Страница 64 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

247. Запишите число в стандартном виде и укажите порядок числа:

1) 45 000;

2) 260;

3) 0,00024;

4) 0,032;

5) $0,059 \cdot 10^8$;

6) $526 \cdot 10^4$.

Стандартный вид числа — это его запись в виде $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$ и $n$ — целое число. Число $n$ называется порядком числа.

1) 45 000
Чтобы записать число 45 000 в стандартном виде, необходимо представить его в виде произведения числа от 1 до 10 и соответствующей степени числа 10. Перенесем запятую, которая по умолчанию стоит в конце числа, на 4 знака влево, чтобы получить число 4,5. Поскольку мы уменьшили число в $10^4$ раз, его нужно умножить на $10^4$, чтобы значение не изменилось.
$45\;000 = 4,5 \cdot 10^4$.
В данном случае $a = 4,5$ и $n = 4$. Порядок числа равен показателю степени $n$, то есть 4.
Ответ: стандартный вид $4,5 \cdot 10^4$, порядок числа 4.

2) 260
Перенесем запятую на 2 знака влево, чтобы получить число 2,6. Это эквивалентно делению на 100, или $10^2$. Поэтому для сохранения равенства нужно умножить на $10^2$.
$260 = 2,6 \cdot 10^2$.
Здесь $a = 2,6$ и $n = 2$. Порядок числа равен 2.
Ответ: стандартный вид $2,6 \cdot 10^2$, порядок числа 2.

3) 0,00024
Чтобы получить число от 1 до 10, перенесем запятую на 4 знака вправо. Получим число 2,4. Перенос запятой на 4 знака вправо эквивалентен умножению на $10^4$. Чтобы компенсировать это, нужно разделить на $10^4$, что равносильно умножению на $10^{-4}$.
$0,00024 = 2,4 \cdot 10^{-4}$.
Здесь $a = 2,4$ и $n = -4$. Порядок числа равен -4.
Ответ: стандартный вид $2,4 \cdot 10^{-4}$, порядок числа -4.

4) 0,032
Перенесем запятую на 2 знака вправо, чтобы получить число 3,2. Это означает, что исходное число нужно умножить на $10^{-2}$.
$0,032 = 3,2 \cdot 10^{-2}$.
Здесь $a = 3,2$ и $n = -2$. Порядок числа равен -2.
Ответ: стандартный вид $3,2 \cdot 10^{-2}$, порядок числа -2.

5) 0,059 $\cdot$ 10⁸
Сначала приведем множитель 0,059 к стандартному виду. Перенесем запятую на 2 знака вправо, получим 5,9. Таким образом, $0,059 = 5,9 \cdot 10^{-2}$. Теперь подставим это в исходное выражение:
$(5,9 \cdot 10^{-2}) \cdot 10^8 = 5,9 \cdot 10^{-2+8} = 5,9 \cdot 10^6$.
Здесь $a = 5,9$ и $n = 6$. Порядок числа равен 6.
Ответ: стандартный вид $5,9 \cdot 10^6$, порядок числа 6.

6) 526 $\cdot$ 10⁴
Приведем множитель 526 к стандартному виду. Перенесем запятую на 2 знака влево, получим 5,26. Таким образом, $526 = 5,26 \cdot 10^2$. Теперь подставим это в исходное выражение:
$(5,26 \cdot 10^2) \cdot 10^4 = 5,26 \cdot 10^{2+4} = 5,26 \cdot 10^6$.
Здесь $a = 5,26$ и $n = 6$. Порядок числа равен 6.
Ответ: стандартный вид $5,26 \cdot 10^6$, порядок числа 6.

248. Запишите значение выражения в виде натурального числа или десятичной дроби.

1) $1.6 \cdot 10^3$;

2) $5.7 \cdot 10^6$;

3) $2.1 \cdot 10^{-2}$;

4) $1.1 \cdot 10^{-5}$.

1) Для того чтобы записать число в стандартном виде, необходимо выполнить умножение. Умножение на $10^n$, где $n$ — натуральное число, эквивалентно переносу запятой на $n$ знаков вправо.

В выражении $1.6 \cdot 10^3$, мы умножаем $1.6$ на $1000$. Это означает, что нужно перенести запятую на 3 знака вправо.

$1.6 \cdot 10^3 = 1600$.

Ответ: 1600

2) Аналогично первому пункту, умножение на $10^6$ означает перенос запятой на 6 знаков вправо.

В выражении $5.7 \cdot 10^6$, мы умножаем $5.7$ на $1000000$.

$5.7 \cdot 10^6 = 5700000$.

Ответ: 5700000

3) Умножение на $10^{-n}$, где $n$ — натуральное число, эквивалентно делению на $10^n$ или переносу запятой на $n$ знаков влево.

В выражении $2.1 \cdot 10^{-2}$, мы умножаем $2.1$ на $0.01$ (или делим на $100$). Это означает, что нужно перенести запятую на 2 знака влево.

$2.1 \cdot 10^{-2} = 0.021$.

Ответ: 0.021

4) Аналогично третьему пункту, умножение на $10^{-5}$ означает перенос запятой на 5 знаков влево.

В выражении $1.1 \cdot 10^{-5}$, мы умножаем $1.1$ на $0.00001$ (или делим на $100000$).

$1.1 \cdot 10^{-5} = 0.000011$.

Ответ: 0.000011

249. Запишите значение выражения в виде натурального числа или десятичной дроби.

1) $2,4 \cdot 10^2$;

2) $4,8 \cdot 10^5$;

3) $1,4 \cdot 10^{-3}$;

4) $8,6 \cdot 10^{-4}$.

1) Для того чтобы записать значение выражения $2,4 \cdot 10^2$ в виде натурального числа или десятичной дроби, необходимо выполнить умножение. Множитель $10^2$ равен $10 \cdot 10 = 100$. Умножение на $100$ эквивалентно сдвигу десятичной запятой на два знака вправо.
$2,4 \cdot 10^2 = 2,4 \cdot 100 = 240$.
Ответ: 240.

2) Для того чтобы записать значение выражения $4,8 \cdot 10^5$ в виде натурального числа или десятичной дроби, необходимо выполнить умножение. Множитель $10^5$ равен $100000$. Умножение на $10^5$ эквивалентно сдвигу десятичной запятой на пять знаков вправо. Для этого необходимо дописать нули.
$4,8 \cdot 10^5 = 4,8 \cdot 100000 = 480000$.
Ответ: 480000.

3) Для того чтобы записать значение выражения $1,4 \cdot 10^{-3}$ в виде натурального числа или десятичной дроби, необходимо выполнить умножение. Множитель $10^{-3}$ по определению степени с отрицательным показателем равен $\frac{1}{10^3} = \frac{1}{1000} = 0,001$. Умножение на $10^{-3}$ эквивалентно сдвигу десятичной запятой на три знака влево. Для этого необходимо дописать нули перед числом.
$1,4 \cdot 10^{-3} = 1,4 \cdot 0,001 = 0,0014$.
Ответ: 0,0014.

4) Для того чтобы записать значение выражения $8,6 \cdot 10^{-4}$ в виде натурального числа или десятичной дроби, необходимо выполнить умножение. Множитель $10^{-4}$ равен $\frac{1}{10^4} = \frac{1}{10000} = 0,0001$. Умножение на $10^{-4}$ эквивалентно сдвигу десятичной запятой на четыре знака влево. Для этого необходимо дописать нули перед числом.
$8,6 \cdot 10^{-4} = 8,6 \cdot 0,0001 = 0,00086$.
Ответ: 0,00086.

250. Докажите, что $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^{n}$.

Для доказательства тождества $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^{n}$ необходимо показать, что левая часть равенства может быть преобразована в правую с помощью свойств степеней. Предполагается, что $a \neq 0$ и $b \neq 0$.

Доказательство:

Существует несколько способов доказательства. Рассмотрим один из наиболее наглядных.

1. Начнем с левой части равенства: $(\frac{a}{b})^{-n}$.

2. Используем свойство степени $(x^k)^m = x^{k \cdot m}$. Представим показатель степени $-n$ как произведение $-1$ и $n$.

$(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{a}{b})^{-1 \cdot n} = ((\frac{a}{b})^{-1})^n$

3. Теперь рассмотрим выражение в скобках: $(\frac{a}{b})^{-1}$. По определению степени с показателем $-1$, для любого ненулевого числа $x$ справедливо равенство $x^{-1} = \frac{1}{x}$. Для дроби это означает ее "переворачивание":

$(\frac{a}{b})^{-1} = \frac{1}{\frac{a}{b}} = \frac{b}{a}$

4. Подставим полученный результат $\frac{b}{a}$ обратно в выражение из шага 2:

$((\frac{a}{b})^{-1})^n = (\frac{b}{a})^n$

Таким образом, мы преобразовали левую часть равенства в правую: $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^{n}$. Тождество доказано.

Ответ: Тождество $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^{n}$ доказано с помощью свойств степеней. Ключевым шагом является применение правила возведения в отрицательную степень, которое для дроби равносильно ее обращению (замене числителя и знаменателя местами), с последующим возведением в положительную степень $n$.

251. Найдите значение выражения:

1) $(-\frac{1}{3})^{-1} \cdot 10^{-1} + 9^0 - (-2)^3 + \left(\frac{2}{9}\right)^{-2} \cdot (-1,5)^{-3};$

2) $(2,5)^{-2} - (8^5)^0 + \left(1\frac{2}{3}\right)^{-3} + 0,1^{-1}.$

1) Найдем значение выражения по частям, соблюдая порядок действий: $\left(-\frac{1}{3}\right)^{-1} \cdot 10^{-1} + 9^0 - (-2)^3 + \left(\frac{2}{9}\right)^{-2} \cdot (-1,5)^{-3}$.

Сначала вычислим значения отдельных степеней:
1. $\left(-\frac{1}{3}\right)^{-1} = \frac{1}{-1/3} = -3$.
2. $10^{-1} = \frac{1}{10} = 0,1$.
3. $9^0 = 1$ (любое ненулевое число в степени 0 равно 1).
4. $(-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -8$.
5. $\left(\frac{2}{9}\right)^{-2} = \left(\frac{9}{2}\right)^2 = \frac{9^2}{2^2} = \frac{81}{4}$.
6. $(-1,5)^{-3} = \left(-\frac{3}{2}\right)^{-3} = \left(-\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{(-2)^3}{3^3} = -\frac{8}{27}$.

Теперь подставим полученные значения в исходное выражение и выполним действия умножения, а затем сложения и вычитания:
$\left(-\frac{1}{3}\right)^{-1} \cdot 10^{-1} + 9^0 - (-2)^3 + \left(\frac{2}{9}\right)^{-2} \cdot (-1,5)^{-3} = (-3) \cdot 0,1 + 1 - (-8) + \frac{81}{4} \cdot \left(-\frac{8}{27}\right)$.

Выполним умножение:
$(-3) \cdot 0,1 = -0,3$.
$\frac{81}{4} \cdot \left(-\frac{8}{27}\right) = -\frac{81 \cdot 8}{4 \cdot 27} = -\frac{3 \cdot 27 \cdot 2 \cdot 4}{4 \cdot 27} = -3 \cdot 2 = -6$.

Подставим результаты в выражение:
$-0,3 + 1 - (-8) + (-6) = -0,3 + 1 + 8 - 6 = -0,3 + 9 - 6 = -0,3 + 3 = 2,7$.

Ответ: 2,7

2) Найдем значение выражения по частям: $(2,5)^{-2} - (8^5)^0 + \left(1\frac{2}{3}\right)^{-3} + 0,1^{-1}$.

Сначала вычислим значения отдельных степеней, предварительно преобразовав десятичные и смешанные дроби в обыкновенные:
1. $(2,5)^{-2} = \left(\frac{25}{10}\right)^{-2} = \left(\frac{5}{2}\right)^{-2} = \left(\frac{2}{5}\right)^2 = \frac{4}{25}$.
2. $(8^5)^0 = 1$ (так как $8^5 \ne 0$).
3. $\left(1\frac{2}{3}\right)^{-3} = \left(\frac{1 \cdot 3 + 2}{3}\right)^{-3} = \left(\frac{5}{3}\right)^{-3} = \left(\frac{3}{5}\right)^3 = \frac{3^3}{5^3} = \frac{27}{125}$.
4. $0,1^{-1} = \left(\frac{1}{10}\right)^{-1} = 10$.

Подставим полученные значения в выражение:
$\frac{4}{25} - 1 + \frac{27}{125} + 10$.

Сгруппируем целые числа и дроби:
$(10 - 1) + \left(\frac{4}{25} + \frac{27}{125}\right)$.

Приведем дроби к общему знаменателю 125:
$\frac{4}{25} = \frac{4 \cdot 5}{25 \cdot 5} = \frac{20}{125}$.
$\frac{20}{125} + \frac{27}{125} = \frac{20 + 27}{125} = \frac{47}{125}$.

Сложим целую и дробную части:
$9 + \frac{47}{125} = 9\frac{47}{125}$.
Для удобства можно перевести в десятичную дробь:
$\frac{4}{25} = 0,16$.
$\frac{27}{125} = \frac{27 \cdot 8}{125 \cdot 8} = \frac{216}{1000} = 0,216$.
Тогда выражение равно: $0,16 - 1 + 0,216 + 10 = 10,376 - 1 = 9,376$.

Ответ: 9,376

252. Расположите в порядке убывания:

1) $(\frac{1}{2})^3$, $(\frac{1}{2})^0$, $(\frac{1}{2})^{-1}$, $(\frac{1}{2})^{-2}$;

2) $4^{-1}$, $4^3$, $4^0$, $4^{-2}$.

1) Чтобы расположить данные числа в порядке убывания, сначала вычислим значение каждого из них, используя свойства степеней: $a^0 = 1$ для $a \ne 0$ и $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.

• $(\frac{1}{2})^3 = \frac{1^3}{2^3} = \frac{1}{8}$
• $(\frac{1}{2})^0 = 1$
• $(\frac{1}{2})^{-1} = (\frac{2}{1})^1 = 2$
• $(\frac{1}{2})^{-2} = (\frac{2}{1})^2 = 4$

Мы получили следующие значения: $\frac{1}{8}$, $1$, $2$, $4$.

Теперь расположим эти значения в порядке убывания (от наибольшего к наименьшему):

$4 > 2 > 1 > \frac{1}{8}$

Сопоставим эти значения с исходными выражениями. Искомый порядок:

$(\frac{1}{2})^{-2}, (\frac{1}{2})^{-1}, (\frac{1}{2})^0, (\frac{1}{2})^3$.

Ответ: $(\frac{1}{2})^{-2}, (\frac{1}{2})^{-1}, (\frac{1}{2})^0, (\frac{1}{2})^3$.

2) Аналогично первому пункту, вычислим значения выражений $4^{-1}, 4^3, 4^0, 4^{-2}$, используя свойства степеней: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ и $a^0 = 1$.

• $4^{-1} = \frac{1}{4^1} = \frac{1}{4}$
• $4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$
• $4^0 = 1$
• $4^{-2} = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16}$

Мы получили следующие значения: $\frac{1}{4}$, $64$, $1$, $\frac{1}{16}$.

Расположим эти значения в порядке убывания:

$64 > 1 > \frac{1}{4} > \frac{1}{16}$

Сопоставим значения с исходными выражениями. Искомый порядок:

$4^3, 4^0, 4^{-1}, 4^{-2}$.

Ответ: $4^3, 4^0, 4^{-1}, 4^{-2}$.

253. Расположите в порядке возрастания:

1) $7^{-2}, 7^2, 7^{-1}, 7^0$;

2) $\left(\frac{1}{3}\right)^2, \left(\frac{1}{3}\right)^{-3}, \left(\frac{1}{3}\right)^0, \left(\frac{1}{3}\right)^{-1}$.

1) Чтобы расположить данные числа в порядке возрастания, нужно сравнить их значения. Для этого вычислим значение каждого выражения, используя свойства степеней.

• $7^2 = 7 \cdot 7 = 49$
• $7^0 = 1$ (любое ненулевое число в нулевой степени равно 1)
• $7^{-1} = \frac{1}{7^1} = \frac{1}{7}$ (степень с отрицательным показателем равна обратному числу в положительной степени)
• $7^{-2} = \frac{1}{7^2} = \frac{1}{49}$

Теперь сравним полученные значения: $49$, $1$, $\frac{1}{7}$ и $\frac{1}{49}$.

Располагаем их в порядке от наименьшего к наибольшему:

$\frac{1}{49} < \frac{1}{7} < 1 < 49$

Теперь заменим вычисленные значения на исходные выражения:

$7^{-2} < 7^{-1} < 7^0 < 7^2$

Также можно было воспользоваться свойством степенной функции $y=a^x$. Так как основание $a=7$ больше единицы ($7 > 1$), функция является возрастающей. Это означает, что большему показателю степени соответствует большее значение. Расположим показатели степеней ($-2, 2, -1, 0$) в порядке возрастания: $-2 < -1 < 0 < 2$. Следовательно, и сами числа будут расположены в том же порядке.

Ответ: $7^{-2}, 7^{-1}, 7^0, 7^2$.

2) Аналогично первому пункту, вычислим значения выражений $(\frac{1}{3})^2, (\frac{1}{3})^{-3}, (\frac{1}{3})^0, (\frac{1}{3})^{-1}$.

• $(\frac{1}{3})^2 = \frac{1^2}{3^2} = \frac{1}{9}$
• $(\frac{1}{3})^{-3} = (\frac{3}{1})^3 = 3^3 = 27$
• $(\frac{1}{3})^0 = 1$
• $(\frac{1}{3})^{-1} = (\frac{3}{1})^1 = 3$

Сравним полученные значения: $\frac{1}{9}, 27, 1, 3$.

Расположим их в порядке возрастания:

$\frac{1}{9} < 1 < 3 < 27$

Сопоставим эти значения с исходными выражениями:

$(\frac{1}{3})^2 < (\frac{1}{3})^0 < (\frac{1}{3})^{-1} < (\frac{1}{3})^{-3}$

В данном случае основание степени $a=\frac{1}{3}$ находится в интервале $(0; 1)$. Поэтому степенная функция $y=(\frac{1}{3})^x$ является убывающей. Это значит, что большему показателю степени соответствует меньшее значение. Расположив показатели $(2, -3, 0, -1)$ в порядке возрастания: $-3 < -1 < 0 < 2$, мы должны расположить сами числа в обратном порядке.

Ответ: $(\frac{1}{3})^2, (\frac{1}{3})^0, (\frac{1}{3})^{-1}, (\frac{1}{3})^{-3}$.

254. Сравните значения выражений:

1) $12^0$ и $(-6)^0$;
2) $0,2^3$ и $0,2^{-3}$;
3) $4^6$ и $0,25^{-6}$;
4) $3^{-1} \cdot 7^{-1}$ и $21^{-1}$;
5) $5^{-1} - 7^{-1}$ и $2^{-1}$;
6) $\left(\frac{1}{3}\right)^{-1} + \left(\frac{1}{2}\right)^{-1}$ и $\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{2}\right)^{-1}$.

1) Сравним значения выражений $12^0$ и $(-6)^0$.
Согласно свойству степени, любое ненулевое число в нулевой степени равно 1. То есть, $a^0 = 1$ для любого $a \ne 0$.
Вычисляем значения выражений:
$12^0 = 1$
$(-6)^0 = 1$
Поскольку $1 = 1$, значения выражений равны.
Ответ: $12^0 = (-6)^0$.

2) Сравним значения выражений $0,2^3$ и $0,2^{-3}$.
Вычислим значение первого выражения:
$0,2^3 = 0,2 \cdot 0,2 \cdot 0,2 = 0,008$.
Для второго выражения воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
$0,2^{-3} = \frac{1}{0,2^3} = \frac{1}{0,008} = \frac{1}{8/1000} = \frac{1000}{8} = 125$.
Сравниваем полученные значения: $0,008$ и $125$.
Так как $0,008 < 125$, то и $0,2^3 < 0,2^{-3}$.
Ответ: $0,2^3 < 0,2^{-3}$.

3) Сравним значения выражений $4^6$ и $0,25^{-6}$.
Преобразуем второе выражение. Представим десятичную дробь $0,25$ в виде обыкновенной дроби: $0,25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$.
Тогда выражение $0,25^{-6}$ можно записать как $(\frac{1}{4})^{-6}$.
Используя свойство степени $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$, получаем:
$(\frac{1}{4})^{-6} = (\frac{4}{1})^6 = 4^6$.
Сравниваем $4^6$ и $4^6$. Они равны.
Ответ: $4^6 = 0,25^{-6}$.

4) Сравним значения выражений $3^{-1} \cdot 7^{-1}$ и $21^{-1}$.
Для первого выражения воспользуемся свойством произведения степеней с одинаковыми показателями: $a^n \cdot b^n = (ab)^n$.
$3^{-1} \cdot 7^{-1} = (3 \cdot 7)^{-1} = 21^{-1}$.
Сравниваем $21^{-1}$ и $21^{-1}$. Выражения равны.
Ответ: $3^{-1} \cdot 7^{-1} = 21^{-1}$.

5) Сравним значения выражений $5^{-1} - 7^{-1}$ и $2^{-1}$.
Вычислим значение первого выражения, используя свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:
$5^{-1} - 7^{-1} = \frac{1}{5} - \frac{1}{7}$.
Приведем дроби к общему знаменателю $35$:
$\frac{1}{5} - \frac{1}{7} = \frac{7}{35} - \frac{5}{35} = \frac{2}{35}$.
Вычислим значение второго выражения:
$2^{-1} = \frac{1}{2}$.
Теперь сравним дроби $\frac{2}{35}$ и $\frac{1}{2}$. Приведем их к общему знаменателю $70$:
$\frac{2}{35} = \frac{2 \cdot 2}{35 \cdot 2} = \frac{4}{70}$
$\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 35}{2 \cdot 35} = \frac{35}{70}$
Так как $4 < 35$, то $\frac{4}{70} < \frac{35}{70}$, а значит $\frac{2}{35} < \frac{1}{2}$.
Ответ: $5^{-1} - 7^{-1} < 2^{-1}$.

6) Сравним значения выражений $(\frac{1}{3})^{-1} + (\frac{1}{2})^{-1}$ и $(\frac{1}{3} + \frac{1}{2})^{-1}$.
Вычислим значение первого выражения. Используем свойство $(\frac{a}{b})^{-1} = \frac{b}{a}$:
$(\frac{1}{3})^{-1} + (\frac{1}{2})^{-1} = 3 + 2 = 5$.
Вычислим значение второго выражения. Сначала выполним сложение в скобках:
$\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{5}{6}$.
Теперь возведем результат в степень $-1$:
$(\frac{5}{6})^{-1} = \frac{6}{5}$.
Сравним полученные значения: $5$ и $\frac{6}{5}$.
Так как $5 = \frac{25}{5}$ и $\frac{25}{5} > \frac{6}{5}$, то $5 > \frac{6}{5}$.
Ответ: $(\frac{1}{3})^{-1} + (\frac{1}{2})^{-1} > (\frac{1}{3} + \frac{1}{2})^{-1}$.

255. Сравните значения выражений:

1) $3^{-2}$ и $(-3)^0$;

2) $3^{-1} + 2^{-1}$ и $5^{-1}$;

3) $(\frac{1}{4})^{-2} - (\frac{1}{5})^{-2}$ и $(\frac{1}{4} - \frac{1}{5})^{-2}$

1) Сравним значения выражений $3^{-2}$ и $(-3)^0$.
Для этого вычислим значение каждого из них.
Используем свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ для $a \neq 0$:
$3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$.
Теперь используем свойство степени с нулевым показателем $a^0 = 1$ для $a \neq 0$:
$(-3)^0 = 1$.
Сравним полученные результаты: $\frac{1}{9}$ и $1$.
Так как $\frac{1}{9} < 1$, то $3^{-2} < (-3)^0$.
Ответ: $3^{-2} < (-3)^0$.

2) Сравним значения выражений $3^{-1} + 2^{-1}$ и $5^{-1}$.
Сначала вычислим значение первого выражения:
$3^{-1} + 2^{-1} = \frac{1}{3} + \frac{1}{2}$.
Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю, равному $6$:
$\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{5}{6}$.
Теперь вычислим значение второго выражения:
$5^{-1} = \frac{1}{5}$.
Сравним дроби $\frac{5}{6}$ и $\frac{1}{5}$. Приведем их к общему знаменателю, равному $30$:
$\frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 5}{6 \cdot 5} = \frac{25}{30}$.
$\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 6}{5 \cdot 6} = \frac{6}{30}$.
Так как $25 > 6$, то $\frac{25}{30} > \frac{6}{30}$, а значит $\frac{5}{6} > \frac{1}{5}$.
Следовательно, $3^{-1} + 2^{-1} > 5^{-1}$.
Ответ: $3^{-1} + 2^{-1} > 5^{-1}$.

3) Сравним значения выражений $(\frac{1}{4})^{-2} - (\frac{1}{5})^{-2}$ и $(\frac{1}{4} - \frac{1}{5})^{-2}$.
Вычислим значение первого выражения. Используем свойство $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$:
$(\frac{1}{4})^{-2} = (\frac{4}{1})^2 = 4^2 = 16$.
$(\frac{1}{5})^{-2} = (\frac{5}{1})^2 = 5^2 = 25$.
Тогда первое выражение равно: $16 - 25 = -9$.
Теперь вычислим значение второго выражения. Сначала выполним действие в скобках:
$\frac{1}{4} - \frac{1}{5} = \frac{5}{20} - \frac{4}{20} = \frac{1}{20}$.
Теперь возведем полученный результат в степень $-2$:
$(\frac{1}{20})^{-2} = (\frac{20}{1})^2 = 20^2 = 400$.
Сравним полученные значения: $-9$ и $400$.
Так как $-9 < 400$, то $(\frac{1}{4})^{-2} - (\frac{1}{5})^{-2} < (\frac{1}{4} - \frac{1}{5})^{-2}$.
Ответ: $(\frac{1}{4})^{-2} - (\frac{1}{5})^{-2} < (\frac{1}{4} - \frac{1}{5})^{-2}$.

256. Представьте в виде дроби выражение:

1) $ab^{-1} + a^{-1}b;$

2) $3a^{-1} + ab^{-2};$

3) $m^2n^2(m^{-3} - n^{-3});$

4) $(a+b)^{-1} \cdot (a^{-1} + b^{-1});$

5) $(c^{-2} - d^{-2}) : (c+d);$

6) $(xy^{-2} + x^{-2}y) \cdot \left(\frac{x^2 - xy + y^2}{x}\right)^{-1}.$

1)

Чтобы представить выражение $ab^{-1} + a^{-1}b$ в виде дроби, воспользуемся определением степени с отрицательным показателем $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$.

Применяя это правило, перепишем выражение:

$ab^{-1} + a^{-1}b = a \cdot \frac{1}{b} + \frac{1}{a} \cdot b = \frac{a}{b} + \frac{b}{a}$.

Теперь приведем полученные дроби к общему знаменателю, которым является $ab$.

$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{a \cdot a}{b \cdot a} + \frac{b \cdot b}{a \cdot b} = \frac{a^2}{ab} + \frac{b^2}{ab}$.

Складываем дроби с одинаковыми знаменателями:

$\frac{a^2 + b^2}{ab}$.

Ответ: $\frac{a^2 + b^2}{ab}$

2)

Представим выражение $3a^{-1} + ab^{-2}$ в виде дроби. Сначала используем свойство степени с отрицательным показателем:

$3a^{-1} + ab^{-2} = 3 \cdot \frac{1}{a} + a \cdot \frac{1}{b^2} = \frac{3}{a} + \frac{a}{b^2}$.

Приведем дроби к общему знаменателю $ab^2$:

$\frac{3 \cdot b^2}{a \cdot b^2} + \frac{a \cdot a}{b^2 \cdot a} = \frac{3b^2}{ab^2} + \frac{a^2}{ab^2}$.

Сложим числители:

$\frac{3b^2 + a^2}{ab^2}$.

Ответ: $\frac{a^2 + 3b^2}{ab^2}$

3)

Рассмотрим выражение $m^2n^2(m^{-3} - n^{-3})$. Сначала упростим выражение в скобках:

$m^{-3} - n^{-3} = \frac{1}{m^3} - \frac{1}{n^3}$.

Приведем к общему знаменателю $m^3n^3$:

$\frac{n^3}{m^3n^3} - \frac{m^3}{m^3n^3} = \frac{n^3 - m^3}{m^3n^3}$.

Теперь умножим полученную дробь на $m^2n^2$:

$m^2n^2 \cdot \frac{n^3 - m^3}{m^3n^3} = \frac{m^2n^2(n^3 - m^3)}{m^3n^3}$.

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на $m^2n^2$:

$\frac{n^3 - m^3}{mn}$.

Ответ: $\frac{n^3 - m^3}{mn}$

4)

Упростим выражение $(a+b)^{-1} \cdot (a^{-1} + b^{-1})$.

Преобразуем каждый множитель по отдельности:

$(a+b)^{-1} = \frac{1}{a+b}$.

$a^{-1} + b^{-1} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{b+a}{ab}$.

Теперь перемножим полученные дроби:

$\frac{1}{a+b} \cdot \frac{a+b}{ab}$.

Сократим общий множитель $(a+b)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{1}{ab}$.

Ответ: $\frac{1}{ab}$

5)

Рассмотрим выражение $(c^{-2} - d^{-2}) : (c+d)$.

Сначала преобразуем делимое $(c^{-2} - d^{-2})$:

$c^{-2} - d^{-2} = \frac{1}{c^2} - \frac{1}{d^2} = \frac{d^2 - c^2}{c^2d^2}$.

Используем формулу разности квадратов $d^2 - c^2 = (d-c)(d+c)$:

$\frac{(d-c)(d+c)}{c^2d^2}$.

Теперь выполним деление. Деление на выражение равносильно умножению на обратное ему выражение:

$\frac{(d-c)(d+c)}{c^2d^2} : (c+d) = \frac{(d-c)(d+c)}{c^2d^2} \cdot \frac{1}{c+d}$.

Сократим дробь на общий множитель $(d+c)$, так как $c+d=d+c$:

$\frac{d-c}{c^2d^2}$.

Ответ: $\frac{d-c}{c^2d^2}$

6)

Представим в виде дроби выражение $(xy^{-2} + x^{-2}y) \cdot \left(\frac{x^2 - xy + y^2}{x}\right)^{-1}$.

Упростим первый множитель $(xy^{-2} + x^{-2}y)$:

$xy^{-2} + x^{-2}y = \frac{x}{y^2} + \frac{y}{x^2} = \frac{x \cdot x^2 + y \cdot y^2}{x^2y^2} = \frac{x^3 + y^3}{x^2y^2}$.

Применим формулу суммы кубов $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$:

$\frac{(x+y)(x^2 - xy + y^2)}{x^2y^2}$.

Теперь упростим второй множитель. Степень -1 означает, что нужно взять обратную дробь:

$\left(\frac{x^2 - xy + y^2}{x}\right)^{-1} = \frac{x}{x^2 - xy + y^2}$.

Перемножим оба упрощенных выражения:

$\frac{(x+y)(x^2 - xy + y^2)}{x^2y^2} \cdot \frac{x}{x^2 - xy + y^2}$.

Сократим общий множитель $(x^2 - xy + y^2)$:

$\frac{(x+y) \cdot x}{x^2y^2}$.

Сократим дробь на $x$:

$\frac{x+y}{xy^2}$.

Ответ: $\frac{x+y}{xy^2}$