Номер 220, страница 58 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 7. Равносильные уравнения. Рациональные уравнения. Глава 1. Рациональные выражения - номер 220, страница 58.

Условие.

220. При каких значениях $ \frac{x+a}{x^2-4} = 0 $ не имеет корней?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Дробно-рациональное уравнение равно нулю тогда и только тогда, когда его числитель равен нулю, а знаменатель при этом отличен от нуля. Таким образом, данное уравнение $\frac{x+a}{x^2-4} = 0$ равносильно системе:

$ \begin{cases} x + a = 0 \\ x^2 - 4 \neq 0 \end{cases} $

Из первого уравнения системы находим потенциальный корень уравнения:

$x + a = 0 \implies x = -a$

Из второго неравенства системы найдем область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$:

$x^2 - 4 \neq 0$

$x^2 \neq 4$

$x \neq 2$ и $x \neq -2$

Уравнение не будет иметь корней, если его единственный потенциальный корень $x = -a$ не входит в область допустимых значений. Это произойдет, если значение $x = -a$ будет равно одному из недопустимых значений, то есть 2 или -2.

Рассмотрим эти два случая:

1. Потенциальный корень $x = -a$ равен 2:

$-a = 2 \implies a = -2$

При $a = -2$ уравнение принимает вид $\frac{x-2}{x^2-4} = 0$. Потенциальный корень $x=2$ не входит в ОДЗ, так как при $x=2$ знаменатель обращается в ноль. Следовательно, решений нет.

2. Потенциальный корень $x = -a$ равен -2:

$-a = -2 \implies a = 2$

При $a = 2$ уравнение принимает вид $\frac{x+2}{x^2-4} = 0$. Потенциальный корень $x=-2$ не входит в ОДЗ, так как при $x=-2$ знаменатель также обращается в ноль. Следовательно, решений нет.

Таким образом, уравнение не имеет корней при $a = -2$ и $a = 2$.

Ответ: $a = -2; 2$.