Номер 258, страница 65 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 8. Степень с целым отрицательным показателем. Глава 1. Рациональные выражения - номер 258, страница 65.

Условие.

258. Порядок некоторого натурального числа равен 4. Сколько цифр содержит десятичная запись этого числа?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

По определению, порядком натурального числа $N$ называется показатель степени $n$ в стандартной (или экспоненциальной) записи этого числа. Стандартная запись имеет вид $N = a \cdot 10^n$, где $a$ — мантисса числа, удовлетворяющая условию $1 \le a < 10$, а $n$ — целое число, называемое порядком.

В условии задачи сказано, что порядок некоторого натурального числа равен 4. Это означает, что $n=4$.

Следовательно, это натуральное число $N$ можно записать в виде $N = a \cdot 10^4$, где $1 \le a < 10$.

Теперь определим диапазон, в котором находится число $N$.
Минимальное значение $N$ достигается при наименьшем возможном значении мантиссы $a=1$:
$N_{min} = 1 \cdot 10^4 = 10000$.
Поскольку мантисса $a$ должна быть строго меньше 10 ($a < 10$), то и число $N$ будет строго меньше, чем $10 \cdot 10^4$:
$N < 10 \cdot 10^4 = 100000$.

Таким образом, искомое натуральное число $N$ удовлетворяет двойному неравенству:
$10000 \le N < 100000$.

Рассмотрим натуральные числа, попадающие в этот промежуток.
Наименьшее такое число — 10000. В его десятичной записи 5 цифр.
Наибольшее такое натуральное число — 99999. В его десятичной записи также 5 цифр.
Любое натуральное число, находящееся между 10000 и 99999, очевидно, также будет состоять из 5 цифр (например, 25348, 87100 и т.д.).

В общем случае, количество цифр $k$ в десятичной записи натурального числа связано с его порядком $n$ простой формулой: $k = n + 1$.
Для нашего случая, при $n=4$, получаем количество цифр:
$k = 4 + 1 = 5$.

Ответ: 5