Номер 254, страница 64 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 8. Степень с целым отрицательным показателем. Упражнения - номер 254, страница 64.

Условие.

254. Сравните значения выражений:

1) $12^0$ и $(-6)^0$;
2) $0,2^3$ и $0,2^{-3}$;
3) $4^6$ и $0,25^{-6}$;
4) $3^{-1} \cdot 7^{-1}$ и $21^{-1}$;
5) $5^{-1} - 7^{-1}$ и $2^{-1}$;
6) $\left(\frac{1}{3}\right)^{-1} + \left(\frac{1}{2}\right)^{-1}$ и $\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{2}\right)^{-1}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Сравним значения выражений $12^0$ и $(-6)^0$.
Согласно свойству степени, любое ненулевое число в нулевой степени равно 1. То есть, $a^0 = 1$ для любого $a \ne 0$.
Вычисляем значения выражений:
$12^0 = 1$
$(-6)^0 = 1$
Поскольку $1 = 1$, значения выражений равны.
Ответ: $12^0 = (-6)^0$.

2) Сравним значения выражений $0,2^3$ и $0,2^{-3}$.
Вычислим значение первого выражения:
$0,2^3 = 0,2 \cdot 0,2 \cdot 0,2 = 0,008$.
Для второго выражения воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
$0,2^{-3} = \frac{1}{0,2^3} = \frac{1}{0,008} = \frac{1}{8/1000} = \frac{1000}{8} = 125$.
Сравниваем полученные значения: $0,008$ и $125$.
Так как $0,008 < 125$, то и $0,2^3 < 0,2^{-3}$.
Ответ: $0,2^3 < 0,2^{-3}$.

3) Сравним значения выражений $4^6$ и $0,25^{-6}$.
Преобразуем второе выражение. Представим десятичную дробь $0,25$ в виде обыкновенной дроби: $0,25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$.
Тогда выражение $0,25^{-6}$ можно записать как $(\frac{1}{4})^{-6}$.
Используя свойство степени $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$, получаем:
$(\frac{1}{4})^{-6} = (\frac{4}{1})^6 = 4^6$.
Сравниваем $4^6$ и $4^6$. Они равны.
Ответ: $4^6 = 0,25^{-6}$.

4) Сравним значения выражений $3^{-1} \cdot 7^{-1}$ и $21^{-1}$.
Для первого выражения воспользуемся свойством произведения степеней с одинаковыми показателями: $a^n \cdot b^n = (ab)^n$.
$3^{-1} \cdot 7^{-1} = (3 \cdot 7)^{-1} = 21^{-1}$.
Сравниваем $21^{-1}$ и $21^{-1}$. Выражения равны.
Ответ: $3^{-1} \cdot 7^{-1} = 21^{-1}$.

5) Сравним значения выражений $5^{-1} - 7^{-1}$ и $2^{-1}$.
Вычислим значение первого выражения, используя свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:
$5^{-1} - 7^{-1} = \frac{1}{5} - \frac{1}{7}$.
Приведем дроби к общему знаменателю $35$:
$\frac{1}{5} - \frac{1}{7} = \frac{7}{35} - \frac{5}{35} = \frac{2}{35}$.
Вычислим значение второго выражения:
$2^{-1} = \frac{1}{2}$.
Теперь сравним дроби $\frac{2}{35}$ и $\frac{1}{2}$. Приведем их к общему знаменателю $70$:
$\frac{2}{35} = \frac{2 \cdot 2}{35 \cdot 2} = \frac{4}{70}$
$\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 35}{2 \cdot 35} = \frac{35}{70}$
Так как $4 < 35$, то $\frac{4}{70} < \frac{35}{70}$, а значит $\frac{2}{35} < \frac{1}{2}$.
Ответ: $5^{-1} - 7^{-1} < 2^{-1}$.

6) Сравним значения выражений $(\frac{1}{3})^{-1} + (\frac{1}{2})^{-1}$ и $(\frac{1}{3} + \frac{1}{2})^{-1}$.
Вычислим значение первого выражения. Используем свойство $(\frac{a}{b})^{-1} = \frac{b}{a}$:
$(\frac{1}{3})^{-1} + (\frac{1}{2})^{-1} = 3 + 2 = 5$.
Вычислим значение второго выражения. Сначала выполним сложение в скобках:
$\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{5}{6}$.
Теперь возведем результат в степень $-1$:
$(\frac{5}{6})^{-1} = \frac{6}{5}$.
Сравним полученные значения: $5$ и $\frac{6}{5}$.
Так как $5 = \frac{25}{5}$ и $\frac{25}{5} > \frac{6}{5}$, то $5 > \frac{6}{5}$.
Ответ: $(\frac{1}{3})^{-1} + (\frac{1}{2})^{-1} > (\frac{1}{3} + \frac{1}{2})^{-1}$.