Страница 72 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

285. Вынесите за скобки степень с основанием b и наименьшим из данных показателей:

1) $b^3 + 3b^2$;

2) $b^{-3} + 3b^{-2}$;

3) $b^{-3} + 3b^2$.

1) В выражении $b^3 + 3b^2$ представлены степени с основанием $b$ и показателями 3 и 2. Наименьший из этих показателей — 2. Следовательно, за скобки нужно вынести $b^2$. Для этого разделим каждый член суммы на $b^2$:

$b^3 + 3b^2 = b^2 \cdot \frac{b^3}{b^2} + b^2 \cdot \frac{3b^2}{b^2} = b^2(b^{3-2} + 3b^{2-2}) = b^2(b^1 + 3b^0) = b^2(b + 3)$.

Ответ: $b^2(b + 3)$.

2) В выражении $b^{-3} + 3b^{-2}$ представлены степени с основанием $b$ и показателями -3 и -2. Наименьший из этих показателей — -3, так как $-3 < -2$. Следовательно, за скобки нужно вынести $b^{-3}$. Для этого разделим каждый член суммы на $b^{-3}$:

$b^{-3} + 3b^{-2} = b^{-3} \cdot \frac{b^{-3}}{b^{-3}} + b^{-3} \cdot \frac{3b^{-2}}{b^{-3}} = b^{-3}(b^{-3-(-3)} + 3b^{-2-(-3)}) = b^{-3}(b^0 + 3b^1) = b^{-3}(1 + 3b)$.

Ответ: $b^{-3}(1 + 3b)$.

3) В выражении $b^{-3} + 3b^2$ представлены степени с основанием $b$ и показателями -3 и 2. Наименьший из этих показателей — -3. Следовательно, за скобки нужно вынести $b^{-3}$. Для этого разделим каждый член суммы на $b^{-3}$:

$b^{-3} + 3b^2 = b^{-3} \cdot \frac{b^{-3}}{b^{-3}} + b^{-3} \cdot \frac{3b^2}{b^{-3}} = b^{-3}(b^{-3-(-3)} + 3b^{2-(-3)}) = b^{-3}(b^0 + 3b^{2+3}) = b^{-3}(1 + 3b^5)$.

Ответ: $b^{-3}(1 + 3b^5)$.

286. Представьте в виде произведения выражение:

1) $a^{-2} - 4$;

2) $a^4 b^{-6} - 1$;

3) $25x^{-8}y^{-12} - z^{-2}$;

4) $a^{-3} + b^{-3}$;

5) $m^{-4} - 6m^{-2}p^{-1} + 9p^{-2}$;

6) $a^{-8} - 49a^{-2}$.

1) Для разложения выражения $a^{-2} - 4$ на множители используется формула разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.
Представим данное выражение в виде разности квадратов: $a^{-2} - 4 = (a^{-1})^2 - 2^2$.
Применим формулу, где $x = a^{-1}$ и $y = 2$. В результате получаем произведение:
$(a^{-1} - 2)(a^{-1} + 2)$.
Ответ: $(a^{-1} - 2)(a^{-1} + 2)$.

2) Выражение $a^{-4}b^{-6} - 1$ также является разностью квадратов. Применим ту же формулу $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.
Представим выражение в виде $(a^{-2}b^{-3})^2 - 1^2$.
Здесь $x = a^{-2}b^{-3}$ и $y = 1$.
Следовательно, разложение имеет вид:
$(a^{-2}b^{-3} - 1)(a^{-2}b^{-3} + 1)$.
Ответ: $(a^{-2}b^{-3} - 1)(a^{-2}b^{-3} + 1)$.

3) Выражение $25x^{-8}y^{-12} - z^{-2}$ раскладывается по формуле разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.
Представим слагаемые в виде квадратов: $25x^{-8}y^{-12} = (5x^{-4}y^{-6})^2$ и $z^{-2} = (z^{-1})^2$.
Выражение принимает вид $(5x^{-4}y^{-6})^2 - (z^{-1})^2$.
Применяем формулу, где $x = 5x^{-4}y^{-6}$ и $y = z^{-1}$.
Результат разложения:
$(5x^{-4}y^{-6} - z^{-1})(5x^{-4}y^{-6} + z^{-1})$.
Ответ: $(5x^{-4}y^{-6} - z^{-1})(5x^{-4}y^{-6} + z^{-1})$.

4) Для выражения $a^{-3} + b^{-3}$ необходимо использовать формулу суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$.
Представим $a^{-3}$ как $(a^{-1})^3$ и $b^{-3}$ как $(b^{-1})^3$. Выражение становится $(a^{-1})^3 + (b^{-1})^3$.
Подставляя $x = a^{-1}$ и $y = b^{-1}$ в формулу, получаем:
$(a^{-1} + b^{-1})((a^{-1})^2 - a^{-1}b^{-1} + (b^{-1})^2) = (a^{-1} + b^{-1})(a^{-2} - a^{-1}b^{-1} + b^{-2})$.
Ответ: $(a^{-1} + b^{-1})(a^{-2} - a^{-1}b^{-1} + b^{-2})$.

5) Выражение $m^{-4} - 6m^{-2}p^{-1} + 9p^{-2}$ является полным квадратом разности. Для его разложения используем формулу $x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2$.
Определим компоненты: первый член $m^{-4} = (m^{-2})^2$, последний член $9p^{-2} = (3p^{-1})^2$. Средний член равен $-2 \cdot m^{-2} \cdot (3p^{-1}) = -6m^{-2}p^{-1}$.
Таким образом, $x = m^{-2}$ и $y = 3p^{-1}$.
Результат разложения:
$(m^{-2} - 3p^{-1})^2$.
Ответ: $(m^{-2} - 3p^{-1})^2$.

6) В выражении $a^{-8} - 49a^{-2}$ сначала вынесем общий множитель за скобки. Вынесем член с наименьшей степенью, то есть $a^{-8}$.
$a^{-8} - 49a^{-2} = a^{-8}(1 - 49a^6)$, так как $a^{-2} = a^{-8} \cdot a^6$.
Выражение в скобках $1 - 49a^6$ представляет собой разность квадратов: $1^2 - (7a^3)^2$.
Применяя формулу $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$, где $x=1$ и $y=7a^3$, получаем $(1 - 7a^3)(1 + 7a^3)$.
Окончательное разложение:
$a^{-8}(1 - 7a^3)(1 + 7a^3)$.
Ответ: $a^{-8}(1 - 7a^3)(1 + 7a^3)$.

287. Представьте в виде произведения выражение:

1) $x^{-4} - 25;$

2) $m^{-6} - 8n^{-3};$

3) $a^{-10} + 8a^{-5}b^{-7} + 16b^{-14},$

4) $a^{-4} - a^{-2}.$

1) Чтобы представить выражение $x^{-4} - 25$ в виде произведения, воспользуемся формулой разности квадратов: $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.

Сначала представим каждый член выражения в виде квадрата:

$x^{-4} = (x^{-2})^2$

$25 = 5^2$

В данном случае $A = x^{-2}$ и $B = 5$. Подставим эти значения в формулу:

$(x^{-2})^2 - 5^2 = (x^{-2} - 5)(x^{-2} + 5)$.

Ответ: $(x^{-2} - 5)(x^{-2} + 5)$.

2) Для выражения $m^{-6} - 8n^{-3}$ применим формулу разности кубов: $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$.

Представим каждый член выражения в виде куба:

$m^{-6} = (m^{-2})^3$

$8n^{-3} = 2^3 \cdot (n^{-1})^3 = (2n^{-1})^3$

Здесь $A = m^{-2}$ и $B = 2n^{-1}$. Подставим в формулу:

$(m^{-2} - 2n^{-1})((m^{-2})^2 + (m^{-2})(2n^{-1}) + (2n^{-1})^2)$

Упростим выражение во второй скобке:

$(m^{-2} - 2n^{-1})(m^{-4} + 2m^{-2}n^{-1} + 4n^{-2})$.

Ответ: $(m^{-2} - 2n^{-1})(m^{-4} + 2m^{-2}n^{-1} + 4n^{-2})$.

3) Выражение $a^{-10} + 8a^{-5}b^{-7} + 16b^{-14}$ является полным квадратом. Для его разложения используем формулу квадрата суммы: $A^2 + 2AB + B^2 = (A + B)^2$.

Проверим, подходят ли члены выражения под эту формулу. Представим первый и третий члены как квадраты:

$a^{-10} = (a^{-5})^2$

$16b^{-14} = 4^2 \cdot (b^{-7})^2 = (4b^{-7})^2$

Отсюда, предположительно, $A = a^{-5}$ и $B = 4b^{-7}$.

Теперь проверим, равен ли средний член удвоенному произведению $2AB$:

$2 \cdot A \cdot B = 2 \cdot a^{-5} \cdot (4b^{-7}) = 8a^{-5}b^{-7}$.

Средний член совпадает. Следовательно, формула применима.

$a^{-10} + 8a^{-5}b^{-7} + 16b^{-14} = (a^{-5} + 4b^{-7})^2$.

Ответ: $(a^{-5} + 4b^{-7})^2$.

4) Для разложения выражения $a^{-4} - a^{-2}$ на множители сначала вынесем общий множитель за скобки. Удобнее вынести степень с большим (менее отрицательным) показателем, то есть $a^{-2}$.

$a^{-4} - a^{-2} = a^{-2} \cdot a^{-2} - a^{-2} \cdot 1 = a^{-2}(a^{-2} - 1)$.

Выражение в скобках $(a^{-2} - 1)$ является разностью квадратов, так как $a^{-2} = (a^{-1})^2$ и $1 = 1^2$. Применим формулу $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$, где $A = a^{-1}$ и $B = 1$.

$a^{-2} - 1 = (a^{-1} - 1)(a^{-1} + 1)$.

Таким образом, окончательное разложение имеет вид:

$a^{-2}(a^{-1} - 1)(a^{-1} + 1)$.

Ответ: $a^{-2}(a^{-1} - 1)(a^{-1} + 1)$.

288. Докажите тождество:

$a^{-8} - b^{-8} = (a^{-1} - b^{-1})(a^{-1} + b^{-1})(a^{-2} + b^{-2})(a^{-4} + b^{-4}).$

Доказательство:

Для доказательства данного тождества преобразуем его правую часть, чтобы привести ее к виду левой части. Будем последовательно применять формулу разности квадратов: $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$.

Правая часть равенства:

$(a^{-1} - b^{-1})(a^{-1} + b^{-1})(a^{-2} + b^{-2})(a^{-4} + b^{-4})$

1. Сначала перемножим первые две скобки, используя формулу разности квадратов, где в качестве $x$ выступает $a^{-1}$, а в качестве $y$ - $b^{-1}$:

$(a^{-1} - b^{-1})(a^{-1} + b^{-1}) = (a^{-1})^2 - (b^{-1})^2 = a^{-2} - b^{-2}$

2. Подставим полученный результат обратно в выражение. Теперь оно принимает вид:

$(a^{-2} - b^{-2})(a^{-2} + b^{-2})(a^{-4} + b^{-4})$

3. Снова применяем формулу разности квадратов для первых двух скобок, где $x = a^{-2}$ и $y = b^{-2}$:

$(a^{-2} - b^{-2})(a^{-2} + b^{-2}) = (a^{-2})^2 - (b^{-2})^2 = a^{-4} - b^{-4}$

4. Выражение упрощается до:

$(a^{-4} - b^{-4})(a^{-4} + b^{-4})$

5. И в последний раз применяем ту же формулу, где $x = a^{-4}$ и $y = b^{-4}$:

$(a^{-4} - b^{-4})(a^{-4} + b^{-4}) = (a^{-4})^2 - (b^{-4})^2 = a^{-8} - b^{-8}$

В результате преобразований мы получили, что правая часть тождества равна его левой части:

$a^{-8} - b^{-8} = a^{-8} - b^{-8}$

Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано. Правая часть равенства была преобразована в левую путем трехкратного последовательного применения формулы разности квадратов.

289. Упростите выражение:

1) $(a^{-4}+3)(a^{-4}-3)-(a^{-4}+2)^2;$

2) $\frac{m^{-2}-n^{-2}}{m^{-1}+n^{-1}};$

3) $\frac{2x^{-2}+y^{-2}}{3x^{-2}-3x^{-1}y^{-1}} \cdot \frac{x^{-1}}{x^{-1}-y^{-1}};$

4) $\frac{a^{-5}+b^{-5}}{a^{-6}} : \frac{a^{-3}b^{-5}+a^{-8}}{a^{-4}}.$

1) Исходное выражение: $(a^{-4} + 3)(a^{-4} - 3) - (a^{-4} + 2)^2$.
Для упрощения первой части $(a^{-4} + 3)(a^{-4} - 3)$ применим формулу разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$, где $x = a^{-4}$ и $y = 3$.
$(a^{-4})^2 - 3^2 = a^{-4 \cdot 2} - 9 = a^{-8} - 9$.
Вторую часть $(a^{-4} + 2)^2$ раскроем по формуле квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$, где $x = a^{-4}$ и $y = 2$.
$(a^{-4})^2 + 2 \cdot a^{-4} \cdot 2 + 2^2 = a^{-8} + 4a^{-4} + 4$.
Теперь подставим упрощенные части обратно в исходное выражение:
$(a^{-8} - 9) - (a^{-8} + 4a^{-4} + 4)$.
Раскроем скобки, меняя знаки второго многочлена на противоположные:
$a^{-8} - 9 - a^{-8} - 4a^{-4} - 4$.
Приведем подобные слагаемые:
$(a^{-8} - a^{-8}) - 4a^{-4} - 9 - 4 = 0 - 4a^{-4} - 13 = -4a^{-4} - 13$.
Ответ: $-4a^{-4} - 13$.

2) Исходное выражение: $\frac{m^{-2} - n^{-2}}{m^{-1} + n^{-1}}$.
Числитель дроби $m^{-2} - n^{-2}$ можно разложить на множители по формуле разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$. В данном случае $x = m^{-1}$ и $y = n^{-1}$, так как $m^{-2} = (m^{-1})^2$ и $n^{-2} = (n^{-1})^2$.
$m^{-2} - n^{-2} = (m^{-1} - n^{-1})(m^{-1} + n^{-1})$.
Подставим разложенный числитель обратно в дробь:
$\frac{(m^{-1} - n^{-1})(m^{-1} + n^{-1})}{m^{-1} + n^{-1}}$.
Сократим общий множитель $(m^{-1} + n^{-1})$ в числителе и знаменателе:
$m^{-1} - n^{-1}$.
Ответ: $m^{-1} - n^{-1}$.

3) Исходное выражение: $\frac{2x^{-2} + y^{-2}}{3x^{-2} - 3x^{-1}y^{-1}} - \frac{x^{-1}}{x^{-1} - y^{-1}}$.
Сначала упростим каждую дробь отдельно, используя свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
Первая дробь: $\frac{2x^{-2} + y^{-2}}{3x^{-2} - 3x^{-1}y^{-1}} = \frac{\frac{2}{x^2} + \frac{1}{y^2}}{\frac{3}{x^2} - \frac{3}{xy}} = \frac{\frac{2y^2 + x^2}{x^2y^2}}{\frac{3y - 3x}{x^2y}} = \frac{2y^2 + x^2}{x^2y^2} \cdot \frac{x^2y}{3(y - x)} = \frac{2y^2 + x^2}{3y(y - x)}$.
Вторая дробь: $\frac{x^{-1}}{x^{-1} - y^{-1}} = \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x} - \frac{1}{y}} = \frac{\frac{1}{x}}{\frac{y - x}{xy}} = \frac{1}{x} \cdot \frac{xy}{y - x} = \frac{y}{y - x}$.
Теперь выполним вычитание упрощенных дробей:
$\frac{2y^2 + x^2}{3y(y - x)} - \frac{y}{y - x}$.
Приведем дроби к общему знаменателю $3y(y - x)$, умножив числитель и знаменатель второй дроби на $3y$:
$\frac{2y^2 + x^2}{3y(y - x)} - \frac{y \cdot 3y}{3y(y - x)} = \frac{2y^2 + x^2 - 3y^2}{3y(y - x)} = \frac{x^2 - y^2}{3y(y - x)}$.
Разложим числитель по формуле разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.
$\frac{(x-y)(x+y)}{3y(y - x)}$.
Заметив, что $y - x = -(x - y)$, мы можем сократить дробь:
$\frac{(x-y)(x+y)}{-3y(x - y)} = \frac{x+y}{-3y} = -\frac{x+y}{3y}$.
Ответ: $-\frac{x+y}{3y}$.

4) Исходное выражение: $\frac{a^{-5} + b^{-5}}{a^{-6}} : \frac{a^{-3}b^{-5} + a^{-8}}{a^{-4}}$.
Заменим деление на умножение, перевернув вторую дробь:
$\frac{a^{-5} + b^{-5}}{a^{-6}} \cdot \frac{a^{-4}}{a^{-3}b^{-5} + a^{-8}}$.
Упростим знаменатель второй дроби, вынеся за скобки общий множитель. Заметим, что $a^{-8} = a^{-3} \cdot a^{-5}$.
$a^{-3}b^{-5} + a^{-8} = a^{-3}b^{-5} + a^{-3}a^{-5} = a^{-3}(b^{-5} + a^{-5})$.
Подставим это преобразование в наше выражение:
$\frac{a^{-5} + b^{-5}}{a^{-6}} \cdot \frac{a^{-4}}{a^{-3}(a^{-5} + b^{-5})}$.
Сократим общий множитель $(a^{-5} + b^{-5})$:
$\frac{1}{a^{-6}} \cdot \frac{a^{-4}}{a^{-3}} = \frac{a^{-4}}{a^{-6} \cdot a^{-3}}$.
Используя свойства степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, получаем:
$\frac{a^{-4}}{a^{-6 + (-3)}} = \frac{a^{-4}}{a^{-9}} = a^{-4 - (-9)} = a^{-4+9} = a^5$.
Ответ: $a^5$.

290. Упростите выражение:

1) $(x^{-2} - 1)^2 - (x^{-2} - 4)(x^{-2} + 4);$

2) $\frac{a^{-2} - 10a^{-1}b^{-1} + 25b^{-2}}{a^{-1} - 5b^{-1}};$

3) $\frac{5m^{-2} + n^{-2}}{4m^{-3} + 4m^{-1}n^{-2}} - \frac{m^{-1}}{m^{-2} + n^{-2}};$

4) $\frac{b^{-1} + 3c^{-1}}{c^{-2}} \cdot \frac{bc}{b^{-2}c^{-1} + 3b^{-1}c^{-2}}.$

1) Для упрощения выражения $(x^{-2} - 1)^2 - (x^{-2} - 4)(x^{-2} + 4)$ воспользуемся формулами сокращенного умножения: квадратом разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и разностью квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.
Раскроем первую скобку: $(x^{-2} - 1)^2 = (x^{-2})^2 - 2 \cdot x^{-2} \cdot 1 + 1^2 = x^{-4} - 2x^{-2} + 1$.
Раскроем вторую часть выражения: $(x^{-2} - 4)(x^{-2} + 4) = (x^{-2})^2 - 4^2 = x^{-4} - 16$.
Теперь подставим полученные выражения в исходное: $(x^{-4} - 2x^{-2} + 1) - (x^{-4} - 16) = x^{-4} - 2x^{-2} + 1 - x^{-4} + 16$.
Сократим подобные члены: $(x^{-4} - x^{-4}) - 2x^{-2} + (1 + 16) = -2x^{-2} + 17$.
Ответ: $17 - 2x^{-2}$

2) Рассмотрим выражение $\frac{a^{-2} - 10a^{-1}b^{-1} + 25b^{-2}}{a^{-1} - 5b^{-1}}$.
Числитель дроби $a^{-2} - 10a^{-1}b^{-1} + 25b^{-2}$ является полным квадратом разности. Заметим, что $a^{-2} = (a^{-1})^2$, $25b^{-2} = (5b^{-1})^2$, а $-10a^{-1}b^{-1} = -2 \cdot (a^{-1}) \cdot (5b^{-1})$.
Таким образом, числитель можно свернуть по формуле $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$: $a^{-2} - 10a^{-1}b^{-1} + 25b^{-2} = (a^{-1} - 5b^{-1})^2$.
Подставим это в исходную дробь: $\frac{(a^{-1} - 5b^{-1})^2}{a^{-1} - 5b^{-1}}$.
Сократим дробь на общий множитель $(a^{-1} - 5b^{-1})$: $a^{-1} - 5b^{-1}$.
Ответ: $a^{-1} - 5b^{-1}$

3) Упростим выражение $\frac{5m^{-2} + n^{-2}}{4m^{-3} + 4m^{-1}n^{-2}} - \frac{m^{-1}}{m^{-2} + n^{-2}}$.
Сначала преобразуем знаменатель первой дроби, вынеся за скобки общий множитель $4m^{-1}$: $4m^{-3} + 4m^{-1}n^{-2} = 4m^{-1}(m^{-2} + n^{-2})$.
Теперь выражение выглядит так: $\frac{5m^{-2} + n^{-2}}{4m^{-1}(m^{-2} + n^{-2})} - \frac{m^{-1}}{m^{-2} + n^{-2}}$.
Приведем дроби к общему знаменателю $4m^{-1}(m^{-2} + n^{-2})$. Для этого умножим числитель и знаменатель второй дроби на $4m^{-1}$: $\frac{m^{-1} \cdot 4m^{-1}}{(m^{-2} + n^{-2}) \cdot 4m^{-1}} = \frac{4m^{-2}}{4m^{-1}(m^{-2} + n^{-2})}$.
Выполним вычитание дробей: $\frac{5m^{-2} + n^{-2} - 4m^{-2}}{4m^{-1}(m^{-2} + n^{-2})} = \frac{m^{-2} + n^{-2}}{4m^{-1}(m^{-2} + n^{-2})}$.
Сократим дробь на $(m^{-2} + n^{-2})$: $\frac{1}{4m^{-1}}$.
Так как $m^{-1} = \frac{1}{m}$, то $\frac{1}{4m^{-1}} = \frac{1}{4/m} = \frac{m}{4}$.
Ответ: $\frac{m}{4}$

4) Упростим выражение $\frac{b^{-1} + 3c^{-1}}{c^{-2}} \cdot \frac{bc}{b^{-2}c^{-1} + 3b^{-1}c^{-2}}$.
Рассмотрим знаменатель второй дроби: $b^{-2}c^{-1} + 3b^{-1}c^{-2}$. Вынесем за скобки общий множитель $b^{-1}c^{-1}$: $b^{-1}c^{-1}(b^{-1} + 3c^{-1})$.
Подставим это в исходное выражение: $\frac{b^{-1} + 3c^{-1}}{c^{-2}} \cdot \frac{bc}{b^{-1}c^{-1}(b^{-1} + 3c^{-1})}$.
Сократим общий множитель $(b^{-1} + 3c^{-1})$ в числителе первой дроби и знаменателе второй: $\frac{1}{c^{-2}} \cdot \frac{bc}{b^{-1}c^{-1}}$.
Упростим полученное выражение. Учитывая, что $\frac{1}{x^{-n}} = x^n$, имеем $\frac{1}{c^{-2}} = c^2$.
Тогда выражение примет вид: $c^2 \cdot \frac{bc}{b^{-1}c^{-1}}$.
Выполним деление степеней: $\frac{b^1c^1}{b^{-1}c^{-1}} = b^{1-(-1)}c^{1-(-1)} = b^2c^2$.
Окончательно получаем: $c^2 \cdot (b^2c^2) = b^2c^{2+2} = b^2c^4$.
Ответ: $b^2c^4$

291. Порядок числа $a$ равен $-4$. Определите порядок числа:

1) $10a$;

2) $0.1a$;

3) $100a$;

4) $0.001a$;

5) $10 000a$;

6) $1 000 000a$.

Порядок числа — это показатель степени основания 10 в его стандартной записи. Стандартная запись числа имеет вид $a_0 \cdot 10^n$, где $1 \le a_0 < 10$, а целое число $n$ является порядком числа.

Из условия задачи известно, что порядок числа $a$ равен -4. Это значит, что число $a$ можно представить в виде $a = a_0 \cdot 10^{-4}$, где $a_0$ — его мантисса, причем $1 \le a_0 < 10$.

Для определения порядка каждого из данных выражений, мы умножим $a$ на соответствующий коэффициент и приведем полученное число к стандартному виду, определив новый показатель степени.

1) 10a;
Представим множитель 10 в виде степени: $10 = 10^1$. Выполним умножение:
$10a = 10^1 \cdot (a_0 \cdot 10^{-4}) = a_0 \cdot 10^{1 + (-4)} = a_0 \cdot 10^{-3}$.
Мантисса $a_0$ не изменилась и по-прежнему удовлетворяет условию $1 \le a_0 < 10$. Новый показатель степени равен -3, следовательно, это и есть новый порядок числа.
Ответ: -3.

2) 0,1a;
Представим множитель 0,1 в виде степени: $0,1 = 10^{-1}$. Выполним умножение:
$0,1a = 10^{-1} \cdot (a_0 \cdot 10^{-4}) = a_0 \cdot 10^{-1 + (-4)} = a_0 \cdot 10^{-5}$.
Порядок числа $0,1a$ равен -5.
Ответ: -5.

3) 100a;
Представим множитель 100 в виде степени: $100 = 10^2$. Выполним умножение:
$100a = 10^2 \cdot (a_0 \cdot 10^{-4}) = a_0 \cdot 10^{2 + (-4)} = a_0 \cdot 10^{-2}$.
Порядок числа $100a$ равен -2.
Ответ: -2.

4) 0,001a;
Представим множитель 0,001 в виде степени: $0,001 = 10^{-3}$. Выполним умножение:
$0,001a = 10^{-3} \cdot (a_0 \cdot 10^{-4}) = a_0 \cdot 10^{-3 + (-4)} = a_0 \cdot 10^{-7}$.
Порядок числа $0,001a$ равен -7.
Ответ: -7.

5) 10 000a;
Представим множитель 10 000 в виде степени: $10\,000 = 10^4$. Выполним умножение:
$10\,000a = 10^4 \cdot (a_0 \cdot 10^{-4}) = a_0 \cdot 10^{4 + (-4)} = a_0 \cdot 10^0$.
Порядок числа $10\,000a$ равен 0.
Ответ: 0.

6) 1 000 000a.
Представим множитель 1 000 000 в виде степени: $1\,000\,000 = 10^6$. Выполним умножение:
$1\,000\,000a = 10^6 \cdot (a_0 \cdot 10^{-4}) = a_0 \cdot 10^{6 + (-4)} = a_0 \cdot 10^2$.
Порядок числа $1\,000\,000a$ равен 2.
Ответ: 2.

292. Порядок числа $b$ равен 3. Определите порядок числа:

1) $10b$;

2) $0.01b$;

3) $0.0001b$;

4) $1000b$.

Порядок числа – это показатель степени числа 10 в стандартной записи этого числа. Стандартная запись числа имеет вид $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$, а $n$ – целое число. Число $n$ и является порядком числа.

По условию, порядок числа $b$ равен 3. Это означает, что число $b$ можно представить в виде $b = a \cdot 10^3$, где $1 \le a < 10$.

1) 10b;

Чтобы найти порядок числа $10b$, представим его в стандартном виде. Для этого умножим $10$ (или $10^1$) на стандартное представление числа $b$:

$10b = 10^1 \cdot (a \cdot 10^3) = a \cdot 10^{1+3} = a \cdot 10^4$.

Поскольку $1 \le a < 10$, полученное выражение $a \cdot 10^4$ является стандартной записью числа. Показатель степени у числа 10 равен 4, следовательно, это и есть порядок числа $10b$.

Ответ: 4

2) 0,01b;

Представим число $0,01$ в виде степени числа 10: $0,01 = 10^{-2}$. Теперь найдем стандартный вид числа $0,01b$:

$0,01b = 10^{-2} \cdot (a \cdot 10^3) = a \cdot 10^{-2+3} = a \cdot 10^1$.

Так как $1 \le a < 10$, полученное выражение является стандартной записью числа. Порядок числа равен показателю степени 10, то есть 1.

Ответ: 1

3) 0,0001b;

Представим число $0,0001$ в виде степени числа 10: $0,0001 = 10^{-4}$. Найдем стандартный вид числа $0,0001b$:

$0,0001b = 10^{-4} \cdot (a \cdot 10^3) = a \cdot 10^{-4+3} = a \cdot 10^{-1}$.

Так как $1 \le a < 10$, полученное выражение является стандартной записью числа. Порядок числа равен -1.

Ответ: -1

4) 1000b.

Представим число $1000$ в виде степени числа 10: $1000 = 10^3$. Найдем стандартный вид числа $1000b$:

$1000b = 10^3 \cdot (a \cdot 10^3) = a \cdot 10^{3+3} = a \cdot 10^6$.

Так как $1 \le a < 10$, полученное выражение является стандартной записью числа. Порядок числа равен 6.

Ответ: 6

293. Выполните вычисления и результат запишите в стандартном виде:

1) $(1,8 \cdot 10^4) \cdot (6 \cdot 10^3);$

2) $(3 \cdot 10^6) \cdot (5,2 \cdot 10^{-9});$

3) $\frac{5,4 \cdot 10^5}{9 \cdot 10^8};$

4) $\frac{1,7 \cdot 10^{-6}}{3,4 \cdot 10^{-4}}.$

1) Чтобы выполнить умножение, сгруппируем отдельно числовые множители и степени десяти:

$(1,8 \cdot 10^4) \cdot (6 \cdot 10^3) = (1,8 \cdot 6) \cdot (10^4 \cdot 10^3)$

Вычислим произведение чисел:

$1,8 \cdot 6 = 10,8$

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):

$10^4 \cdot 10^3 = 10^{4+3} = 10^7$

Получаем результат:

$10,8 \cdot 10^7$

Для записи в стандартном виде ($a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$) преобразуем первый множитель $10,8$:

$10,8 = 1,08 \cdot 10^1$

Подставим это в наше выражение:

$(1,08 \cdot 10^1) \cdot 10^7 = 1,08 \cdot 10^{1+7} = 1,08 \cdot 10^8$

Ответ: $1,08 \cdot 10^8$.

2) Аналогично первому пункту, сгруппируем множители:

$(3 \cdot 10^6) \cdot (5,2 \cdot 10^{-9}) = (3 \cdot 5,2) \cdot (10^6 \cdot 10^{-9})$

Вычислим произведение чисел:

$3 \cdot 5,2 = 15,6$

Вычислим произведение степеней:

$10^6 \cdot 10^{-9} = 10^{6+(-9)} = 10^{-3}$

Получаем результат:

$15,6 \cdot 10^{-3}$

Приведем результат к стандартному виду. Преобразуем множитель $15,6$:

$15,6 = 1,56 \cdot 10^1$

Подставим в выражение:

$(1,56 \cdot 10^1) \cdot 10^{-3} = 1,56 \cdot 10^{1-3} = 1,56 \cdot 10^{-2}$

Ответ: $1,56 \cdot 10^{-2}$.

3) Для выполнения деления представим дробь в виде произведения двух дробей:

$\frac{5,4 \cdot 10^5}{9 \cdot 10^8} = \frac{5,4}{9} \cdot \frac{10^5}{10^8}$

Вычислим частное от деления чисел:

$\frac{5,4}{9} = 0,6$

При делении степеней с одинаковым основанием из показателя делимого вычитается показатель делителя ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$):

$\frac{10^5}{10^8} = 10^{5-8} = 10^{-3}$

Получаем результат:

$0,6 \cdot 10^{-3}$

Приведем к стандартному виду. Преобразуем множитель $0,6$:

$0,6 = 6 \cdot 10^{-1}$

Подставим в выражение:

$(6 \cdot 10^{-1}) \cdot 10^{-3} = 6 \cdot 10^{-1-3} = 6 \cdot 10^{-4}$

Ответ: $6 \cdot 10^{-4}$.

4) Аналогично третьему пункту, разделим выражение на две дроби:

$\frac{1,7 \cdot 10^{-6}}{3,4 \cdot 10^{-4}} = \frac{1,7}{3,4} \cdot \frac{10^{-6}}{10^{-4}}$

Вычислим частное от деления чисел:

$\frac{1,7}{3,4} = \frac{17}{34} = \frac{1}{2} = 0,5$

Вычислим частное от деления степеней:

$\frac{10^{-6}}{10^{-4}} = 10^{-6 - (-4)} = 10^{-6+4} = 10^{-2}$

Получаем результат:

$0,5 \cdot 10^{-2}$

Приведем к стандартному виду. Преобразуем множитель $0,5$:

$0,5 = 5 \cdot 10^{-1}$

Подставим в выражение:

$(5 \cdot 10^{-1}) \cdot 10^{-2} = 5 \cdot 10^{-1-2} = 5 \cdot 10^{-3}$

Ответ: $5 \cdot 10^{-3}$.

294. Выполните вычисления и результат запишите в стандартном виде:

1) $ (1,6 \cdot 10^{-5}) \cdot (4 \cdot 10^{7}) $;

2) $ (5 \cdot 10^{-3}) \cdot (1,8 \cdot 10^{-1}) $;

3) $ \frac{7 \cdot 10^{-4}}{1,4 \cdot 10^{-6}} $;

4) $ \frac{6,4 \cdot 10^{3}}{8 \cdot 10^{-2}} $.

1) Для выполнения умножения чисел, записанных в стандартном виде, необходимо отдельно перемножить их мантиссы (числа перед степенью десяти) и отдельно — степени десяти. Затем, при необходимости, привести результат к стандартному виду (мантисса должна быть больше или равна 1, но меньше 10).

$(1,6 \cdot 10^{-5}) \cdot (4 \cdot 10^{7}) = (1,6 \cdot 4) \cdot (10^{-5} \cdot 10^{7})$

Вычислим произведение мантисс: $1,6 \cdot 4 = 6,4$.

Вычислим произведение степеней, используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$: $10^{-5} \cdot 10^{7} = 10^{-5+7} = 10^{2}$.

Объединяем полученные результаты: $6,4 \cdot 10^{2}$.

Так как $1 \le 6,4 < 10$, полученное число уже находится в стандартном виде.

Ответ: $6,4 \cdot 10^{2}$.

2) Выполним вычисления аналогично предыдущему пункту.

$(5 \cdot 10^{-3}) \cdot (1,8 \cdot 10^{-1}) = (5 \cdot 1,8) \cdot (10^{-3} \cdot 10^{-1})$

Произведение мантисс: $5 \cdot 1,8 = 9$.

Произведение степеней: $10^{-3} \cdot 10^{-1} = 10^{-3+(-1)} = 10^{-4}$.

Результат: $9 \cdot 10^{-4}$.

Так как $1 \le 9 < 10$, результат записан в стандартном виде.

Ответ: $9 \cdot 10^{-4}$.

3) Для деления чисел в стандартном виде нужно отдельно разделить их мантиссы и отдельно — степени десяти.

$\frac{7 \cdot 10^{-4}}{1,4 \cdot 10^{-6}} = \frac{7}{1,4} \cdot \frac{10^{-4}}{10^{-6}}$

Вычислим частное мантисс: $\frac{7}{1,4} = \frac{70}{14} = 5$.

Вычислим частное степеней, используя свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$: $\frac{10^{-4}}{10^{-6}} = 10^{-4 - (-6)} = 10^{-4+6} = 10^{2}$.

Объединяем результаты: $5 \cdot 10^{2}$.

Так как $1 \le 5 < 10$, результат записан в стандартном виде.

Ответ: $5 \cdot 10^{2}$.

4) Выполним деление аналогично предыдущему пункту.

$\frac{6,4 \cdot 10^{3}}{8 \cdot 10^{-2}} = \frac{6,4}{8} \cdot \frac{10^{3}}{10^{-2}}$

Частное мантисс: $\frac{6,4}{8} = 0,8$.

Частное степеней: $\frac{10^{3}}{10^{-2}} = 10^{3 - (-2)} = 10^{3+2} = 10^{5}$.

Получаем промежуточный результат: $0,8 \cdot 10^{5}$.

Это число не записано в стандартном виде, так как его мантисса $0,8$ меньше $1$. Для приведения к стандартному виду представим мантиссу как $8 \cdot 10^{-1}$ и умножим на степень десяти.

$0,8 \cdot 10^{5} = (8 \cdot 10^{-1}) \cdot 10^{5} = 8 \cdot (10^{-1} \cdot 10^{5}) = 8 \cdot 10^{-1+5} = 8 \cdot 10^{4}$.

Теперь мантисса $8$ удовлетворяет условию $1 \le 8 < 10$.

Ответ: $8 \cdot 10^{4}$.

295. Расстояние от Земли до Солнца равно $1,5 \cdot 10^8$ км, а скорость света – $3 \cdot 10^8$ м/с. За сколько минут свет от Солнца дойдёт до Земли? Ответ округлите до единиц.

Для того чтобы найти время, за которое свет от Солнца дойдет до Земли, необходимо разделить расстояние между ними на скорость света. Основная формула, которую мы будем использовать, это $t = \frac{S}{c}$, где $t$ — время, $S$ — расстояние, а $c$ — скорость света.

Исходные данные из условия задачи:
Расстояние от Земли до Солнца $S = 1.5 \cdot 10^8 \text{ км}$.
Скорость света $c = 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}$.

Прежде чем выполнять расчеты, необходимо привести единицы измерения к единой системе. В данном случае, переведем расстояние из километров в метры. Мы знаем, что $1 \text{ км} = 1000 \text{ м} = 10^3 \text{ м}$.
$S = 1.5 \cdot 10^8 \text{ км} = 1.5 \cdot 10^8 \cdot 10^3 \text{ м} = 1.5 \cdot 10^{11} \text{ м}$.

Теперь мы можем рассчитать время в секундах, подставив значения в нашу формулу:
$t = \frac{S}{c} = \frac{1.5 \cdot 10^{11} \text{ м}}{3 \cdot 10^8 \text{ м/с}} = \frac{1.5}{3} \cdot 10^{11-8} \text{ с} = 0.5 \cdot 10^3 \text{ с} = 500 \text{ с}$.

В условии задачи требуется дать ответ в минутах. Для этого необходимо перевести полученное время из секунд в минуты, зная, что в одной минуте 60 секунд:
$t_{\text{мин}} = \frac{500 \text{ с}}{60 \text{ с/мин}} = \frac{50}{6} \text{ мин} \approx 8.333... \text{ мин}$.

Наконец, согласно условию, необходимо округлить ответ до единиц (до ближайшего целого числа).
$8.333... \approx 8$.

Ответ: 8