Номер 214, страница 57 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 7. Равносильные уравнения. Рациональные уравнения. Глава 1. Рациональные выражения - номер 214, страница 57.

Условие.

214. Моторная лодка проплыла 8 км по течению реки и вернулась обратно, потратив на весь путь 54 мин. Найдите скорость течения реки, если собственная скорость лодки равна 18 $\text{км/ч}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть $x$ км/ч — искомая скорость течения реки. Тогда скорость моторной лодки по течению реки равна $(18 + x)$ км/ч, а скорость против течения реки — $(18 - x)$ км/ч. При этом $x$ должен быть меньше 18, так как иначе лодка не смогла бы вернуться обратно.

Время, которое лодка затратила на путь по течению, составляет $t_1 = \frac{S}{v_{по\_течению}} = \frac{8}{18 + x}$ часов.

Время, которое лодка затратила на обратный путь против течения, составляет $t_2 = \frac{S}{v_{против\_течения}} = \frac{8}{18 - x}$ часов.

Общее время, затраченное на весь путь, равно 54 минуты. Переведем это время в часы для согласования единиц измерения:

$54 \text{ мин} = \frac{54}{60} \text{ ч} = \frac{9}{10} \text{ ч}$.

Сумма времени движения по течению и против течения равна общему времени в пути. Составим уравнение:

$\frac{8}{18 + x} + \frac{8}{18 - x} = \frac{9}{10}$

Чтобы решить уравнение, приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(18 + x)(18 - x)$, который по формуле разности квадратов равен $18^2 - x^2 = 324 - x^2$:

$\frac{8(18 - x) + 8(18 + x)}{(18 + x)(18 - x)} = \frac{9}{10}$

$\frac{144 - 8x + 144 + 8x}{324 - x^2} = \frac{9}{10}$

$\frac{288}{324 - x^2} = \frac{9}{10}$

Теперь воспользуемся свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$288 \cdot 10 = 9 \cdot (324 - x^2)$

$2880 = 9(324 - x^2)$

Разделим обе части уравнения на 9:

$320 = 324 - x^2$

Перенесем $x^2$ в левую часть, а 320 — в правую:

$x^2 = 324 - 320$

$x^2 = 4$

Из этого уравнения получаем два корня:

$x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Поскольку скорость течения реки не может быть отрицательной величиной, выбираем положительный корень $x=2$.

Таким образом, скорость течения реки составляет 2 км/ч.

Ответ: 2 км/ч.