Страница 65 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

257. Представьте в виде дроби выражение:

1) $a^{-2} + a^{-3};$

2) $mn^{-4} + m^{-4}n;$

3) $(c^{-1} - d^{-1}) \cdot (c - d)^{-2};$

4) $(x^{-2} + y^{-2}) \cdot (x^2 + y^2)^{-1}.$

1) $a^{-2} + a^{-3}$

Для преобразования выражения используем свойство степени с отрицательным показателем $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$.

$a^{-2} + a^{-3} = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{a^3}$

Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьшим общим знаменателем для $a^2$ и $a^3$ является $a^3$. Домножим числитель и знаменатель первой дроби на $a$:

$\frac{1 \cdot a}{a^2 \cdot a} + \frac{1}{a^3} = \frac{a}{a^3} + \frac{1}{a^3}$

Теперь сложим дроби с одинаковыми знаменателями:

$\frac{a+1}{a^3}$

Ответ: $\frac{a+1}{a^3}$

2) $mn^{-4} + m^{-4}n$

Перепишем слагаемые, используя свойство $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$:

$mn^{-4} + m^{-4}n = m \cdot \frac{1}{n^4} + \frac{1}{m^4} \cdot n = \frac{m}{n^4} + \frac{n}{m^4}$

Приведем дроби к общему знаменателю $m^4n^4$. Для этого первую дробь домножим на $m^4$, а вторую на $n^4$:

$\frac{m \cdot m^4}{n^4 \cdot m^4} + \frac{n \cdot n^4}{m^4 \cdot n^4} = \frac{m^5}{m^4n^4} + \frac{n^5}{m^4n^4}$

Сложим дроби:

$\frac{m^5 + n^5}{m^4n^4}$

Ответ: $\frac{m^5 + n^5}{m^4n^4}$

3) $(c^{-1} - d^{-1}) \cdot (c-d)^{-2}$

Преобразуем каждый множитель отдельно, используя свойство $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$.

Преобразуем первый множитель: $c^{-1} - d^{-1} = \frac{1}{c} - \frac{1}{d}$. Приведем к общему знаменателю $cd$: $\frac{d}{cd} - \frac{c}{cd} = \frac{d-c}{cd}$.

Преобразуем второй множитель: $(c-d)^{-2} = \frac{1}{(c-d)^2}$.

Теперь перемножим полученные дроби:

$(\frac{d-c}{cd}) \cdot \frac{1}{(c-d)^2} = \frac{d-c}{cd(c-d)^2}$

Заметим, что $d-c = -(c-d)$. Подставим это в числитель, чтобы можно было сократить дробь:

$\frac{-(c-d)}{cd(c-d)^2}$

Сократим дробь на общий множитель $(c-d)$:

$\frac{-1}{cd(c-d)}$

Ответ: $\frac{-1}{cd(c-d)}$

4) $(x^{-2} + y^{-2}) \cdot (x^2 + y^2)^{-1}$

Используя свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, перепишем выражение:

$(\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2}) \cdot \frac{1}{x^2+y^2}$

Выполним сложение в скобках. Общий знаменатель для дробей $\frac{1}{x^2}$ и $\frac{1}{y^2}$ равен $x^2y^2$:

$\frac{1 \cdot y^2}{x^2 \cdot y^2} + \frac{1 \cdot x^2}{y^2 \cdot x^2} = \frac{y^2+x^2}{x^2y^2}$

Подставим полученную дробь обратно в исходное выражение:

$\frac{x^2+y^2}{x^2y^2} \cdot \frac{1}{x^2+y^2}$

Перемножим дроби и сократим на общий множитель $(x^2+y^2)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{x^2+y^2}{x^2y^2(x^2+y^2)} = \frac{1}{x^2y^2}$

Ответ: $\frac{1}{x^2y^2}$

258. Порядок некоторого натурального числа равен 4. Сколько цифр содержит десятичная запись этого числа?

По определению, порядком натурального числа $N$ называется показатель степени $n$ в стандартной (или экспоненциальной) записи этого числа. Стандартная запись имеет вид $N = a \cdot 10^n$, где $a$ — мантисса числа, удовлетворяющая условию $1 \le a < 10$, а $n$ — целое число, называемое порядком.

В условии задачи сказано, что порядок некоторого натурального числа равен 4. Это означает, что $n=4$.

Следовательно, это натуральное число $N$ можно записать в виде $N = a \cdot 10^4$, где $1 \le a < 10$.

Теперь определим диапазон, в котором находится число $N$.
Минимальное значение $N$ достигается при наименьшем возможном значении мантиссы $a=1$:
$N_{min} = 1 \cdot 10^4 = 10000$.
Поскольку мантисса $a$ должна быть строго меньше 10 ($a < 10$), то и число $N$ будет строго меньше, чем $10 \cdot 10^4$:
$N < 10 \cdot 10^4 = 100000$.

Таким образом, искомое натуральное число $N$ удовлетворяет двойному неравенству:
$10000 \le N < 100000$.

Рассмотрим натуральные числа, попадающие в этот промежуток.
Наименьшее такое число — 10000. В его десятичной записи 5 цифр.
Наибольшее такое натуральное число — 99999. В его десятичной записи также 5 цифр.
Любое натуральное число, находящееся между 10000 и 99999, очевидно, также будет состоять из 5 цифр (например, 25348, 87100 и т.д.).

В общем случае, количество цифр $k$ в десятичной записи натурального числа связано с его порядком $n$ простой формулой: $k = n + 1$.
Для нашего случая, при $n=4$, получаем количество цифр:
$k = 4 + 1 = 5$.

Ответ: 5

259. Десятичная запись некоторого натурального числа состоит из семи цифр. Чему равен порядок этого числа?

Порядком числа называется показатель степени множителя 10 в его стандартной записи. Стандартная запись числа $N$ имеет вид $a \times 10^n$, где $1 \le a < 10$, а $n$ — целое число. Показатель $n$ и есть искомый порядок числа.

По условию, натуральное число состоит из семи цифр. Это означает, что оно не меньше, чем наименьшее семизначное число (1 000 000), и меньше, чем наименьшее восьмизначное число (10 000 000). Обозначим данное число как $N$.

Таким образом, число $N$ удовлетворяет двойному неравенству:

$1 000 000 \le N < 10 000 000$

Перепишем это неравенство, используя степени числа 10:

$10^6 \le N < 10^7$

Чтобы привести число $N$ к стандартному виду $a \times 10^n$, мы должны найти такое целое $n$, чтобы множитель $a = N / 10^n$ оказался в диапазоне от 1 (включительно) до 10 (не включительно). Разделим все части нашего неравенства на $10^6$:

$\frac{10^6}{10^6} \le \frac{N}{10^6} < \frac{10^7}{10^6}$

$1 \le \frac{N}{10^6} < 10$

Мы видим, что если мы выберем $n=6$, то множитель $a = \frac{N}{10^6}$ будет удовлетворять требуемому условию $1 \le a < 10$. Следовательно, стандартная запись любого семизначного числа имеет вид $a \times 10^6$.

Например, для числа $1 234 567$ стандартная запись будет $1.234567 \times 10^6$. Показатель степени равен 6. Для числа $9 876 543$ запись будет $9.876543 \times 10^6$, и порядок также равен 6.

Таким образом, порядок любого натурального числа, состоящего из семи цифр, равен 6.

Ответ: 6

260. Какое число больше:

1) $9,7 \cdot 10^{11}$ или $1,2 \cdot 10^{12}$;

2) $3,6 \cdot 10^{-5}$ или $4,8 \cdot 10^{-6}$;

3) $2,34 \cdot 10^{6}$ или $0,23 \cdot 10^{7}$;

4) $42,7 \cdot 10^{-9}$ или $0,072 \cdot 10^{-7}$?

1) Чтобы сравнить числа $9,7 \cdot 10^{11}$ и $1,2 \cdot 10^{12}$, приведем их к одинаковой степени 10. Удобнее привести оба числа к большей степени, то есть к $10^{12}$.
Первое число: $9,7 \cdot 10^{11} = 9,7 \cdot \frac{1}{10} \cdot 10^{12} = 0,97 \cdot 10^{12}$.
Второе число: $1,2 \cdot 10^{12}$.
Теперь сравним полученные выражения: $0,97 \cdot 10^{12}$ и $1,2 \cdot 10^{12}$. Поскольку степени у 10 одинаковые, сравниваем множители (мантиссы): $0,97$ и $1,2$.
Так как $1,2 > 0,97$, то $1,2 \cdot 10^{12} > 0,97 \cdot 10^{12}$, и, следовательно, $1,2 \cdot 10^{12} > 9,7 \cdot 10^{11}$.
Ответ: $1,2 \cdot 10^{12}$.

2) Сравним числа $3,6 \cdot 10^{-5}$ и $4,8 \cdot 10^{-6}$. Приведем их к одной степени 10. Выберем степень $10^{-5}$ (так как $-5 > -6$).
Первое число: $3,6 \cdot 10^{-5}$.
Второе число: $4,8 \cdot 10^{-6} = 4,8 \cdot 10^{-1} \cdot 10^{-5} = 0,48 \cdot 10^{-5}$.
Теперь сравним $3,6 \cdot 10^{-5}$ и $0,48 \cdot 10^{-5}$. Сравниваем множители $3,6$ и $0,48$.
Так как $3,6 > 0,48$, то $3,6 \cdot 10^{-5} > 0,48 \cdot 10^{-5}$, и, следовательно, $3,6 \cdot 10^{-5} > 4,8 \cdot 10^{-6}$.
Ответ: $3,6 \cdot 10^{-5}$.

3) Сравним числа $2,34 \cdot 10^{6}$ и $0,23 \cdot 10^{7}$. Приведем их к одной степени 10. Приведем второе число к степени $10^{6}$.
Второе число: $0,23 \cdot 10^{7} = 0,23 \cdot 10 \cdot 10^{6} = 2,3 \cdot 10^{6}$.
Теперь сравним $2,34 \cdot 10^{6}$ и $2,3 \cdot 10^{6}$. Сравниваем множители $2,34$ и $2,3$.
Так как $2,34 > 2,3$, то $2,34 \cdot 10^{6} > 2,3 \cdot 10^{6}$, и, следовательно, $2,34 \cdot 10^{6} > 0,23 \cdot 10^{7}$.
Ответ: $2,34 \cdot 10^{6}$.

4) Сравним числа $42,7 \cdot 10^{-9}$ и $0,072 \cdot 10^{-7}$. Приведем их к одной степени 10. Выберем степень $10^{-7}$ (так как $-7 > -9$).
Первое число: $42,7 \cdot 10^{-9} = 42,7 \cdot 10^{-2} \cdot 10^{-7} = 0,427 \cdot 10^{-7}$.
Второе число: $0,072 \cdot 10^{-7}$.
Теперь сравним $0,427 \cdot 10^{-7}$ и $0,072 \cdot 10^{-7}$. Сравниваем множители $0,427$ и $0,072$.
Так как $0,427 > 0,072$, то $0,427 \cdot 10^{-7} > 0,072 \cdot 10^{-7}$, и, следовательно, $42,7 \cdot 10^{-9} > 0,072 \cdot 10^{-7}$.
Ответ: $42,7 \cdot 10^{-9}$.

261. Какое число меньше:

1) $6,1 \cdot 10^{19}$ или $6,15 \cdot 10^{18}$,

2) $1,5 \cdot 10^{-9}$ или $0,9 \cdot 10^{-8}$?

1) Чтобы сравнить числа, записанные в стандартном виде, необходимо привести их к одинаковому порядку (одинаковой степени 10). Сравним числа $6,1 \cdot 10^{19}$ и $6,15 \cdot 10^{18}$.

Приведем оба числа к степени $10^{18}$.

Первое число: $6,1 \cdot 10^{19} = 6,1 \cdot 10^1 \cdot 10^{18} = 61 \cdot 10^{18}$.

Второе число уже имеет нужную степень: $6,15 \cdot 10^{18}$.

Теперь сравним полученные выражения: $61 \cdot 10^{18}$ и $6,15 \cdot 10^{18}$. Поскольку степени десятки равны, нужно сравнить их коэффициенты (мантиссы): $61$ и $6,15$.

Так как $6,15 < 61$, то и $6,15 \cdot 10^{18} < 61 \cdot 10^{18}$.

Следовательно, из двух исходных чисел меньшим является $6,15 \cdot 10^{18}$.

Ответ: $6,15 \cdot 10^{18}$.

2) Сравним числа $1,5 \cdot 10^{-9}$ и $0,9 \cdot 10^{-8}$.

Приведем оба числа к одинаковой степени, например, к $10^{-9}$.

Первое число уже имеет нужную степень: $1,5 \cdot 10^{-9}$.

Второе число: $0,9 \cdot 10^{-8} = 0,9 \cdot 10^1 \cdot 10^{-9} = 9 \cdot 10^{-9}$.

Теперь сравним выражения: $1,5 \cdot 10^{-9}$ и $9 \cdot 10^{-9}$. Так как степени десятки одинаковы, сравним коэффициенты: $1,5$ и $9$.

Поскольку $1,5 < 9$, то и $1,5 \cdot 10^{-9} < 9 \cdot 10^{-9}$.

Следовательно, из двух исходных чисел меньшим является $1,5 \cdot 10^{-9}$.

Ответ: $1,5 \cdot 10^{-9}$.

262. В таблице приведены расстояния от Солнца до планет Солнечной системы.

Планета: Расстояние, км

Венера: $1.082 \cdot 10^8$

Земля: $1.495 \cdot 10^8$

Марс: $2.280 \cdot 10^8$

Меркурий: $5.790 \cdot 10^7$

Нептун: $4.497 \cdot 10^9$

Сатурн: $1.427 \cdot 10^9$

Уран: $2.871 \cdot 10^9$

Юпитер: $7.781 \cdot 10^8$

1) Какая планета находится на наименьшем расстоянии от Солнца, а какая — на наибольшем?

2) Какая из планет, Марс или Сатурн, находится дальше от Солнца?

3) Составьте таблицу, записав в левом столбце названия планет в порядке увеличения расстояния от них до Солнца, а в правом — расстояния от них до Солнца, выраженные в миллионах километров.

1) Чтобы найти планету на наименьшем и наибольшем расстоянии от Солнца, необходимо сравнить все расстояния, приведенные в таблице. Для удобства сравнения чисел, записанных в стандартном виде $a \cdot 10^n$, приведем их к одному показателю степени, например, к $10^8$.

Расстояния до планет в километрах:

• Венера: $1,082 \cdot 10^8$
• Земля: $1,495 \cdot 10^8$
• Марс: $2,280 \cdot 10^8$
• Меркурий: $5,790 \cdot 10^7 = 0,579 \cdot 10^8$
• Нептун: $4,497 \cdot 10^9 = 44,97 \cdot 10^8$
• Сатурн: $1,427 \cdot 10^9 = 14,27 \cdot 10^8$
• Уран: $2,871 \cdot 10^9 = 28,71 \cdot 10^8$
• Юпитер: $7,781 \cdot 10^8$

Теперь, когда все числа имеют одинаковый множитель $10^8$, мы можем сравнить их первые части (мантиссы):

$0,579 < 1,082 < 1,495 < 2,280 < 7,781 < 14,27 < 28,71 < 44,97$

Из этого сравнения видно, что наименьшее значение ($0,579 \cdot 10^8 \text{ км}$) соответствует Меркурию, а наибольшее ($44,97 \cdot 10^8 \text{ км}$) — Нептуну.

Ответ: На наименьшем расстоянии от Солнца находится Меркурий, а на наибольшем — Нептун.

2) Чтобы определить, какая из планет — Марс или Сатурн — находится дальше от Солнца, сравним их расстояния:

• Расстояние до Марса: $2,280 \cdot 10^8$ км.
• Расстояние до Сатурна: $1,427 \cdot 10^9$ км.

При сравнении чисел в стандартном виде в первую очередь сравнивают показатели степени ($n$ в выражении $a \cdot 10^n$). У расстояния до Сатурна показатель степени равен $9$, а у Марса — $8$. Так как $9 > 8$, то и число $1,427 \cdot 10^9$ больше, чем $2,280 \cdot 10^8$. Следовательно, Сатурн находится дальше от Солнца, чем Марс.

Ответ: Дальше от Солнца находится Сатурн.

3) Для составления таблицы расположим планеты в порядке увеличения расстояния до Солнца (согласно расчетам из пункта 1) и выразим эти расстояния в миллионах километров. Для перевода из километров в миллионы километров нужно разделить значение на $10^6$.

• Меркурий: $5,790 \cdot 10^7 \text{ км} = \frac{5,790 \cdot 10^7}{10^6} \text{ млн км} = 57,9 \text{ млн км}$
• Венера: $1,082 \cdot 10^8 \text{ км} = \frac{1,082 \cdot 10^8}{10^6} \text{ млн км} = 108,2 \text{ млн км}$
• Земля: $1,495 \cdot 10^8 \text{ км} = \frac{1,495 \cdot 10^8}{10^6} \text{ млн км} = 149,5 \text{ млн км}$
• Марс: $2,280 \cdot 10^8 \text{ км} = \frac{2,280 \cdot 10^8}{10^6} \text{ млн км} = 228 \text{ млн км}$
• Юпитер: $7,781 \cdot 10^8 \text{ км} = \frac{7,781 \cdot 10^8}{10^6} \text{ млн км} = 778,1 \text{ млн км}$
• Сатурн: $1,427 \cdot 10^9 \text{ км} = \frac{1,427 \cdot 10^9}{10^6} \text{ млн км} = 1427 \text{ млн км}$
• Уран: $2,871 \cdot 10^9 \text{ км} = \frac{2,871 \cdot 10^9}{10^6} \text{ млн км} = 2871 \text{ млн км}$
• Нептун: $4,497 \cdot 10^9 \text{ км} = \frac{4,497 \cdot 10^9}{10^6} \text{ млн км} = 4497 \text{ млн км}$

Ответ:

263. В таблице приведены массы атомов некоторых химических элементов.

1) Масса атома какого из данных элементов наименьшая, а какого – наибольшая?

2) Масса атома какого из элементов, меди или натрия, больше?

3) Составьте таблицу, упорядочив элементы в порядке уменьшения массы их атомов.

1) Масса атома какого из данных элементов наименьшая, а какого — наибольшая?

Для того чтобы сравнить массы атомов, записанные в стандартном виде $m \cdot 10^n$, необходимо сначала сравнить показатели степени $n$. Чем меньше показатель степени (т.е. чем более отрицательным является число $n$), тем меньше сама масса. Если показатели степени равны, то для сравнения нужно использовать мантиссы $m$.

В предоставленной таблице массы имеют показатели степени $-25$, $-26$ и $-27$.

Поиск наименьшей массы:
Самый маленький показатель степени — это $-27$. Элементы с таким показателем — водород ($1,66 \cdot 10^{-27}$ кг) и гелий ($6,64 \cdot 10^{-27}$ кг). Сравнив их мантиссы, видим, что $1,66 < 6,64$. Следовательно, наименьшая масса у атома водорода.

Поиск наибольшей массы:
Самый большой показатель степени — это $-25$. Элементы с таким показателем — золото ($3,27 \cdot 10^{-25}$ кг), медь ($1,05 \cdot 10^{-25}$ кг), олово ($1,97 \cdot 10^{-25}$ кг) и уран ($3,95 \cdot 10^{-25}$ кг). Сравнив их мантиссы, видим, что $3,95$ — наибольшее значение. Следовательно, наибольшая масса у атома урана.

Ответ: Наименьшая масса у атома водорода ($1,66 \cdot 10^{-27}$ кг), а наибольшая — у атома урана ($3,95 \cdot 10^{-25}$ кг).

2) Масса атома какого из элементов, меди или натрия, больше?

Сравним массы атомов меди и натрия:

• Масса атома меди: $1,05 \cdot 10^{-25}$ кг
• Масса атома натрия: $3,81 \cdot 10^{-26}$ кг

Сравниваем показатели степени: $-25$ и $-26$. Так как $-25$ больше, чем $-26$, то и число с показателем $-25$ будет больше. $1,05 \cdot 10^{-25} > 3,81 \cdot 10^{-26}$.

Ответ: Масса атома меди больше массы атома натрия.

3) Составьте таблицу, упорядочив элементы в порядке уменьшения массы их атомов.

Для составления таблицы расположим все элементы в порядке убывания массы их атомов, сравнивая их так же, как в пункте 1.

Ответ: Таблица с элементами, упорядоченными по убыванию массы их атомов, представлена выше.