Страница 57 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

211. Составьте пару равносильных уравнений, каждое из которых:

1) имеет один корень;

2) имеет два корня;

3) имеет бесконечно много корней;

4) не имеет корней.

212. Решите уравнение:

1) $\frac{5}{x^2 - 4} + \frac{2x}{x + 2} = 2;$

2) $\frac{2}{6x + 1} + \frac{3}{6x - 1} = \frac{30x + 9}{36x^2 - 1};$

3) $\frac{6x + 14}{x^2 - 9} + \frac{7}{x^2 + 3x} = \frac{6}{x - 3};$

4) $\frac{2y^2 + 5}{1 - y^2} + \frac{y + 1}{y - 1} = \frac{4}{y + 1};$

5) $\frac{2x - 1}{2x + 1} = \frac{2x + 1}{2x - 1} + \frac{4}{1 - 4x^2};$

6) $\frac{7}{(x + 2)(x - 3)} - \frac{4}{(x - 3)^2} = \frac{3}{(x + 2)^2};$

7) $\frac{2x - 1}{x + 4} - \frac{3x - 1}{4 - x} = \frac{6x + 64}{x^2 - 16} + 4;$

8) $\frac{2x - 6}{x^2 - 36} - \frac{x - 3}{x^2 - 6x} - \frac{x - 1}{x^2 + 6x} = 0.$

1) $\frac{5}{x^2 - 4} + \frac{2x}{x + 2} = 2$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не должны равняться нулю: $x^2 - 4 \neq 0$ и $x + 2 \neq 0$. Так как $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$, получаем, что $x \neq 2$ и $x \neq -2$.

Приведем уравнение к общему знаменателю $(x-2)(x+2)$. Для этого умножим все члены уравнения на этот знаменатель:

$5 \cdot 1 + 2x(x-2) = 2(x^2 - 4)$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$5 + 2x^2 - 4x = 2x^2 - 8$

Перенесем члены с $x^2$ в одну сторону:

$2x^2 - 2x^2 - 4x = -8 - 5$

$-4x = -13$

$x = \frac{-13}{-4} = \frac{13}{4}$

Корень $x = \frac{13}{4}$ (или $3.25$) удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 2, x \neq -2$).

Ответ: $x = \frac{13}{4}$.

2) $\frac{2}{6x + 1} + \frac{3}{6x - 1} = \frac{30x + 9}{36x^2 - 1}$

ОДЗ: $6x + 1 \neq 0 \implies x \neq -\frac{1}{6}$ и $6x - 1 \neq 0 \implies x \neq \frac{1}{6}$. Знаменатель правой части $36x^2 - 1 = (6x-1)(6x+1)$ включает те же ограничения.

Общий знаменатель: $(6x-1)(6x+1)$. Умножим уравнение на него:

$2(6x - 1) + 3(6x + 1) = 30x + 9$

Раскроем скобки:

$12x - 2 + 18x + 3 = 30x + 9$

Приведем подобные слагаемые:

$30x + 1 = 30x + 9$

$1 = 9$

Получили неверное числовое равенство. Это означает, что уравнение не имеет решений.

Ответ: корней нет.

3) $\frac{6x + 14}{x^2 - 9} + \frac{7}{x^2 + 3x} = \frac{6}{x - 3}$

Разложим знаменатели на множители: $x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$ и $x^2 + 3x = x(x+3)$.

ОДЗ: $x \neq 3, x \neq -3, x \neq 0$.

Общий знаменатель: $x(x-3)(x+3)$. Умножим уравнение на него:

$(6x + 14)x + 7(x - 3) = 6x(x + 3)$

Раскроем скобки:

$6x^2 + 14x + 7x - 21 = 6x^2 + 18x$

$6x^2 + 21x - 21 = 6x^2 + 18x$

$21x - 18x = 21$

$3x = 21$

$x = 7$

Корень $x = 7$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x = 7$.

4) $\frac{2y^2 + 5}{1 - y^2} + \frac{y + 1}{y - 1} = \frac{4}{y + 1}$

Преобразуем знаменатель $1 - y^2 = -(y^2 - 1) = -(y-1)(y+1)$.

ОДЗ: $y \neq 1, y \neq -1$.

Перепишем уравнение: $-\frac{2y^2 + 5}{(y - 1)(y + 1)} + \frac{y + 1}{y - 1} = \frac{4}{y + 1}$.

Общий знаменатель: $(y-1)(y+1)$. Умножим уравнение на него:

$-(2y^2 + 5) + (y + 1)(y + 1) = 4(y - 1)$

$-2y^2 - 5 + (y+1)^2 = 4y - 4$

$-2y^2 - 5 + y^2 + 2y + 1 = 4y - 4$

$-y^2 + 2y - 4 = 4y - 4$

$-y^2 - 2y = 0$

$-y(y + 2) = 0$

Отсюда получаем два корня: $y_1 = 0$ и $y_2 = -2$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($y \neq 1, y \neq -1$).

Ответ: $y_1 = -2, y_2 = 0$.

5) $\frac{2x - 1}{2x + 1} = \frac{2x + 1}{2x - 1} + \frac{4}{1 - 4x^2}$

Преобразуем знаменатель $1 - 4x^2 = -(4x^2 - 1) = -(2x-1)(2x+1)$.

ОДЗ: $2x+1 \neq 0 \implies x \neq -\frac{1}{2}$ и $2x-1 \neq 0 \implies x \neq \frac{1}{2}$.

Перепишем уравнение: $\frac{2x - 1}{2x + 1} - \frac{2x + 1}{2x - 1} = -\frac{4}{(2x - 1)(2x + 1)}$.

Общий знаменатель: $(2x-1)(2x+1)$. Умножим уравнение на него:

$(2x - 1)^2 - (2x + 1)^2 = -4$

$(4x^2 - 4x + 1) - (4x^2 + 4x + 1) = -4$

$4x^2 - 4x + 1 - 4x^2 - 4x - 1 = -4$

$-8x = -4$

$x = \frac{-4}{-8} = \frac{1}{2}$

Полученный корень $x = \frac{1}{2}$ не входит в ОДЗ. Следовательно, это посторонний корень.

Ответ: корней нет.

6) $\frac{7}{(x + 2)(x - 3)} - \frac{4}{(x - 3)^2} = \frac{3}{(x + 2)^2}$

ОДЗ: $x+2 \neq 0 \implies x \neq -2$ и $x-3 \neq 0 \implies x \neq 3$.

Общий знаменатель: $(x+2)^2(x-3)^2$. Умножим уравнение на него:

$7(x+2)(x-3) - 4(x+2)^2 = 3(x-3)^2$

Раскроем скобки:

$7(x^2 - x - 6) - 4(x^2 + 4x + 4) = 3(x^2 - 6x + 9)$

$7x^2 - 7x - 42 - 4x^2 - 16x - 16 = 3x^2 - 18x + 27$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$3x^2 - 23x - 58 = 3x^2 - 18x + 27$

$-23x - 58 = -18x + 27$

$-58 - 27 = -18x + 23x$

$-85 = 5x$

$x = -17$

Корень $x = -17$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x = -17$.

7) $\frac{2x - 1}{x + 4} - \frac{3x - 1}{4 - x} = \frac{6x + 64}{x^2 - 16} + 4$

Преобразуем дробь с $4-x$ в знаменателе: $\frac{3x - 1}{4 - x} = -\frac{3x - 1}{x - 4}$. Также $x^2 - 16 = (x-4)(x+4)$.

Уравнение принимает вид: $\frac{2x - 1}{x + 4} + \frac{3x - 1}{x - 4} = \frac{6x + 64}{(x - 4)(x + 4)} + 4$.

ОДЗ: $x \neq -4, x \neq 4$.

Общий знаменатель: $(x-4)(x+4)$. Умножим уравнение на него:

$(2x - 1)(x - 4) + (3x - 1)(x + 4) = 6x + 64 + 4(x^2 - 16)$

$(2x^2 - 8x - x + 4) + (3x^2 + 12x - x - 4) = 6x + 64 + 4x^2 - 64$

$(2x^2 - 9x + 4) + (3x^2 + 11x - 4) = 4x^2 + 6x$

$5x^2 + 2x = 4x^2 + 6x$

$x^2 - 4x = 0$

$x(x - 4) = 0$

Получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$.

Корень $x_1 = 0$ удовлетворяет ОДЗ. Корень $x_2 = 4$ не удовлетворяет ОДЗ, является посторонним.

Ответ: $x = 0$.

8) $\frac{2x - 6}{x^2 - 36} - \frac{x - 3}{x^2 - 6x} - \frac{x - 1}{x^2 + 6x} = 0$

Разложим знаменатели на множители: $x^2 - 36 = (x-6)(x+6)$, $x^2 - 6x = x(x-6)$, $x^2 + 6x = x(x+6)$.

ОДЗ: $x \neq 0, x \neq 6, x \neq -6$.

Общий знаменатель: $x(x-6)(x+6)$. Умножим уравнение на него:

$(2x - 6)x - (x - 3)(x + 6) - (x - 1)(x - 6) = 0$

Раскроем скобки:

$2x^2 - 6x - (x^2 + 6x - 3x - 18) - (x^2 - 6x - x + 6) = 0$

$2x^2 - 6x - (x^2 + 3x - 18) - (x^2 - 7x + 6) = 0$

$2x^2 - 6x - x^2 - 3x + 18 - x^2 + 7x - 6 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(2x^2 - x^2 - x^2) + (-6x - 3x + 7x) + (18 - 6) = 0$

$0 \cdot x^2 - 2x + 12 = 0$

$-2x = -12$

$x = 6$

Полученный корень $x=6$ не входит в ОДЗ. Следовательно, это посторонний корень.

Ответ: корней нет.

213. Решите уравнение:

1) $\frac{x - 2}{x + 1} - \frac{5}{1 - x} = \frac{x^2 + 27}{x^2 - 1};$

2) $\frac{3x + 1}{3x - 1} - \frac{3x - 1}{3x + 1} = \frac{6}{1 - 9x^2};$

3) $\frac{4}{x - 3} + \frac{1}{x} = \frac{5}{x - 2};$

4) $\frac{2x^2 - 2x}{x^2 - 4} + \frac{6}{x + 2} = \frac{x + 2}{x - 2};$

5) $\frac{7}{x^2 + 2x} + \frac{x + 1}{x^2 - 2x} = \frac{x + 4}{x^2 - 4};$

6) $\frac{x^2 - 9x + 50}{x^2 - 5x} = \frac{x + 1}{x - 5} + \frac{x - 5}{x}.$

1) $\frac{x-2}{x+1} - \frac{5}{1-x} = \frac{x^2+27}{x^2-1}$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не должны быть равны нулю:
$x+1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$
$1-x \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$
$x^2-1 \neq 0 \Rightarrow (x-1)(x+1) \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$ и $x \neq -1$
ОДЗ: $x \neq \pm 1$.

Преобразуем уравнение, приведя все дроби к общему знаменателю. Заметим, что $1-x = -(x-1)$ и $x^2-1 = (x-1)(x+1)$.
$\frac{x-2}{x+1} - \frac{5}{-(x-1)} = \frac{x^2+27}{(x-1)(x+1)}$
$\frac{x-2}{x+1} + \frac{5}{x-1} = \frac{x^2+27}{(x-1)(x+1)}$

Общий знаменатель: $(x-1)(x+1)$. Умножим обе части уравнения на него:
$(x-2)(x-1) + 5(x+1) = x^2+27$

Раскроем скобки и упростим:
$x^2 - x - 2x + 2 + 5x + 5 = x^2+27$
$x^2 + 2x + 7 = x^2+27$

Перенесем члены с $x^2$ в одну сторону:
$x^2 - x^2 + 2x = 27 - 7$
$2x = 20$
$x = 10$

Проверим, удовлетворяет ли корень ОДЗ. $10 \neq \pm 1$. Корень подходит.
Ответ: $10$.

2) $\frac{3x+1}{3x-1} - \frac{3x-1}{3x+1} = \frac{6}{1-9x^2}$

ОДЗ: $3x-1 \neq 0 \Rightarrow x \neq \frac{1}{3}$; $3x+1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -\frac{1}{3}$; $1-9x^2 \neq 0 \Rightarrow x^2 \neq \frac{1}{9} \Rightarrow x \neq \pm\frac{1}{3}$.
ОДЗ: $x \neq \pm \frac{1}{3}$.

Преобразуем правую часть уравнения: $1-9x^2 = -(9x^2-1) = -(3x-1)(3x+1)$.
$\frac{3x+1}{3x-1} - \frac{3x-1}{3x+1} = \frac{6}{-(3x-1)(3x+1)}$

Приведем левую часть к общему знаменателю $(3x-1)(3x+1)$:
$\frac{(3x+1)^2 - (3x-1)^2}{(3x-1)(3x+1)} = \frac{-6}{(3x-1)(3x+1)}$

Умножим обе части на знаменатель $(3x-1)(3x+1)$:
$(3x+1)^2 - (3x-1)^2 = -6$

Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:
$((3x+1) - (3x-1))((3x+1) + (3x-1)) = -6$
$(3x+1-3x+1)(3x+1+3x-1) = -6$
$(2)(6x) = -6$
$12x = -6$
$x = -\frac{6}{12} = -\frac{1}{2}$

Проверим ОДЗ: $-\frac{1}{2} \neq \pm \frac{1}{3}$. Корень подходит.
Ответ: $-0,5$.

3) $\frac{4}{x-3} + \frac{1}{x} = \frac{5}{x-2}$

ОДЗ: $x-3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$; $x \neq 0$; $x-2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$.
ОДЗ: $x \neq 0; 2; 3$.

Перенесем все члены в одну сторону и приведем к общему знаменателю $x(x-3)(x-2)$:
$\frac{4}{x-3} + \frac{1}{x} - \frac{5}{x-2} = 0$
$\frac{4x(x-2) + 1(x-3)(x-2) - 5x(x-3)}{x(x-3)(x-2)} = 0$

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю (что учтено в ОДЗ):
$4x(x-2) + (x-3)(x-2) - 5x(x-3) = 0$
$4x^2 - 8x + x^2 - 2x - 3x + 6 - 5x^2 + 15x = 0$

Сгруппируем подобные члены:
$(4x^2 + x^2 - 5x^2) + (-8x - 2x - 3x + 15x) + 6 = 0$
$0 \cdot x^2 + 2x + 6 = 0$
$2x = -6$
$x = -3$

Проверим ОДЗ: $-3 \neq 0; 2; 3$. Корень подходит.
Ответ: $-3$.

4) $\frac{2x^2-2x}{x^2-4} + \frac{6}{x+2} = \frac{x+2}{x-2}$

Разложим знаменатели на множители и определим ОДЗ:
$\frac{2x(x-1)}{(x-2)(x+2)} + \frac{6}{x+2} = \frac{x+2}{x-2}$
ОДЗ: $x \neq \pm 2$.

Общий знаменатель: $(x-2)(x+2)$. Умножим обе части на него:
$2x(x-1) + 6(x-2) = (x+2)(x+2)$
$2x^2 - 2x + 6x - 12 = (x+2)^2$
$2x^2 + 4x - 12 = x^2 + 4x + 4$

Перенесем все члены в левую часть:
$2x^2 - x^2 + 4x - 4x - 12 - 4 = 0$
$x^2 - 16 = 0$
$x^2 = 16$
$x_1 = 4$, $x_2 = -4$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($4 \neq \pm 2$ и $-4 \neq \pm 2$).
Ответ: $-4; 4$.

5) $\frac{7}{x^2+2x} + \frac{x+1}{x^2-2x} = \frac{x+4}{x^2-4}$

Разложим знаменатели на множители и определим ОДЗ:
$\frac{7}{x(x+2)} + \frac{x+1}{x(x-2)} = \frac{x+4}{(x-2)(x+2)}$
ОДЗ: $x \neq 0$, $x+2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2$, $x-2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$.
ОДЗ: $x \neq 0; \pm 2$.

Общий знаменатель: $x(x-2)(x+2)$. Умножим обе части на него:
$7(x-2) + (x+1)(x+2) = x(x+4)$
$7x - 14 + x^2 + 2x + x + 2 = x^2 + 4x$
$x^2 + 10x - 12 = x^2 + 4x$

Перенесем члены:
$x^2 - x^2 + 10x - 4x = 12$
$6x = 12$
$x = 2$

Проверим корень по ОДЗ. Корень $x=2$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при $x=2$ знаменатели $x^2-2x$ и $x^2-4$ обращаются в ноль. Следовательно, это посторонний корень.
Ответ: корней нет.

6) $\frac{x^2-9x+50}{x^2-5x} = \frac{x+1}{x-5} + \frac{x-5}{x}$

Разложим знаменатели на множители и определим ОДЗ:
$\frac{x^2-9x+50}{x(x-5)} = \frac{x+1}{x-5} + \frac{x-5}{x}$
ОДЗ: $x \neq 0$, $x-5 \neq 0 \Rightarrow x \neq 5$.
ОДЗ: $x \neq 0; 5$.

Общий знаменатель: $x(x-5)$. Умножим обе части на него:
$x^2 - 9x + 50 = x(x+1) + (x-5)(x-5)$
$x^2 - 9x + 50 = x^2 + x + (x-5)^2$
$x^2 - 9x + 50 = x^2 + x + x^2 - 10x + 25$

Упростим правую часть:
$x^2 - 9x + 50 = 2x^2 - 9x + 25$

Перенесем все члены в правую часть:
$0 = 2x^2 - x^2 - 9x + 9x + 25 - 50$
$0 = x^2 - 25$
$x^2 = 25$
$x_1 = 5$, $x_2 = -5$

Проверим корни по ОДЗ. Корень $x=5$ не удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 5$), это посторонний корень. Корень $x=-5$ удовлетворяет ОДЗ ($-5 \neq 0; 5$).
Ответ: $-5$.

214. Моторная лодка проплыла 8 км по течению реки и вернулась обратно, потратив на весь путь 54 мин. Найдите скорость течения реки, если собственная скорость лодки равна 18 $\text{км/ч}$.

Пусть $x$ км/ч — искомая скорость течения реки. Тогда скорость моторной лодки по течению реки равна $(18 + x)$ км/ч, а скорость против течения реки — $(18 - x)$ км/ч. При этом $x$ должен быть меньше 18, так как иначе лодка не смогла бы вернуться обратно.

Время, которое лодка затратила на путь по течению, составляет $t_1 = \frac{S}{v_{по\_течению}} = \frac{8}{18 + x}$ часов.

Время, которое лодка затратила на обратный путь против течения, составляет $t_2 = \frac{S}{v_{против\_течения}} = \frac{8}{18 - x}$ часов.

Общее время, затраченное на весь путь, равно 54 минуты. Переведем это время в часы для согласования единиц измерения:

$54 \text{ мин} = \frac{54}{60} \text{ ч} = \frac{9}{10} \text{ ч}$.

Сумма времени движения по течению и против течения равна общему времени в пути. Составим уравнение:

$\frac{8}{18 + x} + \frac{8}{18 - x} = \frac{9}{10}$

Чтобы решить уравнение, приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(18 + x)(18 - x)$, который по формуле разности квадратов равен $18^2 - x^2 = 324 - x^2$:

$\frac{8(18 - x) + 8(18 + x)}{(18 + x)(18 - x)} = \frac{9}{10}$

$\frac{144 - 8x + 144 + 8x}{324 - x^2} = \frac{9}{10}$

$\frac{288}{324 - x^2} = \frac{9}{10}$

Теперь воспользуемся свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$288 \cdot 10 = 9 \cdot (324 - x^2)$

$2880 = 9(324 - x^2)$

Разделим обе части уравнения на 9:

$320 = 324 - x^2$

Перенесем $x^2$ в левую часть, а 320 — в правую:

$x^2 = 324 - 320$

$x^2 = 4$

Из этого уравнения получаем два корня:

$x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Поскольку скорость течения реки не может быть отрицательной величиной, выбираем положительный корень $x=2$.

Таким образом, скорость течения реки составляет 2 км/ч.

Ответ: 2 км/ч.

215. Теплоход прошёл 28 км против течения реки и вернулся обратно, потратив на обратный путь на 4 мин меньше. Найдите скорость теплохода в стоячей воде, если скорость течения реки равна 1 км/ч.

Пусть $x$ км/ч — собственная скорость теплохода (скорость в стоячей воде). Тогда скорость теплохода против течения реки равна $(x - 1)$ км/ч, а скорость по течению равна $(x + 1)$ км/ч. Расстояние в одну сторону составляет 28 км.

Время, затраченное на путь против течения, составляет $t_1 = \frac{28}{x-1}$ часов.

Время, затраченное на обратный путь (по течению), составляет $t_2 = \frac{28}{x+1}$ часов.

По условию задачи, на обратный путь теплоход потратил на 4 минуты меньше. Переведем разницу во времени в часы: 4 мин = $\frac{4}{60}$ ч = $\frac{1}{15}$ ч.

Так как время движения по течению меньше, чем время движения против течения, мы можем составить уравнение:

$t_1 - t_2 = \frac{1}{15}$

$\frac{28}{x-1} - \frac{28}{x+1} = \frac{1}{15}$

Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю:

$\frac{28(x+1) - 28(x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{1}{15}$

$\frac{28x + 28 - 28x + 28}{x^2 - 1} = \frac{1}{15}$

$\frac{56}{x^2 - 1} = \frac{1}{15}$

Используя свойство пропорции, получаем:

$x^2 - 1 = 56 \cdot 15$

$x^2 - 1 = 840$

$x^2 = 841$

$x = \sqrt{841}$

$x = 29$

Так как скорость не может быть отрицательной, мы выбираем положительный корень. Скорость теплохода в стоячей воде должна быть больше скорости течения ($29 > 1$), что выполняется.

Таким образом, скорость теплохода в стоячей воде равна 29 км/ч.

Ответ: 29 км/ч.

216. Лодка прошла 6 км против течения реки и 12 км по течению, потратив на весь путь 2 ч. Найдите скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения реки составляет 3 км/ч.

Пусть собственная скорость лодки (скорость в стоячей воде) равна $x$ км/ч. Согласно условию задачи, скорость течения реки составляет 3 км/ч.

Тогда скорость лодки при движении по течению реки будет равна сумме собственной скорости и скорости течения: $v_{по~теч.} = (x + 3)$ км/ч.

Скорость лодки при движении против течения реки будет равна разности собственной скорости и скорости течения: $v_{против~теч.} = (x - 3)$ км/ч. Важно отметить, что для движения против течения собственная скорость лодки должна быть больше скорости течения, то есть $x > 3$.

Время, затраченное на путь, вычисляется по формуле $t = S/v$, где $S$ — расстояние, а $v$ — скорость.

Время, которое лодка затратила на путь против течения (6 км), составляет $t_{против~теч.} = \frac{6}{x-3}$ ч.

Время, которое лодка затратила на путь по течению (12 км), составляет $t_{по~теч.} = \frac{12}{x+3}$ ч.

Общее время, потраченное на весь путь, равно 2 часам. Можем составить уравнение, сложив время движения в обоих направлениях:

$\frac{6}{x-3} + \frac{12}{x+3} = 2$

Для решения этого уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(x-3)(x+3)$:

$\frac{6(x+3) + 12(x-3)}{(x-3)(x+3)} = 2$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{6x + 18 + 12x - 36}{x^2 - 9} = 2$

$\frac{18x - 18}{x^2 - 9} = 2$

Теперь умножим обе части уравнения на знаменатель $(x^2 - 9)$, чтобы избавиться от дроби (при условии, что $x \neq \pm 3$):

$18x - 18 = 2(x^2 - 9)$

$18x - 18 = 2x^2 - 18$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:

$2x^2 - 18x = 0$

Вынесем общий множитель $2x$ за скобки:

$2x(x-9) = 0$

Это уравнение имеет два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 9$.

Проанализируем полученные корни. Корень $x_1 = 0$ не соответствует физическому смыслу задачи и нашему ограничению $x > 3$, так как скорость лодки не может быть нулевой, и она не смогла бы двигаться против течения. Корень $x_2 = 9$ удовлетворяет условию $x > 3$.

Сделаем проверку. Если скорость лодки 9 км/ч:

• Время против течения: $\frac{6}{9-3} = \frac{6}{6} = 1$ час.
• Время по течению: $\frac{12}{9+3} = \frac{12}{12} = 1$ час.
• Общее время: $1 + 1 = 2$ часа.

Результат совпадает с условием задачи.

Ответ: 9 км/ч.