Страница 55 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Какие два уравнения называют равносильными?

Равносильными (или эквивалентными) уравнениями называются два уравнения, множества решений (корней) которых полностью совпадают.

Это означает, что каждый корень первого уравнения является корнем второго, и наоборот — каждый корень второго уравнения является корнем первого. Важным частным случаем являются уравнения, которые не имеют корней. Если оба уравнения не имеют решений, их множества корней одинаковы (оба пусты), и такие уравнения также считаются равносильными.

Примеры

• Равносильные уравнения: $x + 2 = 5$ и $2x = 6$.
  Оба уравнения имеют единственный корень $x = 3$. Множества их решений совпадают: $\{3\}$.
• Равносильные уравнения без корней: $x^2 = -1$ и $x + 5 = x$.
  Первое уравнение не имеет действительных корней. Второе уравнение ($5=0$) также не имеет корней. Множества их решений пусты, а значит, совпадают.
• Неравносильные уравнения: $x^2 = 4$ и $x = 2$.
  У первого уравнения два корня, $x = 2$ и $x = -2$ (множество решений $\{-2, 2\}$), а у второго — только один корень $x=2$ (множество решений $\{2\}$). Поскольку множества решений не совпадают, уравнения не являются равносильными.

Равносильные преобразования

В процессе решения уравнений выполняют равносильные преобразования, которые заменяют исходное уравнение на более простое, но имеющее то же самое множество корней. Основные равносильные преобразования:

1. Перенос слагаемого из одной части уравнения в другую с изменением его знака на противоположный.
   Например, уравнение $3x + 5 = 11$ равносильно уравнению $3x = 11 - 5$.
2. Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же отличное от нуля число.
   Например, уравнение $5x = 20$ равносильно уравнению $x = 4$ (в результате деления обеих частей на 5).
3. Применение тождественных преобразований (раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых и т.д.) в левой или правой части уравнения, не изменяющее область допустимых значений (ОДЗ) переменной.
   Например, уравнение $2(x+3) - x = 10$ равносильно уравнению $x + 6 = 10$.

Ответ: Два уравнения называются равносильными, если они имеют одинаковые множества корней, либо если оба уравнения не имеют корней.

2. С помощью каких преобразований данного уравнения можно получить уравнение, ему равносильное?

Равносильными называются уравнения, которые имеют одинаковые множества корней (или оба не имеют корней). Для того чтобы из данного уравнения получить новое, равносильное ему, можно выполнять следующие преобразования:

1. Перенос слагаемого из одной части уравнения в другую с изменением его знака на противоположный.

Это преобразование является следствием базового свойства равенств: если к обеим частям равенства прибавить (или вычесть) одно и то же число или выражение, то равенство не нарушится. Пример: Уравнение $3x + 8 = 14$ равносильно уравнению $3x = 14 - 8$. Оба уравнения имеют единственный корень $x=2$.

2. Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же отличное от нуля число или выражение.

Ключевым моментом здесь является условие, что число или выражение, на которое производится действие, не равно нулю. Если умножать или делить на выражение, содержащее переменную, необходимо убедиться, что оно не обращается в ноль на области допустимых значений (ОДЗ) исходного уравнения. В противном случае возможно появление посторонних корней или их потеря.Пример: Уравнение $0.5x = 10$ можно умножить на 2 (число, не равное нулю) и получить равносильное уравнение $x = 20$.

3. Выполнение тождественных преобразований в любой из частей уравнения.

К таким преобразованиям относятся упрощения выражений, такие как раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых, применение формул сокращенного умножения, логарифмических или тригонометрических тождеств и т.д. Важно, чтобы эти преобразования не изменяли ОДЗ уравнения.Пример: В уравнении $(x+3)^2 - x^2 = 15$ можно преобразовать левую часть: $x^2 + 6x + 9 - x^2 = 15$. После приведения подобных слагаемых получится равносильное уравнение $6x + 9 = 15$.

Ответ:
Чтобы получить уравнение, равносильное данному, можно выполнять следующие преобразования:
1. Переносить слагаемые из одной части уравнения в другую, изменяя их знак на противоположный.
2. Умножать или делить обе части уравнения на одно и то же отличное от нуля число или на выражение, которое не обращается в ноль на области допустимых значений уравнения.
3. Выполнять тождественные преобразования в левой и/или правой частях уравнения (например, раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых), не изменяющие его область допустимых значений.

3. Какое уравнение называют рациональным?

Рациональным уравнением называют уравнение вида $f(x) = g(x)$, где $f(x)$ и $g(x)$ являются рациональными выражениями.

Рациональное выражение — это алгебраическое выражение, которое можно представить в виде дроби $\frac{P(x)}{Q(x)}$, где $P(x)$ и $Q(x)$ — многочлены, причём $Q(x)$ не является нулевым многочленом (т.е. не равен нулю тождественно).

Рациональные уравнения принято делить на два вида:

1. Целые рациональные уравнения
Это уравнения, в которых обе части являются целыми выражениями, то есть многочленами. В таких уравнениях отсутствует деление на выражение с переменной.
Примеры:
$2x + 8 = 0$ (линейное уравнение)
$x^2 - 5x + 6 = 0$ (квадратное уравнение)
$x^4 - 13x^2 + 36 = 0$ (биквадратное уравнение)

2. Дробно-рациональные уравнения
Это уравнения, в которых хотя бы одна из частей является дробным выражением, то есть содержит переменную в знаменателе дроби.
Примеры:
$\frac{1}{x} + 2 = 3x$
$\frac{x-2}{x+1} = \frac{x-3}{x-1}$

При решении дробно-рациональных уравнений крайне важно учитывать область допустимых значений (ОДЗ) — множество значений переменной, при которых все знаменатели в уравнении не равны нулю.

Общий подход к решению таких уравнений заключается в приведении их к виду $\frac{P(x)}{Q(x)} = 0$. Такое уравнение равносильно системе: $$ \begin{cases} P(x) = 0 \\ Q(x) \neq 0 \end{cases} $$ Это означает, что нужно найти корни числителя и проверить, удовлетворяют ли они условию ОДЗ (что знаменатель не равен нулю).

Ответ: Рациональное уравнение — это уравнение, в котором левая и правая части являются рациональными выражениями. Они подразделяются на целые (без переменной в знаменателе) и дробно-рациональные (с переменной в знаменателе).

4. Сформулируйте условие равенства дроби нулю.

4. Сформулируйте условие равенства дроби нулю.

Условие, при котором дробь равна нулю, является одним из фундаментальных правил в алгебре. Рассмотрим алгебраическую дробь вида $\frac{A}{B}$, где $A$ является числителем, а $B$ — знаменателем.

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда одновременно выполняются два условия:

1. Числитель дроби равен нулю.
Результат деления может быть равен нулю только в том случае, если делимое (числитель) равно нулю. То есть, $A = 0$.

2. Знаменатель дроби не равен нулю.
Одно из основных правил математики гласит, что деление на ноль не определено. Поэтому, чтобы дробь имела смысл как числовое значение, ее знаменатель не должен быть равен нулю. То есть, $B \neq 0$.

Эти два условия можно объединить в систему. Равенство $\frac{A}{B} = 0$ равносильно системе:
$\begin{cases} A = 0, \\ B \neq 0. \end{cases}$

Пример:
Найти, при каком значении переменной $x$ дробь $\frac{x^2 - 9}{x + 3}$ равна нулю.
Составим и решим систему:
$\begin{cases} x^2 - 9 = 0, \\ x + 3 \neq 0. \end{cases}$
Из первого уравнения находим корни: $x^2 = 9$, откуда $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.
Из второго условия получаем: $x \neq -3$.
Сравнивая результаты, мы видим, что корень $x_2 = -3$ не удовлетворяет условию $x \neq -3$, поэтому он является посторонним. Корень $x_1 = 3$ удовлетворяет этому условию.
Следовательно, данная дробь равна нулю только при $x = 3$.

Ответ: Дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю.

5. Опишите алгоритм решения уравнения вида $\frac{A}{B} = 0$, где А и В – многочлены.

Алгоритм решения уравнения вида $\frac{A}{B} = 0$, где $A$ и $B$ являются многочленами, основывается на условии равенства дроби нулю. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель при этом отличен от нуля.

Это означает, что решение исходного уравнения эквивалентно решению системы условий: $ \begin{cases} A = 0, \\ B \neq 0. \end{cases} $

Исходя из этого, алгоритм решения можно разбить на следующие шаги:

Шаг 1. Решение уравнения $A=0$
Первым делом необходимо приравнять числитель $A$ к нулю и решить полученное уравнение $A = 0$. Поскольку $A$ — это многочлен, нужно найти все его корни (то есть все значения переменной, при которых он обращается в ноль). Методы решения будут зависеть от вида и степени многочлена (например, для линейного уравнения — простое выражение переменной, для квадратного — нахождение корней через дискриминант, для многочленов высших степеней могут применяться методы разложения на множители, схема Горнера и т.д.).

Шаг 2. Нахождение области допустимых значений (ОДЗ)
Далее нужно найти все значения переменной, при которых знаменатель $B$ обращается в нуль. Для этого решается уравнение $B = 0$. Найденные корни — это недопустимые значения для исходного уравнения, так как на ноль делить нельзя. Эти значения необходимо будет исключить из итогового ответа.

Шаг 3. Исключение посторонних корней
На этом шаге необходимо проверить все корни, найденные на Шаге 1. Каждый корень уравнения $A=0$ нужно подставить в выражение для знаменателя $B$ или просто сравнить со списком корней знаменателя, полученным на Шаге 2. Если какой-либо корень числителя совпадает с одним из корней знаменателя, то он является посторонним и не входит в решение исходного уравнения.

Шаг 4. Формирование ответа
В ответ записываются только те корни уравнения $A=0$, которые удовлетворяют условию $B \neq 0$, то есть все корни числителя, которые не были исключены на Шаге 3.

Ответ: Чтобы решить уравнение вида $\frac{A}{B}=0$, где $A$ и $B$ — многочлены, необходимо:
1. Найти все корни уравнения $A=0$.
2. Найти все корни уравнения $B=0$.
3. Из множества корней, полученных в первом пункте, исключить все значения, которые совпадают с корнями, полученными во втором пункте.
4. Оставшиеся после исключения значения и составляют множество решений исходного уравнения.

205. Истинным или ложным является высказывание:

1) уравнения $x + 2 = 10$ и $3x = 24$ равносильны;

2) уравнения $-2x = -6$ и $\frac{1}{3}x = 1$ равносильны;

3) уравнения $x - 5 = 0$ и $x(x - 5) = 0$ равносильны;

4) уравнения $(3x - 12)(x + 2) = 0$ и $(0,4 - 0,1x)(7x + 14) = 0$ равносильны;

5) уравнения $\frac{6}{x} = 0$ и $x^2 = -4$ равносильны;

6) уравнения $x + 1 = 1 + x$ и $\frac{x^2 + 1}{x^2 + 1} = 1$ равносильны?

Два уравнения называются равносильными, если множества их корней совпадают. Если оба уравнения не имеют корней, они также считаются равносильными.

1) уравнения $x + 2 = 10$ и $3x = 24$ равносильны;

Решим первое уравнение:
$x + 2 = 10$
$x = 10 - 2$
$x = 8$
Корень первого уравнения: 8.

Решим второе уравнение:
$3x = 24$
$x = \frac{24}{3}$
$x = 8$
Корень второго уравнения: 8.

Множества корней обоих уравнений совпадают: $\{8\}$. Следовательно, уравнения равносильны.
Ответ: высказывание истинно.

2) уравнения $-2x = -6$ и $\frac{1}{3}x = 1$ равносильны;

Решим первое уравнение:
$-2x = -6$
$x = \frac{-6}{-2}$
$x = 3$
Корень первого уравнения: 3.

Решим второе уравнение:
$\frac{1}{3}x = 1$
$x = 1 \cdot 3$
$x = 3$
Корень второго уравнения: 3.

Множества корней обоих уравнений совпадают: $\{3\}$. Следовательно, уравнения равносильны.
Ответ: высказывание истинно.

3) уравнения $x - 5 = 0$ и $x(x - 5) = 0$ равносильны;

Решим первое уравнение:
$x - 5 = 0$
$x = 5$
Множество корней первого уравнения: $\{5\}$.

Решим второе уравнение:
$x(x - 5) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
$x = 0$ или $x - 5 = 0$
$x_1 = 0$, $x_2 = 5$
Множество корней второго уравнения: $\{0, 5\}$.

Множества корней не совпадают. Следовательно, уравнения не являются равносильными.
Ответ: высказывание ложно.

4) уравнения $(3x - 12)(x + 2) = 0$ и $(0,4 - 0,1x)(7x + 14) = 0$ равносильны;

Решим первое уравнение:
$(3x - 12)(x + 2) = 0$
$3x - 12 = 0$ или $x + 2 = 0$
$3x = 12 \implies x_1 = 4$
$x + 2 = 0 \implies x_2 = -2$
Множество корней первого уравнения: $\{-2, 4\}$.

Решим второе уравнение:
$(0,4 - 0,1x)(7x + 14) = 0$
$0,4 - 0,1x = 0$ или $7x + 14 = 0$
$0,1x = 0,4 \implies x_1 = \frac{0,4}{0,1} = 4$
$7x = -14 \implies x_2 = \frac{-14}{7} = -2$
Множество корней второго уравнения: $\{-2, 4\}$.

Множества корней обоих уравнений совпадают. Следовательно, уравнения равносильны.
Ответ: высказывание истинно.

5) уравнения $\frac{6}{x} = 0$ и $x^2 = -4$ равносильны;

Рассмотрим первое уравнение:
$\frac{6}{x} = 0$
Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. В данном случае числитель равен 6, что не равно нулю. Следовательно, это уравнение не имеет корней. Множество корней - пустое множество ($\emptyset$).

Рассмотрим второе уравнение:
$x^2 = -4$
Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, это уравнение также не имеет действительных корней. Множество корней - пустое множество ($\emptyset$).

Поскольку оба уравнения не имеют корней, их множества корней совпадают (оба пусты). Следовательно, уравнения равносильны.
Ответ: высказывание истинно.

6) уравнения $x + 1 = 1 + x$ и $\frac{x^2 + 1}{x^2 + 1} = 1$ равносильны?

Рассмотрим первое уравнение:
$x + 1 = 1 + x$
$x - x = 1 - 1$
$0 = 0$
Это тождество, верное для любого значения $x$. Следовательно, множество его решений - все действительные числа ($\mathbb{R}$).

Рассмотрим второе уравнение:
$\frac{x^2 + 1}{x^2 + 1} = 1$
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что знаменатель не равен нулю: $x^2 + 1 \ne 0$. Так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $x^2 + 1 \ge 1$, и знаменатель никогда не обращается в ноль. ОДЗ - все действительные числа ($\mathbb{R}$).
На всей ОДЗ дробь $\frac{x^2 + 1}{x^2 + 1}$ всегда равна 1. Следовательно, уравнение превращается в тождество $1=1$, верное для любого $x$ из ОДЗ. Множество решений - все действительные числа ($\mathbb{R}$).

Множества решений обоих уравнений совпадают. Следовательно, уравнения равносильны.
Ответ: высказывание истинно.