Страница 59 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

225. Найдите значение функции $f(x) = 3x - 7$ при:

1) $x = -3$;

2) $x = 2\frac{1}{3}$.

При каком значении аргумента значение функции равно $0,2$?

Дана функция $f(x) = 3x - 7$.

1) $x = -3$

Чтобы найти значение функции при $x = -3$, подставим это значение в формулу функции:
$f(-3) = 3 \cdot (-3) - 7 = -9 - 7 = -16$
Ответ: -16

2) $x = 2\frac{1}{3}$

Сначала преобразуем смешанное число $2\frac{1}{3}$ в неправильную дробь:
$x = 2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$
Теперь подставим это значение в формулу функции:
$f(2\frac{1}{3}) = 3 \cdot \frac{7}{3} - 7 = 7 - 7 = 0$
Ответ: 0

При каком значении аргумента значение функции равно 0,2?

Чтобы найти значение аргумента $x$, при котором значение функции $f(x)$ равно 0,2, нужно решить уравнение $f(x) = 0,2$:
$3x - 7 = 0,2$
Перенесем -7 в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:
$3x = 0,2 + 7$
$3x = 7,2$
Разделим обе части уравнения на 3, чтобы найти $x$:
$x = \frac{7,2}{3}$
$x = 2,4$
Ответ: 2,4

226. Найдите значение выражения:

1) $4^3 + 3^4$;

2) $(-8)^2 - (-1)^{12}$;

3) $9 \cdot \left(-\frac{2}{9}\right)^2$;

4) $(2.8 - 3.1)^3 \cdot \left(-1\frac{2}{3}\right)^2$.

1) Для нахождения значения выражения $4^3 + 3^4$ необходимо сначала вычислить каждую степень, а затем сложить результаты.

Вычисляем $4^3$:
$4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 16 \cdot 4 = 64$.

Вычисляем $3^4$:
$3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 9 \cdot 9 = 81$.

Складываем полученные значения:
$64 + 81 = 145$.

Ответ: 145

2) Для нахождения значения выражения $(-8)^2 - (-1)^{12}$ вычислим значения уменьшаемого и вычитаемого.

Вычисляем уменьшаемое $(-8)^2$. Возведение отрицательного числа в четную степень дает положительный результат:
$(-8)^2 = (-8) \cdot (-8) = 64$.

Вычисляем вычитаемое $(-1)^{12}$. Число -1, возведенное в любую четную степень, равно 1:
$(-1)^{12} = 1$.

Выполняем вычитание:
$64 - 1 = 63$.

Ответ: 63

3) Для нахождения значения выражения $9 \cdot (-\frac{2}{9})^2$ сначала выполним возведение в степень, а затем умножение.

Возводим дробь в квадрат. Квадрат отрицательного числа есть число положительное:
$(-\frac{2}{9})^2 = \frac{(-2)^2}{9^2} = \frac{4}{81}$.

Теперь умножаем 9 на полученную дробь и сокращаем:
$9 \cdot \frac{4}{81} = \frac{9 \cdot 4}{81} = \frac{4}{9}$.

Ответ: $\frac{4}{9}$

4) Для нахождения значения выражения $(2,8 - 3,1)^3 \cdot (-1\frac{2}{3})^2$ выполним действия по порядку.

1. Вычисляем значение в первых скобках:
$2,8 - 3,1 = -0,3$.

2. Возводим результат в третью степень:
$(-0,3)^3 = (-0,3) \cdot (-0,3) \cdot (-0,3) = 0,09 \cdot (-0,3) = -0,027$.

3. Преобразуем смешанное число во вторых скобках в неправильную дробь:
$-1\frac{2}{3} = -\frac{1 \cdot 3 + 2}{3} = -\frac{5}{3}$.

4. Возводим полученную дробь в квадрат:
$(-\frac{5}{3})^2 = \frac{(-5)^2}{3^2} = \frac{25}{9}$.

5. Перемножаем результаты шагов 2 и 4. Для удобства представим десятичную дробь $-0,027$ в виде обыкновенной: $-0,027 = -\frac{27}{1000}$.
$(-\frac{27}{1000}) \cdot \frac{25}{9}$.

6. Сокращаем дробь: числитель 27 и знаменатель 9 делим на 9; числитель 25 и знаменатель 1000 делим на 25.
$-\frac{27 \cdot 25}{1000 \cdot 9} = -\frac{3 \cdot \cancel{9} \cdot \cancel{25}}{40 \cdot \cancel{25} \cdot \cancel{9}} = -\frac{3}{40}$.

Ответ: $-\frac{3}{40}$

227. Не выполняя вычислений, сравните значения выражений:

1) $(-5,7)^2$ и $0$;

2) $0$ и $(-6,9)^3$;

3) $(-23)^5$ и $(-2)^4$;

4) $-8^8$ и $(-8)^8$.

1) $(-5,7)^2$ и 0;
Квадрат любого ненулевого числа всегда является положительным числом. Поскольку основание степени $-5,7$ не равно нулю, а показатель степени $2$ — четное число, то результат выражения $(-5,7)^2$ будет положительным.
Любое положительное число больше нуля.
Таким образом, $(-5,7)^2 > 0$.
Ответ: $(-5,7)^2 > 0$.

2) 0 и $(-6,9)^3$;
При возведении отрицательного числа в нечетную степень результат будет отрицательным. Основание степени $-6,9$ — отрицательное, а показатель степени $3$ — нечетное число. Следовательно, значение выражения $(-6,9)^3$ является отрицательным числом.
Ноль всегда больше любого отрицательного числа.
Таким образом, $0 > (-6,9)^3$.
Ответ: $0 > (-6,9)^3$.

3) $(-23)^5$ и $(-2)^4$;
Рассмотрим выражение $(-23)^5$. Основание степени $-23$ отрицательное, а показатель $5$ — нечетный. Значит, $(-23)^5$ — отрицательное число.
Рассмотрим выражение $(-2)^4$. Основание степени $-2$ отрицательное, а показатель $4$ — четный. Значит, $(-2)^4$ — положительное число.
Любое отрицательное число меньше любого положительного числа.
Таким образом, $(-23)^5 < (-2)^4$.
Ответ: $(-23)^5 < (-2)^4$.

4) $-8^8$ и $(-8)^8$;
Рассмотрим выражение $-8^8$. Порядок действий предписывает сначала выполнить возведение в степень: $8^8$. Затем применяется знак минуса. То есть, $-8^8 = -(8^8)$. Результат будет отрицательным.
Рассмотрим выражение $(-8)^8$. Отрицательное число $(-8)$ возводится в четную степень $8$. Результат будет положительным.
Любое отрицательное число меньше любого положительного числа.
Таким образом, $-8^8 < (-8)^8$.
Ответ: $-8^8 < (-8)^8$.

228. Представьте в виде степени:

1) с основанием $2$ числа $4$; $8$; $16$; $32$; $64$;

2) с основанием $10$ числа $100$; $1000$; $10\,000$; $1\,000\,000$.

1) с основанием 2 числа 4; 8; 16; 32; 64;

Чтобы представить число в виде степени с основанием 2, необходимо найти такой показатель степени $n$, что $2^n$ будет равно заданному числу. Это можно сделать путем последовательного умножения двойки на саму себя.

• Для числа 4: $2 \times 2 = 4$. Двойка умножается на себя 2 раза, следовательно, $4 = 2^2$.

• Для числа 8: $2 \times 2 \times 2 = 8$. Двойка умножается на себя 3 раза, следовательно, $8 = 2^3$.

• Для числа 16: $2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16$. Двойка умножается на себя 4 раза, следовательно, $16 = 2^4$.

• Для числа 32: $2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32$. Двойка умножается на себя 5 раз, следовательно, $32 = 2^5$.

• Для числа 64: $2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 64$. Двойка умножается на себя 6 раз, следовательно, $64 = 2^6$.

Ответ: $4=2^2$; $8=2^3$; $16=2^4$; $32=2^5$; $64=2^6$.

2) с основанием 10 числа 100; 1000; 10 000; 1 000 000.

Чтобы представить число в виде степени с основанием 10, нужно найти показатель степени $n$, чтобы $10^n$ равнялось заданному числу. Для чисел, которые являются единицами с последующими нулями, показатель степени равен количеству нулей.

• Для числа 100: В числе два нуля, поэтому $100 = 10^2$.

• Для числа 1000: В числе три нуля, поэтому $1000 = 10^3$.

• Для числа 10 000: В числе четыре нуля, поэтому $10\;000 = 10^4$.

• Для числа 1 000 000: В числе шесть нулей, поэтому $1\;000\;000 = 10^6$.

Ответ: $100=10^2$; $1000=10^3$; $10\;000=10^4$; $1\;000\;000=10^6$.

229. Найдите значение выражения:

1) $18a^2$, если $a = -\frac{1}{6}$;

2) $(18a)^2$, если $a = -\frac{1}{6}$;

3) $6 + b^4$, если $b = -2$;

4) $(6 + b)^4$, если $b = -2$.

1) Чтобы найти значение выражения $18a^2$ при $a = -\frac{1}{6}$, нужно подставить значение $a$ в выражение. Сначала выполняется возведение в степень, а затем умножение.
$18a^2 = 18 \cdot (-\frac{1}{6})^2 = 18 \cdot ((\text{-}1)^2 / 6^2) = 18 \cdot \frac{1}{36} = \frac{18}{36} = \frac{1}{2} = 0.5$.
Ответ: $0.5$

2) Чтобы найти значение выражения $(18a)^2$ при $a = -\frac{1}{6}$, сначала вычислим значение произведения в скобках, а затем возведем результат в квадрат.
$(18a)^2 = (18 \cdot (-\frac{1}{6}))^2 = (-\frac{18}{6})^2 = (-3)^2 = 9$.
Ответ: $9$

3) Чтобы найти значение выражения $6 + b^4$ при $b = -2$, сначала возведем $b$ в четвертую степень, а затем к результату прибавим 6.
$6 + b^4 = 6 + (-2)^4 = 6 + ((-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)) = 6 + 16 = 22$.
Ответ: $22$

4) Чтобы найти значение выражения $(6 + b)^4$ при $b = -2$, сначала вычислим сумму в скобках, а затем возведем результат в четвертую степень.
$(6 + b)^4 = (6 + (-2))^4 = (4)^4 = 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 16 \cdot 16 = 256$.
Ответ: $256$

230. Существует ли натуральное число, которое при умножении на 2 становится квадратом натурального числа, а при умножении на 3 – кубом натурального числа?

Да, такое натуральное число существует. Чтобы это доказать, достаточно привести хотя бы один пример такого числа. Давайте найдем его.

Обозначим искомое натуральное число через $N$. Согласно условию задачи, для этого числа должны выполняться два условия с некоторыми натуральными числами $a$ и $b$:
1) $2N = a^2$
2) $3N = b^3$

Воспользуемся основной теоремой арифметики, которая гласит, что любое натуральное число больше 1 можно представить в виде произведения простых множителей, причем это представление единственно с точностью до порядка сомножителей.

Чтобы число было полным квадратом, все показатели степеней в его разложении на простые множители должны быть четными.
Чтобы число было полным кубом, все показатели степеней в его разложении на простые множители должны быть кратны 3.

Представим число $N$ в виде разложения на простые множители. Так как в условиях задачи участвуют простые числа 2 и 3, выделим их в разложении $N$:
$N = 2^x \cdot 3^y \cdot k$, где $x$ и $y$ — неотрицательные целые числа, а $k$ — натуральное число, в разложении которого нет множителей 2 и 3.

Рассмотрим первое условие: $2N = a^2$.
$2 \cdot (2^x \cdot 3^y \cdot k) = 2^{x+1} \cdot 3^y \cdot k = a^2$.
Для того чтобы это выражение было полным квадратом, показатели степеней всех его простых множителей должны быть четными. Отсюда получаем:
– показатель степени для 2, равный $x+1$, должен быть четным. Это означает, что $x$ должен быть нечетным.
– показатель степени для 3, равный $y$, должен быть четным.
– все показатели степеней простых множителей в разложении числа $k$ должны быть четными.

Рассмотрим второе условие: $3N = b^3$.
$3 \cdot (2^x \cdot 3^y \cdot k) = 2^x \cdot 3^{y+1} \cdot k = b^3$.
Для того чтобы это выражение было полным кубом, показатели степеней всех его простых множителей должны быть кратны 3. Отсюда получаем:
– показатель степени для 2, равный $x$, должен быть кратен 3.
– показатель степени для 3, равный $y+1$, должен быть кратен 3.
– все показатели степеней простых множителей в разложении числа $k$ должны быть кратны 3.

Теперь объединим все полученные требования к показателям степеней, чтобы найти наименьшее возможное натуральное число $N$:
– для показателя $x$: $x$ должен быть нечетным и одновременно кратным 3. Наименьшее положительное целое число, удовлетворяющее обоим условиям, — это $x=3$.
– для показателя $y$: $y$ должен быть четным, и при этом $y+1$ должно быть кратно 3. Переберем наименьшие неотрицательные четные числа: если $y=0$, то $y+1=1$ (не кратно 3); если $y=2$, то $y+1=3$ (кратно 3). Значит, наименьшее подходящее значение — это $y=2$.
– для показателей степеней простых множителей в разложении $k$: они должны быть одновременно четными и кратными 3, то есть должны быть кратны $\text{НОК}(2, 3) = 6$. Чтобы найти наименьшее $N$, мы можем взять наименьшие возможные значения для этих показателей, то есть 0. Это означает, что $k=1$.

Итак, мы нашли наименьшие возможные значения для показателей степеней: $x=3$, $y=2$, $k=1$. Вычислим $N$:
$N = 2^x \cdot 3^y \cdot k = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 1 = 8 \cdot 9 = 72$.

Проверим, удовлетворяет ли число 72 условиям задачи:
1) $2 \cdot 72 = 144 = 12^2$. Первое условие выполняется.
2) $3 \cdot 72 = 216 = 6^3$. Второе условие выполняется.

Поскольку мы нашли конкретное число, которое удовлетворяет условиям, мы доказали, что такое число существует.

Ответ: Да, существует. Например, число 72.