Номер 250, страница 64 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 8. Степень с целым отрицательным показателем. Глава 1. Рациональные выражения - номер 250, страница 64.

Условие.

250. Докажите, что $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^{n}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для доказательства тождества $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^{n}$ необходимо показать, что левая часть равенства может быть преобразована в правую с помощью свойств степеней. Предполагается, что $a \neq 0$ и $b \neq 0$.

Доказательство:

Существует несколько способов доказательства. Рассмотрим один из наиболее наглядных.

1. Начнем с левой части равенства: $(\frac{a}{b})^{-n}$.

2. Используем свойство степени $(x^k)^m = x^{k \cdot m}$. Представим показатель степени $-n$ как произведение $-1$ и $n$.

$(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{a}{b})^{-1 \cdot n} = ((\frac{a}{b})^{-1})^n$

3. Теперь рассмотрим выражение в скобках: $(\frac{a}{b})^{-1}$. По определению степени с показателем $-1$, для любого ненулевого числа $x$ справедливо равенство $x^{-1} = \frac{1}{x}$. Для дроби это означает ее "переворачивание":

$(\frac{a}{b})^{-1} = \frac{1}{\frac{a}{b}} = \frac{b}{a}$

4. Подставим полученный результат $\frac{b}{a}$ обратно в выражение из шага 2:

$((\frac{a}{b})^{-1})^n = (\frac{b}{a})^n$

Таким образом, мы преобразовали левую часть равенства в правую: $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^{n}$. Тождество доказано.

Ответ: Тождество $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^{n}$ доказано с помощью свойств степеней. Ключевым шагом является применение правила возведения в отрицательную степень, которое для дроби равносильно ее обращению (замене числителя и знаменателя местами), с последующим возведением в положительную степень $n$.