Номер 218, страница 58 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение, Вентана-граф
Год издания: 2018 - 2022
Цвет обложки: розовый, фиолетовый, голубой с папками
ISBN: 978-5-360-12162-6
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 8 классе
Упражнения. Параграф 7. Равносильные уравнения. Рациональные уравнения. Глава 1. Рациональные выражения - номер 218, страница 58.
№218 (с. 58)
Условие. №218 (с. 58)
скриншот условия

218. Решите уравнение:
1) $\frac{4y + 24}{5y^2 - 45} + \frac{y + 3}{5y^2 - 15y} = \frac{y - 3}{y^2 + 3y}$
2) $\frac{y + 2}{8y^3 + 1} - \frac{1}{4y + 2} = \frac{y + 3}{8y^2 - 4y + 2}$
Решение 1. №218 (с. 58)


Решение 2. №218 (с. 58)

Решение 3. №218 (с. 58)

Решение 5. №218 (с. 58)

Решение 6. №218 (с. 58)

Решение 7. №218 (с. 58)

Решение 8. №218 (с. 58)
1) $\frac{4y + 24}{5y^2 - 45} + \frac{y + 3}{5y^2 - 15y} = \frac{y - 3}{y^2 + 3y}$
Сначала разложим знаменатели на множители, чтобы найти область допустимых значений (ОДЗ) и наименьший общий знаменатель (НОЗ).
$5y^2 - 45 = 5(y^2 - 9) = 5(y - 3)(y + 3)$
$5y^2 - 15y = 5y(y - 3)$
$y^2 + 3y = y(y + 3)$
ОДЗ: Знаменатели не могут быть равны нулю, поэтому $y \neq 3$, $y \neq -3$, $y \neq 0$.
Наименьший общий знаменатель (НОЗ) равен $5y(y - 3)(y + 3)$. Умножим обе части уравнения на НОЗ, чтобы избавиться от дробей:
$\frac{4y + 24}{5(y - 3)(y + 3)} \cdot 5y(y - 3)(y + 3) + \frac{y + 3}{5y(y - 3)} \cdot 5y(y - 3)(y + 3) = \frac{y - 3}{y(y + 3)} \cdot 5y(y - 3)(y + 3)$
$(4y + 24)y + (y + 3)(y + 3) = 5(y - 3)(y - 3)$
Раскроем скобки и упростим полученное уравнение:
$4y^2 + 24y + (y^2 + 6y + 9) = 5(y^2 - 6y + 9)$
$5y^2 + 30y + 9 = 5y^2 - 30y + 45$
Перенесем все члены с $y$ в одну сторону, а константы — в другую:
$5y^2 - 5y^2 + 30y + 30y = 45 - 9$
$60y = 36$
$y = \frac{36}{60} = \frac{3}{5}$
Полученный корень $y = \frac{3}{5}$ удовлетворяет ОДЗ ($y \neq 0, \pm 3$).
Ответ: $y = \frac{3}{5}$.
2) $\frac{y + 2}{8y^3 + 1} - \frac{1}{4y + 2} = \frac{y + 3}{8y^2 - 4y + 2}$
Разложим знаменатели на множители. Используем формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ для первого знаменателя.
$8y^3 + 1 = (2y)^3 + 1^3 = (2y + 1)(4y^2 - 2y + 1)$
$4y + 2 = 2(2y + 1)$
$8y^2 - 4y + 2 = 2(4y^2 - 2y + 1)$
ОДЗ: Знаменатели не должны равняться нулю.
$2y + 1 \neq 0 \implies y \neq -\frac{1}{2}$.
Выражение $4y^2 - 2y + 1$ всегда больше нуля, так как его дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 4 - 16 = -12 < 0$.
Таким образом, ОДЗ: $y \neq -\frac{1}{2}$.
Перепишем уравнение с разложенными знаменателями:
$\frac{y + 2}{(2y + 1)(4y^2 - 2y + 1)} - \frac{1}{2(2y + 1)} = \frac{y + 3}{2(4y^2 - 2y + 1)}$
Наименьший общий знаменатель (НОЗ) равен $2(2y + 1)(4y^2 - 2y + 1)$. Умножим обе части уравнения на НОЗ:
$2(y + 2) - 1(4y^2 - 2y + 1) = (y + 3)(2y + 1)$
Раскроем скобки:
$2y + 4 - 4y^2 + 2y - 1 = 2y^2 + y + 6y + 3$
Приведем подобные слагаемые:
$-4y^2 + 4y + 3 = 2y^2 + 7y + 3$
Перенесем все члены в правую часть:
$0 = 2y^2 + 4y^2 + 7y - 4y + 3 - 3$
$0 = 6y^2 + 3y$
Вынесем общий множитель за скобки:
$3y(2y + 1) = 0$
Это уравнение имеет два корня:
$3y = 0 \implies y_1 = 0$
$2y + 1 = 0 \implies y_2 = -\frac{1}{2}$
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($y \neq -\frac{1}{2}$).
Корень $y_1 = 0$ удовлетворяет ОДЗ.
Корень $y_2 = -\frac{1}{2}$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при этом значении знаменатель обращается в ноль. Это посторонний корень.
Следовательно, уравнение имеет только одно решение.
Ответ: $y = 0$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 218 расположенного на странице 58 к учебнику 2018 - 2022 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №218 (с. 58), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), учебного пособия издательства Просвещение, Вентана-граф.