Номер 216, страница 57 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 7. Равносильные уравнения. Рациональные уравнения. Упражнения - номер 216, страница 57.

Условие.

216. Лодка прошла 6 км против течения реки и 12 км по течению, потратив на весь путь 2 ч. Найдите скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения реки составляет 3 км/ч.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть собственная скорость лодки (скорость в стоячей воде) равна $x$ км/ч. Согласно условию задачи, скорость течения реки составляет 3 км/ч.

Тогда скорость лодки при движении по течению реки будет равна сумме собственной скорости и скорости течения: $v_{по~теч.} = (x + 3)$ км/ч.

Скорость лодки при движении против течения реки будет равна разности собственной скорости и скорости течения: $v_{против~теч.} = (x - 3)$ км/ч. Важно отметить, что для движения против течения собственная скорость лодки должна быть больше скорости течения, то есть $x > 3$.

Время, затраченное на путь, вычисляется по формуле $t = S/v$, где $S$ — расстояние, а $v$ — скорость.

Время, которое лодка затратила на путь против течения (6 км), составляет $t_{против~теч.} = \frac{6}{x-3}$ ч.

Время, которое лодка затратила на путь по течению (12 км), составляет $t_{по~теч.} = \frac{12}{x+3}$ ч.

Общее время, потраченное на весь путь, равно 2 часам. Можем составить уравнение, сложив время движения в обоих направлениях:

$\frac{6}{x-3} + \frac{12}{x+3} = 2$

Для решения этого уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(x-3)(x+3)$:

$\frac{6(x+3) + 12(x-3)}{(x-3)(x+3)} = 2$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{6x + 18 + 12x - 36}{x^2 - 9} = 2$

$\frac{18x - 18}{x^2 - 9} = 2$

Теперь умножим обе части уравнения на знаменатель $(x^2 - 9)$, чтобы избавиться от дроби (при условии, что $x \neq \pm 3$):

$18x - 18 = 2(x^2 - 9)$

$18x - 18 = 2x^2 - 18$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:

$2x^2 - 18x = 0$

Вынесем общий множитель $2x$ за скобки:

$2x(x-9) = 0$

Это уравнение имеет два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 9$.

Проанализируем полученные корни. Корень $x_1 = 0$ не соответствует физическому смыслу задачи и нашему ограничению $x > 3$, так как скорость лодки не может быть нулевой, и она не смогла бы двигаться против течения. Корень $x_2 = 9$ удовлетворяет условию $x > 3$.

Сделаем проверку. Если скорость лодки 9 км/ч:

• Время против течения: $\frac{6}{9-3} = \frac{6}{6} = 1$ час.
• Время по течению: $\frac{12}{9+3} = \frac{12}{12} = 1$ час.
• Общее время: $1 + 1 = 2$ часа.

Результат совпадает с условием задачи.

Ответ: 9 км/ч.