Номер 257, страница 65 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 8. Степень с целым отрицательным показателем. Глава 1. Рациональные выражения - номер 257, страница 65.

Условие.

257. Представьте в виде дроби выражение:

1) $a^{-2} + a^{-3};$

2) $mn^{-4} + m^{-4}n;$

3) $(c^{-1} - d^{-1}) \cdot (c - d)^{-2};$

4) $(x^{-2} + y^{-2}) \cdot (x^2 + y^2)^{-1}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $a^{-2} + a^{-3}$

Для преобразования выражения используем свойство степени с отрицательным показателем $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$.

$a^{-2} + a^{-3} = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{a^3}$

Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьшим общим знаменателем для $a^2$ и $a^3$ является $a^3$. Домножим числитель и знаменатель первой дроби на $a$:

$\frac{1 \cdot a}{a^2 \cdot a} + \frac{1}{a^3} = \frac{a}{a^3} + \frac{1}{a^3}$

Теперь сложим дроби с одинаковыми знаменателями:

$\frac{a+1}{a^3}$

Ответ: $\frac{a+1}{a^3}$

2) $mn^{-4} + m^{-4}n$

Перепишем слагаемые, используя свойство $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$:

$mn^{-4} + m^{-4}n = m \cdot \frac{1}{n^4} + \frac{1}{m^4} \cdot n = \frac{m}{n^4} + \frac{n}{m^4}$

Приведем дроби к общему знаменателю $m^4n^4$. Для этого первую дробь домножим на $m^4$, а вторую на $n^4$:

$\frac{m \cdot m^4}{n^4 \cdot m^4} + \frac{n \cdot n^4}{m^4 \cdot n^4} = \frac{m^5}{m^4n^4} + \frac{n^5}{m^4n^4}$

Сложим дроби:

$\frac{m^5 + n^5}{m^4n^4}$

Ответ: $\frac{m^5 + n^5}{m^4n^4}$

3) $(c^{-1} - d^{-1}) \cdot (c-d)^{-2}$

Преобразуем каждый множитель отдельно, используя свойство $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$.

Преобразуем первый множитель: $c^{-1} - d^{-1} = \frac{1}{c} - \frac{1}{d}$. Приведем к общему знаменателю $cd$: $\frac{d}{cd} - \frac{c}{cd} = \frac{d-c}{cd}$.

Преобразуем второй множитель: $(c-d)^{-2} = \frac{1}{(c-d)^2}$.

Теперь перемножим полученные дроби:

$(\frac{d-c}{cd}) \cdot \frac{1}{(c-d)^2} = \frac{d-c}{cd(c-d)^2}$

Заметим, что $d-c = -(c-d)$. Подставим это в числитель, чтобы можно было сократить дробь:

$\frac{-(c-d)}{cd(c-d)^2}$

Сократим дробь на общий множитель $(c-d)$:

$\frac{-1}{cd(c-d)}$

Ответ: $\frac{-1}{cd(c-d)}$

4) $(x^{-2} + y^{-2}) \cdot (x^2 + y^2)^{-1}$

Используя свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, перепишем выражение:

$(\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2}) \cdot \frac{1}{x^2+y^2}$

Выполним сложение в скобках. Общий знаменатель для дробей $\frac{1}{x^2}$ и $\frac{1}{y^2}$ равен $x^2y^2$:

$\frac{1 \cdot y^2}{x^2 \cdot y^2} + \frac{1 \cdot x^2}{y^2 \cdot x^2} = \frac{y^2+x^2}{x^2y^2}$

Подставим полученную дробь обратно в исходное выражение:

$\frac{x^2+y^2}{x^2y^2} \cdot \frac{1}{x^2+y^2}$

Перемножим дроби и сократим на общий множитель $(x^2+y^2)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{x^2+y^2}{x^2y^2(x^2+y^2)} = \frac{1}{x^2y^2}$

Ответ: $\frac{1}{x^2y^2}$