^4$
Применяем свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(2^3)^{-2} = 2^{3 \cdot (-2)} = 2^{-6}$
$(2^{-1})^4 = 2^{-1 \cdot 4} = 2^{-4}$
Выражение принимает вид:
$2^{-6} : 2^{-4}$
При делении степеней показатели вычитаются:
$2^{-6 - (-4)} = 2^{-6+4} = 2^{-2}$
Вычисляем результат:
$2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$
Ответ: $\frac{1}{4}$.

5) Рассмотрим выражение $\frac{22^6 \cdot 2^{-8}}{44^{-3} \cdot 11^9}$.
Разложим основания 22 и 44 на простые множители:
$22 = 2 \cdot 11$
$44 = 4 \cdot 11 = 2^2 \cdot 11$
Подставим разложения в исходное выражение:
$\frac{(2 \cdot 11)^6 \cdot 2^{-8}}{(2^2 \cdot 11)^{-3} \cdot 11^9}$
Используем свойство $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$:
$\frac{2^6 \cdot 11^6 \cdot 2^{-8}}{(2^2)^{-3} \cdot 11^{-3} \cdot 11^9} = \frac{2^6 \cdot 11^6 \cdot 2^{-8}}{2^{-6} \cdot 11^{-3} \cdot 11^9}$
Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями в числителе и знаменателе:
$\frac{(2^6 \cdot 2^{-8}) \cdot 11^6}{2^{-6} \cdot (11^{-3} \cdot 11^9)} = \frac{2^{6-8} \cdot 11^6}{2^{-6} \cdot 11^{-3+9}} = \frac{2^{-2} \cdot 11^6}{2^{-6} \cdot 11^6}$
Теперь разделим степени с одинаковыми основаниями, вычитая показатели:
$\frac{2^{-2}}{2^{-6}} \cdot \frac{11^6}{11^6} = 2^{-2 - (-6)} \cdot 11^{6-6} = 2^{-2+6} \cdot 11^0 = 2^4 \cdot 1$
Вычисляем результат:
$2^4 = 16$
Ответ: $16$.

6) Рассмотрим выражение $\frac{10^{-2} \cdot 15^{-4}}{30^{-6}}$.
Разложим основания 10, 15 и 30 на простые множители:
$10 = 2 \cdot 5$
$15 = 3 \cdot 5$
$30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$
Подставим разложения в выражение:
$\frac{(2 \cdot 5)^{-2} \cdot (3 \cdot 5)^{-4}}{(2 \cdot 3 \cdot 5)^{-6}}$
Раскроем скобки, используя свойство $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$:
$\frac{(2^{-2} \cdot 5^{-2}) \cdot (3^{-4} \cdot 5^{-4})}{2^{-6} \cdot 3^{-6} \cdot 5^{-6}}$
Сгруппируем множители с одинаковыми основаниями в числителе:
$\frac{2^{-2} \cdot 3^{-4} \cdot (5^{-2} \cdot 5^{-4})}{2^{-6} \cdot 3^{-6} \cdot 5^{-6}} = \frac{2^{-2} \cdot 3^{-4} \cdot 5^{-2-4}}{2^{-6} \cdot 3^{-6} \cdot 5^{-6}} = \frac{2^{-2} \cdot 3^{-4} \cdot 5^{-6}}{2^{-6} \cdot 3^{-6} \cdot 5^{-6}}$
Разделим степени с одинаковыми основаниями:
$\frac{2^{-2}}{2^{-6}} \cdot \frac{3^{-4}}{3^{-6}} \cdot \frac{5^{-6}}{5^{-6}} = 2^{-2 - (-6)} \cdot 3^{-4 - (-6)} \cdot 5^{-6 - (-6)}$
$= 2^{-2+6} \cdot 3^{-4+6} \cdot 5^{-6+6} = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5^0$
Так как $5^0 = 1$, получаем:
$2^4 \cdot 3^2 \cdot 1 = 16 \cdot 9 = 144$
Ответ: $144$.