Номер 255, страница 64 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 8. Степень с целым отрицательным показателем. Упражнения - номер 255, страница 64.

Условие.

255. Сравните значения выражений:

1) $3^{-2}$ и $(-3)^0$;

2) $3^{-1} + 2^{-1}$ и $5^{-1}$;

3) $(\frac{1}{4})^{-2} - (\frac{1}{5})^{-2}$ и $(\frac{1}{4} - \frac{1}{5})^{-2}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Сравним значения выражений $3^{-2}$ и $(-3)^0$.
Для этого вычислим значение каждого из них.
Используем свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ для $a \neq 0$:
$3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$.
Теперь используем свойство степени с нулевым показателем $a^0 = 1$ для $a \neq 0$:
$(-3)^0 = 1$.
Сравним полученные результаты: $\frac{1}{9}$ и $1$.
Так как $\frac{1}{9} < 1$, то $3^{-2} < (-3)^0$.
Ответ: $3^{-2} < (-3)^0$.

2) Сравним значения выражений $3^{-1} + 2^{-1}$ и $5^{-1}$.
Сначала вычислим значение первого выражения:
$3^{-1} + 2^{-1} = \frac{1}{3} + \frac{1}{2}$.
Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю, равному $6$:
$\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{5}{6}$.
Теперь вычислим значение второго выражения:
$5^{-1} = \frac{1}{5}$.
Сравним дроби $\frac{5}{6}$ и $\frac{1}{5}$. Приведем их к общему знаменателю, равному $30$:
$\frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 5}{6 \cdot 5} = \frac{25}{30}$.
$\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 6}{5 \cdot 6} = \frac{6}{30}$.
Так как $25 > 6$, то $\frac{25}{30} > \frac{6}{30}$, а значит $\frac{5}{6} > \frac{1}{5}$.
Следовательно, $3^{-1} + 2^{-1} > 5^{-1}$.
Ответ: $3^{-1} + 2^{-1} > 5^{-1}$.

3) Сравним значения выражений $(\frac{1}{4})^{-2} - (\frac{1}{5})^{-2}$ и $(\frac{1}{4} - \frac{1}{5})^{-2}$.
Вычислим значение первого выражения. Используем свойство $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$:
$(\frac{1}{4})^{-2} = (\frac{4}{1})^2 = 4^2 = 16$.
$(\frac{1}{5})^{-2} = (\frac{5}{1})^2 = 5^2 = 25$.
Тогда первое выражение равно: $16 - 25 = -9$.
Теперь вычислим значение второго выражения. Сначала выполним действие в скобках:
$\frac{1}{4} - \frac{1}{5} = \frac{5}{20} - \frac{4}{20} = \frac{1}{20}$.
Теперь возведем полученный результат в степень $-2$:
$(\frac{1}{20})^{-2} = (\frac{20}{1})^2 = 20^2 = 400$.
Сравним полученные значения: $-9$ и $400$.
Так как $-9 < 400$, то $(\frac{1}{4})^{-2} - (\frac{1}{5})^{-2} < (\frac{1}{4} - \frac{1}{5})^{-2}$.
Ответ: $(\frac{1}{4})^{-2} - (\frac{1}{5})^{-2} < (\frac{1}{4} - \frac{1}{5})^{-2}$.