Страница 71 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

279. Упростите выражение:

1) $2a^{-5}b^2 \cdot 3a^{-2}b^{-5}$;

2) $(\frac{1}{2}mn^{-3})^{-2}$;

3) $\frac{3,6a^2b}{0,9a^3b^{-3}};$

4) $0,8a^{-6}b^8 \cdot 5a^{10}b^{-8}$;

5) $\frac{25x^{-3}}{y^{-4}} \cdot \frac{y^4}{5x^{-7}};$

6) $28c^3d^{-2} \cdot (2cd^{-1})^{-2}$.

1) $2a^{-5}b^2 \cdot 3a^{-2}b^{-5}$

Чтобы упростить это выражение, мы перемножаем коэффициенты и складываем показатели степеней для переменных с одинаковым основанием, используя свойство $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$.

Сначала перегруппируем множители: $(2 \cdot 3) \cdot (a^{-5} \cdot a^{-2}) \cdot (b^2 \cdot b^{-5})$.

Перемножим числовые коэффициенты: $2 \cdot 3 = 6$.

Перемножим степени переменной $a$: $a^{-5} \cdot a^{-2} = a^{-5 + (-2)} = a^{-7}$.

Перемножим степени переменной $b$: $b^2 \cdot b^{-5} = b^{2 + (-5)} = b^{-3}$.

Соединив все части, получаем итоговое выражение: $6a^{-7}b^{-3}$.

Ответ: $6a^{-7}b^{-3}$

2) $(\frac{1}{2}mn^{-3})^{-2}$

Для упрощения воспользуемся свойством возведения произведения в степень $(xyz)^k = x^k y^k z^k$. Возведем каждый множитель в скобках в степень $-2$.

$(\frac{1}{2})^{-2} \cdot m^{-2} \cdot (n^{-3})^{-2}$

Упростим каждый множитель отдельно:

Для числового коэффициента используем свойство $(\frac{x}{y})^{-k} = (\frac{y}{x})^k$: $(\frac{1}{2})^{-2} = (\frac{2}{1})^2 = 2^2 = 4$.

Для переменной $m$: $m^{-2}$.

Для переменной $n$ используем свойство $(x^k)^p = x^{k \cdot p}$: $(n^{-3})^{-2} = n^{(-3) \cdot (-2)} = n^6$.

Собираем все вместе: $4m^{-2}n^6$.

Ответ: $4m^{-2}n^6$

3) $\frac{3,6a^2b}{0,9a^3b^{-3}}$

Упростим выражение, разделив коэффициенты и применив свойство деления степеней с одинаковым основанием $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$.

Делим коэффициенты: $\frac{3,6}{0,9} = \frac{36}{9} = 4$.

Делим степени переменной $a$: $\frac{a^2}{a^3} = a^{2-3} = a^{-1}$.

Делим степени переменной $b$ (помним, что $b = b^1$): $\frac{b^1}{b^{-3}} = b^{1 - (-3)} = b^{1+3} = b^4$.

Объединяем полученные результаты: $4a^{-1}b^4$.

Ответ: $4a^{-1}b^4$

4) $0,8a^{-6}b^8 \cdot 5a^{10}b^{-8}$

Перемножаем коэффициенты и складываем показатели степеней для одинаковых оснований.

Произведение коэффициентов: $0,8 \cdot 5 = 4$.

Произведение степеней $a$: $a^{-6} \cdot a^{10} = a^{-6+10} = a^4$.

Произведение степеней $b$: $b^8 \cdot b^{-8} = b^{8+(-8)} = b^0 = 1$ (любое число, кроме нуля, в нулевой степени равно 1).

Итоговый результат: $4 \cdot a^4 \cdot 1 = 4a^4$.

Ответ: $4a^4$

5) $\frac{25x^{-3}}{y^{-4}} \cdot \frac{y^4}{5x^{-7}}$

Для упрощения перемножим числители и знаменатели дробей, а затем упростим полученную дробь.

$\frac{25x^{-3} \cdot y^4}{y^{-4} \cdot 5x^{-7}} = \frac{25x^{-3}y^4}{5x^{-7}y^{-4}}$

Теперь упростим полученную дробь, разделив коэффициенты и переменные.

Делим коэффициенты: $\frac{25}{5} = 5$.

Делим степени $x$: $\frac{x^{-3}}{x^{-7}} = x^{-3 - (-7)} = x^{-3+7} = x^4$.

Делим степени $y$: $\frac{y^4}{y^{-4}} = y^{4 - (-4)} = y^{4+4} = y^8$.

Объединяем результаты: $5x^4y^8$.

Ответ: $5x^4y^8$

6) $28c^3d^{-2} \cdot (2cd^{-1})^{-2}$

Сначала упростим выражение в скобках, возведенное в степень.

$(2cd^{-1})^{-2} = 2^{-2} \cdot c^{-2} \cdot (d^{-1})^{-2} = \frac{1}{2^2}c^{-2}d^{(-1) \cdot (-2)} = \frac{1}{4}c^{-2}d^2$.

Теперь умножим результат на первый множитель: $28c^3d^{-2} \cdot (\frac{1}{4}c^{-2}d^2)$.

Перегруппируем и перемножим: $(28 \cdot \frac{1}{4}) \cdot (c^3 \cdot c^{-2}) \cdot (d^{-2} \cdot d^2)$.

Упрощаем каждую группу:

$28 \cdot \frac{1}{4} = 7$.

$c^3 \cdot c^{-2} = c^{3+(-2)} = c^1 = c$.

$d^{-2} \cdot d^2 = d^{-2+2} = d^0 = 1$.

Собираем все вместе: $7 \cdot c \cdot 1 = 7c$.

Ответ: $7c$

280. Найдите значение выражения:

1) $8^{-3} \cdot 2^7$;

2) $27^{-2} : 9^{-4}$;

3) $100^{-2} : 1000^{-5} \cdot 0,01^6$;

4) $\left(2\frac{1}{4}\right)^{-4} \cdot \left(\left(\frac{2}{3}\right)^3\right)^{-3}$;

5) $25^{-4} : (0,2^{-3})^{-2}$;

6) $\frac{(-36)^{-3} \cdot 6^8}{216^{-5} \cdot (-6)^{18}}$;

7) $\frac{6^{-10}}{81^{-2} \cdot 16^{-3}}$;

8) $\frac{14^5 \cdot 2^{-7}}{28^{-2} \cdot 7^8}$.

1) Чтобы найти значение выражения $8^{-3} \cdot 2^7$, представим число 8 как степень числа 2: $8 = 2^3$. Подставив это в выражение, получим: $(2^3)^{-3} \cdot 2^7$. Используем свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$: $2^{3 \cdot (-3)} \cdot 2^7 = 2^{-9} \cdot 2^7$. Далее, по свойству умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, складываем показатели: $2^{-9+7} = 2^{-2}$. Вычисляем итоговое значение: $2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$.

2) В выражении $27^{-2} : 9^{-4}$ представим основания 27 и 9 как степени числа 3: $27 = 3^3$ и $9 = 3^2$. Выражение принимает вид: $(3^3)^{-2} : (3^2)^{-4}$. Применяем свойство степени степени: $3^{-6} : 3^{-8}$. Используем свойство деления степеней с одинаковым основанием $a^m : a^n = a^{m-n}$: $3^{-6 - (-8)} = 3^{-6+8} = 3^2$. Вычисляем результат: $3^2 = 9$.
Ответ: $9$.

3) Рассмотрим выражение $100^{-2} : 1000^{-5} \cdot 0.01^6$. Представим все числа в виде степеней 10: $100 = 10^2$, $1000 = 10^3$, $0.01 = 10^{-2}$. Получаем: $(10^2)^{-2} : (10^3)^{-5} \cdot (10^{-2})^6 = 10^{-4} : 10^{-15} \cdot 10^{-12}$. Выполняем действия последовательно слева направо. Сначала деление: $10^{-4} : 10^{-15} = 10^{-4 - (-15)} = 10^{11}$. Затем умножение: $10^{11} \cdot 10^{-12} = 10^{11 + (-12)} = 10^{-1}$. Итоговый результат: $10^{-1} = 0.1$.
Ответ: $0.1$.

4) Упростим выражение $(2\frac{1}{4})^{-4} \cdot ((\frac{2}{3})^3)^{-3}$. Сначала преобразуем смешанную дробь в неправильную: $2\frac{1}{4} = \frac{9}{4}$. Выражение примет вид: $(\frac{9}{4})^{-4} \cdot ((\frac{2}{3})^3)^{-3}$. Применим свойства степеней: $(\frac{4}{9})^4 \cdot (\frac{2}{3})^{-9} = (\frac{4}{9})^4 \cdot (\frac{3}{2})^9$. Представим $\frac{4}{9}$ как $(\frac{2}{3})^2$: $((\frac{2}{3})^2)^4 \cdot (\frac{3}{2})^9 = (\frac{2}{3})^8 \cdot (\frac{3}{2})^9$. Раскроем скобки: $\frac{2^8}{3^8} \cdot \frac{3^9}{2^9}$. Сокращаем дроби, используя свойства степеней: $2^{8-9} \cdot 3^{9-8} = 2^{-1} \cdot 3^1 = \frac{1}{2} \cdot 3 = \frac{3}{2}$.
Ответ: $\frac{3}{2}$.

5) В выражении $25^{-4} : (0.2^{-3})^{-2}$ представим числа 25 и 0.2 как степени 5: $25=5^2$ и $0.2 = \frac{1}{5} = 5^{-1}$. Подставляем: $(5^2)^{-4} : ((5^{-1})^{-3})^{-2}$. Упрощаем, используя свойство степени степени: $5^{-8} : (5^3)^{-2} = 5^{-8} : 5^{-6}$. Выполняем деление: $5^{-8 - (-6)} = 5^{-8+6} = 5^{-2}$. Вычисляем: $5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}$.
Ответ: $\frac{1}{25}$.

6) Рассмотрим дробь $\frac{(-36)^{-3} \cdot 6^8}{216^{-5} \cdot (-6)^{18}}$. Представим все основания через степени числа 6: $-36 = -1 \cdot 6^2$, $216 = 6^3$. Так как показатель 18 четный, $(-6)^{18} = 6^{18}$. Подставляем в дробь: $\frac{(-1 \cdot 6^2)^{-3} \cdot 6^8}{(6^3)^{-5} \cdot 6^{18}} = \frac{(-1)^{-3} \cdot (6^2)^{-3} \cdot 6^8}{6^{-15} \cdot 6^{18}} = \frac{-1 \cdot 6^{-6} \cdot 6^8}{6^{-15+18}}$. Упрощаем числитель и знаменатель: $\frac{-6^{-6+8}}{6^3} = \frac{-6^2}{6^3}$. Сокращаем дробь: $-6^{2-3} = -6^{-1} = -\frac{1}{6}$.
Ответ: $-\frac{1}{6}$.

7) В дроби $\frac{6^{-10}}{81^{-2} \cdot 16^{-3}}$ разложим основания на простые множители: $6=2 \cdot 3$, $81=3^4$, $16=2^4$. Выражение принимает вид: $\frac{(2 \cdot 3)^{-10}}{(3^4)^{-2} \cdot (2^4)^{-3}} = \frac{2^{-10} \cdot 3^{-10}}{3^{-8} \cdot 2^{-12}}$. Группируем степени с одинаковыми основаниями и применяем свойство деления степеней: $\frac{2^{-10}}{2^{-12}} \cdot \frac{3^{-10}}{3^{-8}} = 2^{-10 - (-12)} \cdot 3^{-10 - (-8)} = 2^2 \cdot 3^{-2}$. Вычисляем результат: $4 \cdot \frac{1}{3^2} = 4 \cdot \frac{1}{9} = \frac{4}{9}$.
Ответ: $\frac{4}{9}$.

8) В дроби $\frac{14^5 \cdot 2^{-7}}{28^{-2} \cdot 7^8}$ разложим основания 14 и 28 на простые множители: $14=2 \cdot 7$, $28=2^2 \cdot 7$. Подставляем в выражение: $\frac{(2 \cdot 7)^5 \cdot 2^{-7}}{(2^2 \cdot 7)^{-2} \cdot 7^8} = \frac{2^5 \cdot 7^5 \cdot 2^{-7}}{2^{-4} \cdot 7^{-2} \cdot 7^8}$. Упрощаем числитель и знаменатель: $\frac{2^{5-7} \cdot 7^5}{2^{-4} \cdot 7^{-2+8}} = \frac{2^{-2} \cdot 7^5}{2^{-4} \cdot 7^6}$. Применяем свойство деления степеней: $2^{-2 - (-4)} \cdot 7^{5-6} = 2^2 \cdot 7^{-1}$. Вычисляем: $4 \cdot \frac{1}{7} = \frac{4}{7}$.
Ответ: $\frac{4}{7}$.

281. Найдите значение выражения:

1) $9^{-4} \cdot 27^2;$

2) $32^{-5} : 64^{-4};$

3) $\left(2\frac{7}{9}\right)^{-7} \cdot \left(\left(\frac{3}{5}\right)^{-3}\right)^5;$

4) $8^{-2} : 0,5^4;$

5) $\frac{22^6 \cdot 2^{-8}}{44^{-3} \cdot 11^9};$

6) $\frac{10^{-2} \cdot 15^{-4}}{30^{-6}}.$

1) Чтобы найти значение выражения $9^{-4} \cdot 27^2$, представим основания 9 и 27 в виде степеней числа 3.
$9 = 3^2$
$27 = 3^3$
Подставим эти значения в исходное выражение:
$9^{-4} \cdot 27^2 = (3^2)^{-4} \cdot (3^3)^2$
Воспользуемся свойством степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(3^2)^{-4} = 3^{2 \cdot (-4)} = 3^{-8}$
$(3^3)^2 = 3^{3 \cdot 2} = 3^6$
Теперь выражение имеет вид:
$3^{-8} \cdot 3^6$
При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):
$3^{-8} \cdot 3^6 = 3^{-8+6} = 3^{-2}$
Используя свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем:
$3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$
Ответ: $\frac{1}{9}$.

2) Чтобы найти значение выражения $32^{-5} : 64^{-4}$, представим основания 32 и 64 в виде степеней числа 2.
$32 = 2^5$
$64 = 2^6$
Подставим эти значения в выражение:
$32^{-5} : 64^{-4} = (2^5)^{-5} : (2^6)^{-4}$
Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(2^5)^{-5} = 2^{5 \cdot (-5)} = 2^{-25}$
$(2^6)^{-4} = 2^{6 \cdot (-4)} = 2^{-24}$
Теперь выражение выглядит так:
$2^{-25} : 2^{-24}$
При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются ($a^m : a^n = a^{m-n}$):
$2^{-25} : 2^{-24} = 2^{-25 - (-24)} = 2^{-25+24} = 2^{-1}$
Вычисляем конечный результат:
$2^{-1} = \frac{1}{2}$
Ответ: $\frac{1}{2}$.

3) Рассмотрим выражение $(2\frac{7}{9})^{-7} \cdot ((\frac{3}{5})^{-3})^5$.
Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь:
$2\frac{7}{9} = \frac{2 \cdot 9 + 7}{9} = \frac{18+7}{9} = \frac{25}{9}$
Упростим вторую часть выражения, используя свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$((\frac{3}{5})^{-3})^5 = (\frac{3}{5})^{-3 \cdot 5} = (\frac{3}{5})^{-15}$
Выражение принимает вид:
$(\frac{25}{9})^{-7} \cdot (\frac{3}{5})^{-15}$
Представим дробь $\frac{25}{9}$ как степень дроби $\frac{5}{3}$: $\frac{25}{9} = \frac{5^2}{3^2} = (\frac{5}{3})^2$.
Подставим это в выражение:
$((\frac{5}{3})^2)^{-7} \cdot (\frac{3}{5})^{-15} = (\frac{5}{3})^{2 \cdot (-7)} \cdot (\frac{3}{5})^{-15} = (\frac{5}{3})^{-14} \cdot (\frac{3}{5})^{-15}$
Чтобы привести степени к одному основанию, воспользуемся свойством $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$:
$(\frac{5}{3})^{-14} = (\frac{3}{5})^{14}$
Получаем:
$(\frac{3}{5})^{14} \cdot (\frac{3}{5})^{-15}$
При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются:
$(\frac{3}{5})^{14 + (-15)} = (\frac{3}{5})^{-1}$
Вычисляем конечный результат:
$(\frac{3}{5})^{-1} = \frac{5}{3}$
Ответ: $\frac{5}{3}$.

4) Чтобы найти значение выражения $8^{-2} : 0.5^4$, приведем основания к числу 2.
$8 = 2^3$
$0.5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$
Подставим эти значения в выражение:
$8^{-2} : 0.5^4 = (2^3)^{-2} : (2^{-1})^4$
Применяем свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(2^3)^{-2} = 2^{3 \cdot (-2)} = 2^{-6}$
$(2^{-1})^4 = 2^{-1 \cdot 4} = 2^{-4}$
Выражение принимает вид:
$2^{-6} : 2^{-4}$
При делении степеней показатели вычитаются:
$2^{-6 - (-4)} = 2^{-6+4} = 2^{-2}$
Вычисляем результат:
$2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$
Ответ: $\frac{1}{4}$.

5) Рассмотрим выражение $\frac{22^6 \cdot 2^{-8}}{44^{-3} \cdot 11^9}$.
Разложим основания 22 и 44 на простые множители:
$22 = 2 \cdot 11$
$44 = 4 \cdot 11 = 2^2 \cdot 11$
Подставим разложения в исходное выражение:
$\frac{(2 \cdot 11)^6 \cdot 2^{-8}}{(2^2 \cdot 11)^{-3} \cdot 11^9}$
Используем свойство $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$:
$\frac{2^6 \cdot 11^6 \cdot 2^{-8}}{(2^2)^{-3} \cdot 11^{-3} \cdot 11^9} = \frac{2^6 \cdot 11^6 \cdot 2^{-8}}{2^{-6} \cdot 11^{-3} \cdot 11^9}$
Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями в числителе и знаменателе:
$\frac{(2^6 \cdot 2^{-8}) \cdot 11^6}{2^{-6} \cdot (11^{-3} \cdot 11^9)} = \frac{2^{6-8} \cdot 11^6}{2^{-6} \cdot 11^{-3+9}} = \frac{2^{-2} \cdot 11^6}{2^{-6} \cdot 11^6}$
Теперь разделим степени с одинаковыми основаниями, вычитая показатели:
$\frac{2^{-2}}{2^{-6}} \cdot \frac{11^6}{11^6} = 2^{-2 - (-6)} \cdot 11^{6-6} = 2^{-2+6} \cdot 11^0 = 2^4 \cdot 1$
Вычисляем результат:
$2^4 = 16$
Ответ: $16$.

6) Рассмотрим выражение $\frac{10^{-2} \cdot 15^{-4}}{30^{-6}}$.
Разложим основания 10, 15 и 30 на простые множители:
$10 = 2 \cdot 5$
$15 = 3 \cdot 5$
$30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$
Подставим разложения в выражение:
$\frac{(2 \cdot 5)^{-2} \cdot (3 \cdot 5)^{-4}}{(2 \cdot 3 \cdot 5)^{-6}}$
Раскроем скобки, используя свойство $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$:
$\frac{(2^{-2} \cdot 5^{-2}) \cdot (3^{-4} \cdot 5^{-4})}{2^{-6} \cdot 3^{-6} \cdot 5^{-6}}$
Сгруппируем множители с одинаковыми основаниями в числителе:
$\frac{2^{-2} \cdot 3^{-4} \cdot (5^{-2} \cdot 5^{-4})}{2^{-6} \cdot 3^{-6} \cdot 5^{-6}} = \frac{2^{-2} \cdot 3^{-4} \cdot 5^{-2-4}}{2^{-6} \cdot 3^{-6} \cdot 5^{-6}} = \frac{2^{-2} \cdot 3^{-4} \cdot 5^{-6}}{2^{-6} \cdot 3^{-6} \cdot 5^{-6}}$
Разделим степени с одинаковыми основаниями:
$\frac{2^{-2}}{2^{-6}} \cdot \frac{3^{-4}}{3^{-6}} \cdot \frac{5^{-6}}{5^{-6}} = 2^{-2 - (-6)} \cdot 3^{-4 - (-6)} \cdot 5^{-6 - (-6)}$
$= 2^{-2+6} \cdot 3^{-4+6} \cdot 5^{-6+6} = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5^0$
Так как $5^0 = 1$, получаем:
$2^4 \cdot 3^2 \cdot 1 = 16 \cdot 9 = 144$
Ответ: $144$.

282. Выполните действия и приведите полученное выражение к виду, не содержащему степени с отрицательным показателем:

1) $-2,4a^{-4}b^3 \cdot (-2a^{-3}c^{-5})^{-3}$;

2) $(-10x^{-2}yz^{-8})^{-2} \cdot (0,1yz^{-4})^{-2}$;

3) $1\frac{7}{9}m^{-6}n \cdot (\frac{1}{3}m^{-1}n^{-4})^{-3}$;

4) $(-\frac{1}{6}a^{-3}b^{-6})^{-3} \cdot (-6a^2b^9)^{-2}$;

5) $(\frac{7p^{-3}}{5k^{-1}})^{-2} \cdot 49m^{-6}n^4$;

6) $(\frac{4x^{-5}}{3y^{-2}})^{-3} \cdot (16x^{-6}y^4)^2$.

1) Для решения выражения $ -2,4a^{-4}b^3 \cdot (-2a^{-3}c^{-5})^{-3} $ сначала упростим второй множитель. Используем свойство $ (xyz)^n = x^n y^n z^n $ и $ (a^m)^n = a^{mn} $.
$ (-2a^{-3}c^{-5})^{-3} = (-2)^{-3} \cdot (a^{-3})^{-3} \cdot (c^{-5})^{-3} = \frac{1}{(-2)^3} \cdot a^{(-3)(-3)} \cdot c^{(-5)(-3)} = -\frac{1}{8}a^9c^{15} $.
Теперь умножим это на первый множитель:
$ -2,4a^{-4}b^3 \cdot (-\frac{1}{8}a^9c^{15}) = (-2,4 \cdot (-\frac{1}{8})) \cdot (a^{-4} \cdot a^9) \cdot b^3 \cdot c^{15} $.
Вычисляем произведение коэффициентов: $ -2,4 \cdot (-\frac{1}{8}) = \frac{12}{5} \cdot \frac{1}{8} = \frac{3}{10} = 0,3 $.
Умножаем степени с одинаковым основанием: $ a^{-4} \cdot a^9 = a^{-4+9} = a^5 $.
Собираем всё вместе:
$ 0,3a^5b^3c^{15} $.
Ответ: $ 0,3a^5b^3c^{15} $.

2) В выражении $ (-10x^{-2}yz^{-8})^{-2} \cdot (0,1yz^{-4})^{-2} $ можно применить свойство $ a^n \cdot b^n = (ab)^n $, так как показатели степеней одинаковы.
Сначала перемножим основания: $ (-10x^{-2}yz^{-8}) \cdot (0,1yz^{-4}) = (-10 \cdot 0,1) \cdot x^{-2} \cdot (y \cdot y) \cdot (z^{-8} \cdot z^{-4}) = -1 \cdot x^{-2}y^2z^{-12} = -x^{-2}y^2z^{-12} $.
Теперь возведем результат в степень -2:
$ (-x^{-2}y^2z^{-12})^{-2} = (-1)^{-2} \cdot (x^{-2})^{-2} \cdot (y^2)^{-2} \cdot (z^{-12})^{-2} = 1 \cdot x^4 \cdot y^{-4} \cdot z^{24} = x^4y^{-4}z^{24} $.
Чтобы избавиться от отрицательного показателя, используем свойство $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $:
$ x^4y^{-4}z^{24} = \frac{x^4z^{24}}{y^4} $.
Ответ: $ \frac{x^4z^{24}}{y^4} $.

3) Решим выражение $ 1\frac{7}{9}m^{-6}n \cdot (\frac{1}{3}m^{-1}n^{-4})^{-3} $.
Сначала преобразуем смешанную дробь в неправильную: $ 1\frac{7}{9} = \frac{16}{9} $.
Упростим второй множитель: $ (\frac{1}{3}m^{-1}n^{-4})^{-3} = (\frac{1}{3})^{-3} \cdot (m^{-1})^{-3} \cdot (n^{-4})^{-3} = 3^3 \cdot m^3 \cdot n^{12} = 27m^3n^{12} $.
Теперь выполним умножение:
$ \frac{16}{9}m^{-6}n \cdot 27m^3n^{12} = (\frac{16}{9} \cdot 27) \cdot (m^{-6}m^3) \cdot (n^1n^{12}) = (16 \cdot 3) \cdot m^{-6+3} \cdot n^{1+12} = 48m^{-3}n^{13} $.
Приводим выражение к виду без отрицательной степени:
$ 48m^{-3}n^{13} = \frac{48n^{13}}{m^3} $.
Ответ: $ \frac{48n^{13}}{m^3} $.

4) В выражении $ (-\frac{1}{6}a^{-3}b^{-6})^{-3} \cdot (-6a^2b^9)^{-2} $ упростим каждый множитель по отдельности.
Первый множитель: $ (-\frac{1}{6}a^{-3}b^{-6})^{-3} = (-\frac{1}{6})^{-3} \cdot (a^{-3})^{-3} \cdot (b^{-6})^{-3} = (-6)^3 \cdot a^9 \cdot b^{18} = -216a^9b^{18} $.
Второй множитель: $ (-6a^2b^9)^{-2} = (-6)^{-2} \cdot (a^2)^{-2} \cdot (b^9)^{-2} = \frac{1}{(-6)^2} \cdot a^{-4} \cdot b^{-18} = \frac{1}{36}a^{-4}b^{-18} $.
Перемножим полученные результаты:
$ -216a^9b^{18} \cdot \frac{1}{36}a^{-4}b^{-18} = (-\frac{216}{36}) \cdot (a^9a^{-4}) \cdot (b^{18}b^{-18}) = -6 \cdot a^{9-4} \cdot b^{18-18} = -6a^5b^0 = -6a^5 $ (так как $ b^0 = 1 $).
Ответ: $ -6a^5 $.

5) Упростим выражение $ (\frac{7p^{-3}}{5k^{-1}})^{-2} \cdot 49m^{-6}n^4 $.
Сначала преобразуем первый множитель, избавляясь от отрицательных степеней внутри скобок: $ \frac{7p^{-3}}{5k^{-1}} = \frac{7k^1}{5p^3} $.
Возведем в степень -2. Для этого перевернем дробь и возведем в степень 2:
$ (\frac{7k}{5p^3})^{-2} = (\frac{5p^3}{7k})^2 = \frac{(5p^3)^2}{(7k)^2} = \frac{25p^6}{49k^2} $.
Второй множитель приведем к виду без отрицательной степени: $ 49m^{-6}n^4 = \frac{49n^4}{m^6} $.
Выполним умножение:
$ \frac{25p^6}{49k^2} \cdot \frac{49n^4}{m^6} = \frac{25 \cdot 49 \cdot p^6n^4}{49 \cdot k^2m^6} $.
Сокращаем 49 и получаем окончательный вид:
$ \frac{25p^6n^4}{k^2m^6} $.
Ответ: $ \frac{25p^6n^4}{k^2m^6} $.

6) Решим выражение $ (\frac{4x^{-5}}{3y^{-2}})^{-3} \cdot (16x^{-6}y^4)^2 $.
Упростим первый множитель. Сначала избавимся от отрицательных степеней в числителе и знаменателе дроби: $ \frac{4x^{-5}}{3y^{-2}} = \frac{4y^2}{3x^5} $.
Возведем в степень -3: $ (\frac{4y^2}{3x^5})^{-3} = (\frac{3x^5}{4y^2})^3 = \frac{3^3(x^5)^3}{4^3(y^2)^3} = \frac{27x^{15}}{64y^6} $.
Упростим второй множитель: $ (16x^{-6}y^4)^2 = 16^2 \cdot (x^{-6})^2 \cdot (y^4)^2 = 256x^{-12}y^8 $.
Теперь перемножим полученные выражения:
$ \frac{27x^{15}}{64y^6} \cdot 256x^{-12}y^8 = \frac{27 \cdot 256}{64} \cdot \frac{x^{15}}{y^6} \cdot x^{-12}y^8 = (27 \cdot 4) \cdot x^{15-12} \cdot y^{8-6} = 108x^3y^2 $.
Ответ: $ 108x^3y^2 $.

283. Выполните действия и приведите полученное выражение к виду, не содержащему степени с отрицательным показателем:

1) $3,6a^{-8}b^4 \cdot (-3a^{-3}b^{-7})^{-2};$

2) $1\frac{9}{16}x^{-6}y^2 \cdot \left(1\frac{1}{4}x^{-1}y^{-3}\right)^{-3};$

3) $\left(\frac{5m^{-4}}{6n^{-1}}\right)^{-3} \cdot 125m^{-10}n^2;$

4) $\left(\frac{7a^{-6}}{b^5}\right)^{-2} \cdot (a^{-4}b)^4.$

1) Для решения выражения $3,6a^{-8}b^4 \cdot (-3a^{-3}b^{-7})^{-2}$ выполним следующие действия. Сначала упростим второй множитель, возведя его в степень $-2$:
$(-3a^{-3}b^{-7})^{-2} = (-3)^{-2} \cdot (a^{-3})^{-2} \cdot (b^{-7})^{-2} = \frac{1}{(-3)^2} \cdot a^{-3 \cdot (-2)} \cdot b^{-7 \cdot (-2)} = \frac{1}{9}a^6b^{14}$.
Теперь умножим результат на первый множитель:
$3,6a^{-8}b^4 \cdot \frac{1}{9}a^6b^{14}$.
Сгруппируем коэффициенты и переменные с одинаковыми основаниями:
$(3,6 \cdot \frac{1}{9}) \cdot (a^{-8} \cdot a^6) \cdot (b^4 \cdot b^{14})$.
Вычислим каждую группу:
$3,6 \cdot \frac{1}{9} = \frac{3,6}{9} = 0,4$.
$a^{-8} \cdot a^6 = a^{-8+6} = a^{-2}$.
$b^4 \cdot b^{14} = b^{4+14} = b^{18}$.
Соединим полученные части: $0,4a^{-2}b^{18}$.
Чтобы избавиться от отрицательной степени, используем свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:
$0,4a^{-2}b^{18} = 0,4 \cdot \frac{1}{a^2} \cdot b^{18} = \frac{0,4b^{18}}{a^2}$.
Ответ: $\frac{0,4b^{18}}{a^2}$

2) Для решения выражения $1\frac{9}{16}x^{-6}y^2 \cdot (1\frac{1}{4}x^{-1}y^{-3})^{-3}$ сначала преобразуем смешанные дроби в неправильные:
$1\frac{9}{16} = \frac{1 \cdot 16 + 9}{16} = \frac{25}{16}$.
$1\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{5}{4}$.
Выражение принимает вид: $\frac{25}{16}x^{-6}y^2 \cdot (\frac{5}{4}x^{-1}y^{-3})^{-3}$.
Теперь упростим второй множитель:
$(\frac{5}{4}x^{-1}y^{-3})^{-3} = (\frac{5}{4})^{-3} \cdot (x^{-1})^{-3} \cdot (y^{-3})^{-3} = (\frac{4}{5})^3 \cdot x^{-1 \cdot (-3)} \cdot y^{-3 \cdot (-3)} = \frac{4^3}{5^3}x^3y^9 = \frac{64}{125}x^3y^9$.
Умножим первый множитель на полученный результат:
$\frac{25}{16}x^{-6}y^2 \cdot \frac{64}{125}x^3y^9$.
Сгруппируем и вычислим:
$(\frac{25}{16} \cdot \frac{64}{125}) \cdot (x^{-6} \cdot x^3) \cdot (y^2 \cdot y^9) = \frac{25 \cdot 64}{16 \cdot 125} \cdot x^{-6+3} \cdot y^{2+9} = \frac{1 \cdot 4}{1 \cdot 5} \cdot x^{-3} \cdot y^{11} = \frac{4}{5}x^{-3}y^{11}$.
Избавимся от отрицательного показателя степени:
$\frac{4}{5}x^{-3}y^{11} = \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{x^3} \cdot y^{11} = \frac{4y^{11}}{5x^3}$.
Ответ: $\frac{4y^{11}}{5x^3}$

3) Для решения выражения $(\frac{5m^{-4}}{6n^{-1}})^{-3} \cdot 125m^{-10}n^2$ упростим первый множитель. Чтобы возвести дробь в отрицательную степень, нужно перевернуть дробь и поменять знак степени на противоположный:
$(\frac{5m^{-4}}{6n^{-1}})^{-3} = (\frac{6n^{-1}}{5m^{-4}})^3$.
Теперь избавимся от отрицательных степеней внутри скобок, переместив переменные из числителя в знаменатель и наоборот:
$(\frac{6m^4}{5n})^3 = \frac{6^3 \cdot (m^4)^3}{5^3 \cdot n^3} = \frac{216m^{12}}{125n^3}$.
Теперь умножим это выражение на второй множитель:
$\frac{216m^{12}}{125n^3} \cdot 125m^{-10}n^2$.
Представим второй множитель в виде дроби и сгруппируем:
$\frac{216m^{12}}{125n^3} \cdot \frac{125m^{-10}n^2}{1} = \frac{216 \cdot 125}{125} \cdot \frac{m^{12} \cdot m^{-10}}{n^3} \cdot n^2 = 216 \cdot m^{12-10} \cdot n^{2-3} = 216m^2n^{-1}$.
Приведем выражение к виду без отрицательных степеней:
$216m^2n^{-1} = \frac{216m^2}{n}$.
Ответ: $\frac{216m^2}{n}$

4) Для решения выражения $(\frac{7a^{-6}}{b^5})^{-2} \cdot (a^{-4}b)^4$ сначала поработаем с каждым множителем отдельно.
Упростим первый множитель:
$(\frac{7a^{-6}}{b^5})^{-2} = \frac{7^{-2} \cdot (a^{-6})^{-2}}{(b^5)^{-2}} = \frac{7^{-2}a^{12}}{b^{-10}} = \frac{a^{12}b^{10}}{7^2} = \frac{a^{12}b^{10}}{49}$.
Упростим второй множитель:
$(a^{-4}b)^4 = (a^{-4})^4 \cdot b^4 = a^{-16}b^4$.
Теперь перемножим полученные выражения:
$\frac{a^{12}b^{10}}{49} \cdot a^{-16}b^4$.
Сгруппируем переменные:
$\frac{1}{49} \cdot (a^{12} \cdot a^{-16}) \cdot (b^{10} \cdot b^4) = \frac{1}{49} \cdot a^{12-16} \cdot b^{10+4} = \frac{1}{49}a^{-4}b^{14}$.
Избавимся от отрицательной степени:
$\frac{1}{49}a^{-4}b^{14} = \frac{1}{49} \cdot \frac{1}{a^4} \cdot b^{14} = \frac{b^{14}}{49a^4}$.
Ответ: $\frac{b^{14}}{49a^4}$

284. Вынесите за скобки степень с основанием а и наименьшим из данных показателей:

1) $a^3 - 2a^4$;

2) $a^{-3} - 2a^{-4}$;

3) $a^3 - 2a^{-4}$.

1) В выражении $a^3 - 2a^4$ имеются степени с основанием $a$ и показателями 3 и 4. Наименьший из этих показателей — это 3. Следовательно, за скобки нужно вынести $a^3$.

Чтобы вынести общий множитель за скобки, нужно каждый член многочлена разделить на этот множитель. Результат деления записывается в скобках.

$a^3 - 2a^4 = a^3 \cdot (\frac{a^3}{a^3} - \frac{2a^4}{a^3})$

При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются ($a^m : a^n = a^{m-n}$):

$\frac{a^3}{a^3} = a^{3-3} = a^0 = 1$

$\frac{2a^4}{a^3} = 2a^{4-3} = 2a^1 = 2a$

Таким образом, выражение принимает вид:

$a^3(1 - 2a)$

Ответ: $a^3(1 - 2a)$

2) В выражении $a^{-3} - 2a^{-4}$ имеются степени с основанием $a$ и показателями -3 и -4. Сравним показатели: $-4 < -3$. Наименьший из показателей — это -4. Следовательно, за скобки нужно вынести $a^{-4}$.

Разделим каждый член выражения на $a^{-4}$:

$a^{-3} - 2a^{-4} = a^{-4} \cdot (\frac{a^{-3}}{a^{-4}} - \frac{2a^{-4}}{a^{-4}})$

Выполним деление степеней:

$\frac{a^{-3}}{a^{-4}} = a^{-3 - (-4)} = a^{-3+4} = a^1 = a$

$\frac{2a^{-4}}{a^{-4}} = 2a^{-4 - (-4)} = 2a^{-4+4} = 2a^0 = 2 \cdot 1 = 2$

Таким образом, выражение принимает вид:

$a^{-4}(a - 2)$

Ответ: $a^{-4}(a - 2)$

3) В выражении $a^3 - 2a^{-4}$ имеются степени с основанием $a$ и показателями 3 и -4. Сравним показатели: $-4 < 3$. Наименьший из показателей — это -4. Следовательно, за скобки нужно вынести $a^{-4}$.

Разделим каждый член выражения на $a^{-4}$:

$a^3 - 2a^{-4} = a^{-4} \cdot (\frac{a^3}{a^{-4}} - \frac{2a^{-4}}{a^{-4}})$

Выполним деление степеней:

$\frac{a^3}{a^{-4}} = a^{3 - (-4)} = a^{3+4} = a^7$

$\frac{2a^{-4}}{a^{-4}} = 2a^{-4 - (-4)} = 2a^{-4+4} = 2a^0 = 2 \cdot 1 = 2$

Таким образом, выражение принимает вид:

$a^{-4}(a^7 - 2)$

Ответ: $a^{-4}(a^7 - 2)$