Номер 256, страница 64 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 8. Степень с целым отрицательным показателем. Упражнения - номер 256, страница 64.

Условие.

256. Представьте в виде дроби выражение:

1) $ab^{-1} + a^{-1}b;$

2) $3a^{-1} + ab^{-2};$

3) $m^2n^2(m^{-3} - n^{-3});$

4) $(a+b)^{-1} \cdot (a^{-1} + b^{-1});$

5) $(c^{-2} - d^{-2}) : (c+d);$

6) $(xy^{-2} + x^{-2}y) \cdot \left(\frac{x^2 - xy + y^2}{x}\right)^{-1}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Чтобы представить выражение $ab^{-1} + a^{-1}b$ в виде дроби, воспользуемся определением степени с отрицательным показателем $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$.

Применяя это правило, перепишем выражение:

$ab^{-1} + a^{-1}b = a \cdot \frac{1}{b} + \frac{1}{a} \cdot b = \frac{a}{b} + \frac{b}{a}$.

Теперь приведем полученные дроби к общему знаменателю, которым является $ab$.

$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{a \cdot a}{b \cdot a} + \frac{b \cdot b}{a \cdot b} = \frac{a^2}{ab} + \frac{b^2}{ab}$.

Складываем дроби с одинаковыми знаменателями:

$\frac{a^2 + b^2}{ab}$.

Ответ: $\frac{a^2 + b^2}{ab}$

2)

Представим выражение $3a^{-1} + ab^{-2}$ в виде дроби. Сначала используем свойство степени с отрицательным показателем:

$3a^{-1} + ab^{-2} = 3 \cdot \frac{1}{a} + a \cdot \frac{1}{b^2} = \frac{3}{a} + \frac{a}{b^2}$.

Приведем дроби к общему знаменателю $ab^2$:

$\frac{3 \cdot b^2}{a \cdot b^2} + \frac{a \cdot a}{b^2 \cdot a} = \frac{3b^2}{ab^2} + \frac{a^2}{ab^2}$.

Сложим числители:

$\frac{3b^2 + a^2}{ab^2}$.

Ответ: $\frac{a^2 + 3b^2}{ab^2}$

3)

Рассмотрим выражение $m^2n^2(m^{-3} - n^{-3})$. Сначала упростим выражение в скобках:

$m^{-3} - n^{-3} = \frac{1}{m^3} - \frac{1}{n^3}$.

Приведем к общему знаменателю $m^3n^3$:

$\frac{n^3}{m^3n^3} - \frac{m^3}{m^3n^3} = \frac{n^3 - m^3}{m^3n^3}$.

Теперь умножим полученную дробь на $m^2n^2$:

$m^2n^2 \cdot \frac{n^3 - m^3}{m^3n^3} = \frac{m^2n^2(n^3 - m^3)}{m^3n^3}$.

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на $m^2n^2$:

$\frac{n^3 - m^3}{mn}$.

Ответ: $\frac{n^3 - m^3}{mn}$

4)

Упростим выражение $(a+b)^{-1} \cdot (a^{-1} + b^{-1})$.

Преобразуем каждый множитель по отдельности:

$(a+b)^{-1} = \frac{1}{a+b}$.

$a^{-1} + b^{-1} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{b+a}{ab}$.

Теперь перемножим полученные дроби:

$\frac{1}{a+b} \cdot \frac{a+b}{ab}$.

Сократим общий множитель $(a+b)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{1}{ab}$.

Ответ: $\frac{1}{ab}$

5)

Рассмотрим выражение $(c^{-2} - d^{-2}) : (c+d)$.

Сначала преобразуем делимое $(c^{-2} - d^{-2})$:

$c^{-2} - d^{-2} = \frac{1}{c^2} - \frac{1}{d^2} = \frac{d^2 - c^2}{c^2d^2}$.

Используем формулу разности квадратов $d^2 - c^2 = (d-c)(d+c)$:

$\frac{(d-c)(d+c)}{c^2d^2}$.

Теперь выполним деление. Деление на выражение равносильно умножению на обратное ему выражение:

$\frac{(d-c)(d+c)}{c^2d^2} : (c+d) = \frac{(d-c)(d+c)}{c^2d^2} \cdot \frac{1}{c+d}$.

Сократим дробь на общий множитель $(d+c)$, так как $c+d=d+c$:

$\frac{d-c}{c^2d^2}$.

Ответ: $\frac{d-c}{c^2d^2}$

6)

Представим в виде дроби выражение $(xy^{-2} + x^{-2}y) \cdot \left(\frac{x^2 - xy + y^2}{x}\right)^{-1}$.

Упростим первый множитель $(xy^{-2} + x^{-2}y)$:

$xy^{-2} + x^{-2}y = \frac{x}{y^2} + \frac{y}{x^2} = \frac{x \cdot x^2 + y \cdot y^2}{x^2y^2} = \frac{x^3 + y^3}{x^2y^2}$.

Применим формулу суммы кубов $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$:

$\frac{(x+y)(x^2 - xy + y^2)}{x^2y^2}$.

Теперь упростим второй множитель. Степень -1 означает, что нужно взять обратную дробь:

$\left(\frac{x^2 - xy + y^2}{x}\right)^{-1} = \frac{x}{x^2 - xy + y^2}$.

Перемножим оба упрощенных выражения:

$\frac{(x+y)(x^2 - xy + y^2)}{x^2y^2} \cdot \frac{x}{x^2 - xy + y^2}$.

Сократим общий множитель $(x^2 - xy + y^2)$:

$\frac{(x+y) \cdot x}{x^2y^2}$.

Сократим дробь на $x$:

$\frac{x+y}{xy^2}$.

Ответ: $\frac{x+y}{xy^2}$