Страница 58 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

217. Решите уравнение:

1) $\frac{x+5}{x^2-5x} - \frac{x-5}{2x^2+10x} = \frac{x+25}{2x^2-50};$

2) $\frac{2}{x^2-9} - \frac{1}{2x^2-12x+18} = \frac{3}{2x^2+6x};$

3) $\frac{9x+12}{x^3-64} - \frac{1}{x-4} = \frac{1}{x^2+4x+16};$

1) Исходное уравнение: $\frac{x+5}{x^2 - 5x} - \frac{x-5}{2x^2 + 10x} = \frac{x+25}{2x^2 - 50}$.
Для решения уравнения сначала разложим знаменатели на множители:
$x^2 - 5x = x(x-5)$
$2x^2 + 10x = 2x(x+5)$
$2x^2 - 50 = 2(x^2 - 25) = 2(x-5)(x+5)$
Теперь уравнение имеет вид:
$\frac{x+5}{x(x-5)} - \frac{x-5}{2x(x+5)} = \frac{x+25}{2(x-5)(x+5)}$
Определим область допустимых значений (ОДЗ), исключив значения $x$, при которых знаменатели обращаются в ноль:
$x \neq 0$, $x-5 \neq 0 \implies x \neq 5$, $x+5 \neq 0 \implies x \neq -5$.
Таким образом, ОДЗ: $x \neq -5, x \neq 0, x \neq 5$.
Наименьший общий знаменатель для всех дробей: $2x(x-5)(x+5)$.
Умножим обе части уравнения на общий знаменатель, чтобы избавиться от дробей:
$2(x+5)(x+5) - (x-5)(x-5) = x(x+25)$
Раскроем скобки и упростим выражение:
$2(x^2 + 10x + 25) - (x^2 - 10x + 25) = x^2 + 25x$
$2x^2 + 20x + 50 - x^2 + 10x - 25 = x^2 + 25x$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$x^2 + 30x + 25 = x^2 + 25x$
Вычтем $x^2$ из обеих частей уравнения:
$30x + 25 = 25x$
$30x - 25x = -25$
$5x = -25$
$x = -5$
Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ. Мы определили, что $x \neq -5$. Следовательно, полученный корень является посторонним.
Ответ: корней нет.

2) Исходное уравнение: $\frac{2}{x^2 - 9} - \frac{1}{2x^2 - 12x + 18} = \frac{3}{2x^2 + 6x}$.
Разложим знаменатели на множители:
$x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$ (разность квадратов)
$2x^2 - 12x + 18 = 2(x^2 - 6x + 9) = 2(x-3)^2$ (полный квадрат)
$2x^2 + 6x = 2x(x+3)$
Уравнение принимает вид:
$\frac{2}{(x-3)(x+3)} - \frac{1}{2(x-3)^2} = \frac{3}{2x(x+3)}$
Определим ОДЗ:
$x-3 \neq 0 \implies x \neq 3$
$x+3 \neq 0 \implies x \neq -3$
$x \neq 0$
ОДЗ: $x \neq -3, x \neq 0, x \neq 3$.
Наименьший общий знаменатель: $2x(x-3)^2(x+3)$.
Умножим обе части уравнения на него:
$2 \cdot 2x(x-3) - 1 \cdot x(x+3) = 3 \cdot (x-3)^2$
Раскроем скобки:
$4x^2 - 12x - x^2 - 3x = 3(x^2 - 6x + 9)$
Приведем подобные слагаемые:
$3x^2 - 15x = 3x^2 - 18x + 27$
Вычтем $3x^2$ из обеих частей:
$-15x = -18x + 27$
$18x - 15x = 27$
$3x = 27$
$x = 9$
Найденный корень $x=9$ удовлетворяет ОДЗ ($9 \neq -3, 9 \neq 0, 9 \neq 3$).
Ответ: 9.

3) Исходное уравнение: $\frac{9x+12}{x^3 - 64} - \frac{1}{x-4} = \frac{1}{x^2 + 4x + 16}$.
Разложим знаменатель $x^3 - 64$ по формуле разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$:
$x^3 - 64 = x^3 - 4^3 = (x-4)(x^2 + 4x + 16)$
Подставим в уравнение:
$\frac{9x+12}{(x-4)(x^2 + 4x + 16)} - \frac{1}{x-4} = \frac{1}{x^2 + 4x + 16}$
Определим ОДЗ. Знаменатели не могут быть равны нулю.
$x-4 \neq 0 \implies x \neq 4$.
Квадратный трехчлен $x^2 + 4x + 16$ не имеет действительных корней, так как его дискриминант $D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 16 - 64 = -48 < 0$, и он всегда положителен. Поэтому единственное ограничение - $x \neq 4$.
Наименьший общий знаменатель: $(x-4)(x^2 + 4x + 16)$.
Умножим обе части на него:
$(9x+12) - 1 \cdot (x^2 + 4x + 16) = 1 \cdot (x-4)$
Раскроем скобки:
$9x + 12 - x^2 - 4x - 16 = x - 4$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$-x^2 + 5x - 4 = x - 4$
Перенесем все слагаемые в левую часть:
$-x^2 + 5x - x - 4 + 4 = 0$
$-x^2 + 4x = 0$
Умножим на -1:
$x^2 - 4x = 0$
Вынесем $x$ за скобку:
$x(x-4) = 0$
Отсюда получаем два возможных корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$.
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 4$).
$x_1 = 0$ удовлетворяет ОДЗ.
$x_2 = 4$ не удовлетворяет ОДЗ, является посторонним корнем.
Следовательно, у уравнения один корень.
Ответ: 0.

218. Решите уравнение:

1) $\frac{4y + 24}{5y^2 - 45} + \frac{y + 3}{5y^2 - 15y} = \frac{y - 3}{y^2 + 3y}$

2) $\frac{y + 2}{8y^3 + 1} - \frac{1}{4y + 2} = \frac{y + 3}{8y^2 - 4y + 2}$

1) $\frac{4y + 24}{5y^2 - 45} + \frac{y + 3}{5y^2 - 15y} = \frac{y - 3}{y^2 + 3y}$

Сначала разложим знаменатели на множители, чтобы найти область допустимых значений (ОДЗ) и наименьший общий знаменатель (НОЗ).

$5y^2 - 45 = 5(y^2 - 9) = 5(y - 3)(y + 3)$

$5y^2 - 15y = 5y(y - 3)$

$y^2 + 3y = y(y + 3)$

ОДЗ: Знаменатели не могут быть равны нулю, поэтому $y \neq 3$, $y \neq -3$, $y \neq 0$.

Наименьший общий знаменатель (НОЗ) равен $5y(y - 3)(y + 3)$. Умножим обе части уравнения на НОЗ, чтобы избавиться от дробей:

$\frac{4y + 24}{5(y - 3)(y + 3)} \cdot 5y(y - 3)(y + 3) + \frac{y + 3}{5y(y - 3)} \cdot 5y(y - 3)(y + 3) = \frac{y - 3}{y(y + 3)} \cdot 5y(y - 3)(y + 3)$

$(4y + 24)y + (y + 3)(y + 3) = 5(y - 3)(y - 3)$

Раскроем скобки и упростим полученное уравнение:

$4y^2 + 24y + (y^2 + 6y + 9) = 5(y^2 - 6y + 9)$

$5y^2 + 30y + 9 = 5y^2 - 30y + 45$

Перенесем все члены с $y$ в одну сторону, а константы — в другую:

$5y^2 - 5y^2 + 30y + 30y = 45 - 9$

$60y = 36$

$y = \frac{36}{60} = \frac{3}{5}$

Полученный корень $y = \frac{3}{5}$ удовлетворяет ОДЗ ($y \neq 0, \pm 3$).

Ответ: $y = \frac{3}{5}$.

2) $\frac{y + 2}{8y^3 + 1} - \frac{1}{4y + 2} = \frac{y + 3}{8y^2 - 4y + 2}$

Разложим знаменатели на множители. Используем формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ для первого знаменателя.

$8y^3 + 1 = (2y)^3 + 1^3 = (2y + 1)(4y^2 - 2y + 1)$

$4y + 2 = 2(2y + 1)$

$8y^2 - 4y + 2 = 2(4y^2 - 2y + 1)$

ОДЗ: Знаменатели не должны равняться нулю.

$2y + 1 \neq 0 \implies y \neq -\frac{1}{2}$.

Выражение $4y^2 - 2y + 1$ всегда больше нуля, так как его дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 4 - 16 = -12 < 0$.

Таким образом, ОДЗ: $y \neq -\frac{1}{2}$.

Перепишем уравнение с разложенными знаменателями:

$\frac{y + 2}{(2y + 1)(4y^2 - 2y + 1)} - \frac{1}{2(2y + 1)} = \frac{y + 3}{2(4y^2 - 2y + 1)}$

Наименьший общий знаменатель (НОЗ) равен $2(2y + 1)(4y^2 - 2y + 1)$. Умножим обе части уравнения на НОЗ:

$2(y + 2) - 1(4y^2 - 2y + 1) = (y + 3)(2y + 1)$

Раскроем скобки:

$2y + 4 - 4y^2 + 2y - 1 = 2y^2 + y + 6y + 3$

Приведем подобные слагаемые:

$-4y^2 + 4y + 3 = 2y^2 + 7y + 3$

Перенесем все члены в правую часть:

$0 = 2y^2 + 4y^2 + 7y - 4y + 3 - 3$

$0 = 6y^2 + 3y$

Вынесем общий множитель за скобки:

$3y(2y + 1) = 0$

Это уравнение имеет два корня:

$3y = 0 \implies y_1 = 0$

$2y + 1 = 0 \implies y_2 = -\frac{1}{2}$

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($y \neq -\frac{1}{2}$).

Корень $y_1 = 0$ удовлетворяет ОДЗ.

Корень $y_2 = -\frac{1}{2}$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при этом значении знаменатель обращается в ноль. Это посторонний корень.

Следовательно, уравнение имеет только одно решение.

Ответ: $y = 0$.

219. Для каждого значения a решите уравнение:

1) $\frac{x-1}{x-a} = 0;$

2) $\frac{x-a}{x+5} = 0;$

3) $\frac{a(x-a)}{x-3} = 0;$

4) $\frac{(x-a)(x-6)}{x-7} = 0;$

5) $\frac{(x-4)(x+2)}{x-a} = 0;$

6) $\frac{x-a}{(x-4)(x+2)} = 0.$

1) Решение уравнения $\frac{x-1}{x-a} = 0$ сводится к решению системы:

$\begin{cases} x - 1 = 0 \\ x - a \neq 0 \end{cases}$

Из первого уравнения находим $x=1$. Этот корень будет решением исходного уравнения, если он удовлетворяет второму условию системы: $1 - a \neq 0$, то есть $a \neq 1$.

Если же $a=1$, то корень числителя $x=1$ обращает знаменатель в ноль, поэтому в этом случае уравнение не имеет решений.

Ответ: если $a=1$, то корней нет; если $a \neq 1$, то $x=1$.

2) Решение уравнения $\frac{x-a}{x+5} = 0$ сводится к решению системы:

$\begin{cases} x - a = 0 \\ x + 5 \neq 0 \end{cases}$

Из первого уравнения находим $x=a$. Этот корень будет решением исходного уравнения, если он удовлетворяет второму условию системы: $a + 5 \neq 0$, то есть $a \neq -5$.

Если же $a=-5$, то корень числителя $x=-5$ обращает знаменатель в ноль, поэтому в этом случае уравнение не имеет решений.

Ответ: если $a=-5$, то корней нет; если $a \neq -5$, то $x=a$.

3) Решение уравнения $\frac{a(x-a)}{x-3} = 0$ сводится к решению системы:

$\begin{cases} a(x-a) = 0 \\ x - 3 \neq 0 \end{cases}$

Рассмотрим уравнение числителя $a(x-a)=0$. Оно имеет решение, если $a=0$ или $x-a=0$.

Случай 1: $a=0$. Уравнение принимает вид $\frac{0}{x-3} = 0$. Это равенство верно для любого $x$, удовлетворяющего области определения, то есть $x-3 \neq 0 \implies x \neq 3$.

Случай 2: $a \neq 0$. Тогда из $a(x-a)=0$ следует $x-a=0$, то есть $x=a$. Этот корень является решением, если $a-3 \neq 0$, то есть $a \neq 3$. Если $a=3$, то корень $x=3$ не входит в область определения, и решений нет.

Ответ: если $a=0$, то $x$ - любое число, кроме $3$; если $a=3$, то корней нет; если $a \neq 0$ и $a \neq 3$, то $x=a$.

4) Решение уравнения $\frac{(x-a)(x-6)}{x-7} = 0$ сводится к решению системы:

$\begin{cases} (x-a)(x-6) = 0 \\ x - 7 \neq 0 \end{cases}$

Корни числителя: $x=a$ и $x=6$. Они будут решениями уравнения, если не обращают знаменатель в ноль, то есть не равны $7$.

Корень $x=6$ всегда является решением, так как $6 \neq 7$.

Корень $x=a$ является решением, только если $a \neq 7$.

Таким образом, если $a=7$, то корень $x=a$ не подходит, и единственным решением будет $x=6$.

Если $a \neq 7$, то оба значения ($x=a$ и $x=6$) являются корнями уравнения. (В частном случае, когда $a=6$, эти корни совпадают).

Ответ: если $a=7$, то $x=6$; если $a \neq 7$, то $x_1=a, x_2=6$.

5) Решение уравнения $\frac{(x-4)(x+2)}{x-a} = 0$ сводится к решению системы:

$\begin{cases} (x-4)(x+2) = 0 \\ x - a \neq 0 \end{cases}$

Корни числителя: $x=4$ и $x=-2$. Они будут решениями уравнения, если не обращают знаменатель в ноль, то есть не равны $a$.

Случай 1: $a=4$. Корень $x=4$ не является решением. Остается только корень $x=-2$.

Случай 2: $a=-2$. Корень $x=-2$ не является решением. Остается только корень $x=4$.

Случай 3: $a \neq 4$ и $a \neq -2$. Оба корня, $x=4$ и $x=-2$, являются решениями.

Ответ: если $a=4$, то $x=-2$; если $a=-2$, то $x=4$; если $a \neq 4$ и $a \neq -2$, то $x_1=4, x_2=-2$.

6) Решение уравнения $\frac{x-a}{(x-4)(x+2)} = 0$ сводится к решению системы:

$\begin{cases} x-a=0 \\ (x-4)(x+2) \neq 0 \end{cases}$

Из первого уравнения находим $x=a$. Второе условие системы означает, что $x \neq 4$ и $x \neq -2$.

Следовательно, $x=a$ будет решением только в том случае, если $a \neq 4$ и $a \neq -2$.

Если $a=4$ или $a=-2$, то корень числителя совпадает с одним из значений, при которых знаменатель равен нулю, поэтому в этих случаях уравнение не имеет решений.

Ответ: если $a=4$ или $a=-2$, то корней нет; если $a \neq 4$ и $a \neq -2$, то $x=a$.

220. При каких значениях $ \frac{x+a}{x^2-4} = 0 $ не имеет корней?

Дробно-рациональное уравнение равно нулю тогда и только тогда, когда его числитель равен нулю, а знаменатель при этом отличен от нуля. Таким образом, данное уравнение $\frac{x+a}{x^2-4} = 0$ равносильно системе:

$ \begin{cases} x + a = 0 \\ x^2 - 4 \neq 0 \end{cases} $

Из первого уравнения системы находим потенциальный корень уравнения:

$x + a = 0 \implies x = -a$

Из второго неравенства системы найдем область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$:

$x^2 - 4 \neq 0$

$x^2 \neq 4$

$x \neq 2$ и $x \neq -2$

Уравнение не будет иметь корней, если его единственный потенциальный корень $x = -a$ не входит в область допустимых значений. Это произойдет, если значение $x = -a$ будет равно одному из недопустимых значений, то есть 2 или -2.

Рассмотрим эти два случая:

1. Потенциальный корень $x = -a$ равен 2:

$-a = 2 \implies a = -2$

При $a = -2$ уравнение принимает вид $\frac{x-2}{x^2-4} = 0$. Потенциальный корень $x=2$ не входит в ОДЗ, так как при $x=2$ знаменатель обращается в ноль. Следовательно, решений нет.

2. Потенциальный корень $x = -a$ равен -2:

$-a = -2 \implies a = 2$

При $a = 2$ уравнение принимает вид $\frac{x+2}{x^2-4} = 0$. Потенциальный корень $x=-2$ не входит в ОДЗ, так как при $x=-2$ знаменатель также обращается в ноль. Следовательно, решений нет.

Таким образом, уравнение не имеет корней при $a = -2$ и $a = 2$.

Ответ: $a = -2; 2$.

221. При каких значениях $a$ уравнение $\frac{(x-a)(x-3a)}{x+9} = 0$ имеет один корень?

Данное уравнение представляет собой дробь, которая равна нулю. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это приводит к системе условий:

$\begin{cases} (x-a)(x-3a) = 0 \\ x+9 \neq 0 \end{cases}$

Из первого уравнения, $(x-a)(x-3a) = 0$, находим два потенциальных корня. Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$x - a = 0 \implies x_1 = a$

$x - 3a = 0 \implies x_2 = 3a$

Второе условие системы, $x+9 \neq 0$, означает, что $x \neq -9$. Это область допустимых значений (ОДЗ) для нашего уравнения. Любой найденный корень должен удовлетворять этому условию.

Чтобы исходное уравнение имело ровно один корень, необходимо рассмотреть два возможных сценария:

1. Потенциальные корни $x_1$ и $x_2$ совпадают, и их общее значение не равно -9.

2. Потенциальные корни $x_1$ и $x_2$ различны, но один из них равен -9 (и, следовательно, является посторонним корнем), а второй корень отличен от -9.

Рассмотрим первый сценарий. Корни совпадают, если $x_1 = x_2$:

$a = 3a$

$2a = 0$

$a = 0$

Если $a=0$, то оба потенциальных корня равны $x_1 = x_2 = 0$. Проверим этот корень на соответствие ОДЗ: $0 \neq -9$. Условие выполнено. Таким образом, при $a=0$ уравнение имеет ровно один корень $x=0$.

Рассмотрим второй сценарий. Корни $a$ и $3a$ различны (то есть $a \neq 0$), и один из них равен -9.

а) Пусть корень $x_1 = a$ равен -9. То есть $a = -9$.

Тогда второй корень $x_2 = 3a = 3 \cdot (-9) = -27$.

Корень $x_1=-9$ является посторонним, так как не удовлетворяет ОДЗ. Корень $x_2=-27$ удовлетворяет ОДЗ, так как $-27 \neq -9$. Следовательно, при $a=-9$ уравнение имеет ровно один корень $x=-27$.

б) Пусть корень $x_2 = 3a$ равен -9. То есть $3a = -9$.

$a = -3$

Тогда первый корень $x_1 = a = -3$.

Корень $x_2=-9$ является посторонним. Корень $x_1=-3$ удовлетворяет ОДЗ, так как $-3 \neq -9$. Следовательно, при $a=-3$ уравнение имеет ровно один корень $x=-3$.

Объединяя все найденные значения параметра $a$, получаем, что уравнение имеет ровно один корень при $a=0$, $a=-3$ и $a=-9$.

Ответ: $a = -9, -3, 0$.

222. На конец года численность населения города составляла 72 100 жителей. Определите количество жителей в этом городе на начало года, если прирост населения за это время составил 3 %.

222.

Пусть $x$ — это численность населения города на начало года. Эту величину мы принимаем за 100%.

Согласно условию, прирост населения за год составил 3%. Это означает, что к концу года численность населения стала равна первоначальной численности плюс прирост, то есть $100\% + 3\% = 103\%$ от численности на начало года.

Чтобы найти численность на конец года, мы должны умножить первоначальную численность $x$ на коэффициент, соответствующий 103%. Переведем проценты в десятичную дробь: $103\% = 1.03$.

Таким образом, количество жителей на конец года можно выразить формулой:

Численность на конец года = $x \cdot 1.03$

Из условия мы знаем, что численность на конец года составляет 72 100 жителей. Составим и решим уравнение:

$1.03 \cdot x = 72100$

Чтобы найти $x$, разделим известную численность на конец года на коэффициент 1.03:

$x = \frac{72100}{1.03}$

Выполним вычисление:

$x = 70000$

Следовательно, на начало года в городе проживало 70 000 человек.

Ответ: 70 000 жителей.

223. Расстояние между двумя станциями электропоезд проходит за 45 мин. Если его скорость увеличить на 10 км/ч, то он пройдёт это расстояние за 40 мин. Чему равно расстояние между станциями?

Пусть $S$ — искомое расстояние между станциями в километрах, а $v$ — первоначальная скорость электропоезда в км/ч.

Время, за которое поезд проходит это расстояние, составляет $t_1 = 45$ минут.

Переведем время из минут в часы, чтобы единицы измерения были согласованы со скоростью: $t_1 = 45 \text{ мин} = \frac{45}{60} \text{ ч} = \frac{3}{4} \text{ ч}$.

Расстояние можно выразить через скорость и время по формуле $S = v \cdot t$. Таким образом, для первого случая имеем: $S = v \cdot \frac{3}{4}$.

По условию, если скорость увеличить на 10 км/ч, то она станет равной $(v + 10)$ км/ч. Поезд пройдет то же расстояние $S$ за новое время $t_2 = 40$ минут.

Переведем новое время в часы: $t_2 = 40 \text{ мин} = \frac{40}{60} \text{ ч} = \frac{2}{3} \text{ ч}$.

Для второго случая уравнение для расстояния будет выглядеть так: $S = (v + 10) \cdot \frac{2}{3}$.

Так как расстояние $S$ в обоих случаях одно и то же, мы можем приравнять правые части двух полученных уравнений, чтобы найти неизвестную скорость $v$: $v \cdot \frac{3}{4} = (v + 10) \cdot \frac{2}{3}$.

Теперь решим это уравнение. Для удобства умножим обе части уравнения на 12 (наименьшее общее кратное чисел 4 и 3), чтобы избавиться от дробей: $12 \cdot \left(v \cdot \frac{3}{4}\right) = 12 \cdot \left((v + 10) \cdot \frac{2}{3}\right)$

$9v = 8(v + 10)$

Раскроем скобки в правой части уравнения: $9v = 8v + 80$

Перенесем слагаемые с $v$ в левую часть: $9v - 8v = 80$

$v = 80$ км/ч.

Мы нашли первоначальную скорость электропоезда. Теперь, чтобы найти расстояние $S$, подставим значение $v = 80$ в любое из двух выражений для $S$. Используем первое: $S = 80 \cdot \frac{3}{4} = 20 \cdot 3 = 60$ км.

Для проверки можно подставить найденную скорость и во второе выражение: $S = (80 + 10) \cdot \frac{2}{3} = 90 \cdot \frac{2}{3} = 30 \cdot 2 = 60$ км.

Оба расчета дают одинаковый результат, значит, расстояние найдено верно.

Ответ: 60 км.

224. Докажите, что при любом значении переменной (переменных) выражение принимает неотрицательное значение:

1) $(a - 5)^2 - 2(a - 5) + 1$;

2) $(a - b)(a - b - 8) + 16$.

1)Чтобы доказать, что выражение $(a - 5)^2 - 2(a - 5) + 1$ принимает неотрицательное значение, преобразуем его.
Сделаем замену переменной. Пусть $x = a - 5$. Тогда выражение примет вид:
$x^2 - 2x + 1$
Это выражение является полным квадратом разности и сворачивается по формуле $(u-v)^2=u^2-2uv+v^2$:
$x^2 - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2 = (x - 1)^2$
Теперь выполним обратную замену, подставив $a - 5$ вместо $x$:
$((a - 5) - 1)^2 = (a - 6)^2$
Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(a - 6)^2 \ge 0$ при любом значении $a$. Это доказывает, что исходное выражение всегда принимает неотрицательное значение.
Ответ: Выражение равно $(a-6)^2$, что всегда $\ge 0$.

2)Чтобы доказать, что выражение $(a - b)(a - b - 8) + 16$ принимает неотрицательное значение, преобразуем его.
Сделаем замену переменной. Пусть $y = a - b$. Тогда выражение можно переписать как:
$y(y - 8) + 16$
Раскроем скобки:
$y^2 - 8y + 16$
Это выражение также является полным квадратом разности:
$y^2 - 2 \cdot y \cdot 4 + 4^2 = (y - 4)^2$
Выполним обратную замену $y = a - b$:
$((a - b) - 4)^2 = (a - b - 4)^2$
Квадрат любого действительного числа является неотрицательным, поэтому $(a - b - 4)^2 \ge 0$ при любых значениях $a$ и $b$. Таким образом, исходное выражение всегда неотрицательно.
Ответ: Выражение равно $(a-b-4)^2$, что всегда $\ge 0$.