Номер 218, страница 58 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 7. Равносильные уравнения. Рациональные уравнения. Упражнения - номер 218, страница 58.

Условие.

218. Решите уравнение:

1) $\frac{4y + 24}{5y^2 - 45} + \frac{y + 3}{5y^2 - 15y} = \frac{y - 3}{y^2 + 3y}$

2) $\frac{y + 2}{8y^3 + 1} - \frac{1}{4y + 2} = \frac{y + 3}{8y^2 - 4y + 2}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $\frac{4y + 24}{5y^2 - 45} + \frac{y + 3}{5y^2 - 15y} = \frac{y - 3}{y^2 + 3y}$

Сначала разложим знаменатели на множители, чтобы найти область допустимых значений (ОДЗ) и наименьший общий знаменатель (НОЗ).

$5y^2 - 45 = 5(y^2 - 9) = 5(y - 3)(y + 3)$

$5y^2 - 15y = 5y(y - 3)$

$y^2 + 3y = y(y + 3)$

ОДЗ: Знаменатели не могут быть равны нулю, поэтому $y \neq 3$, $y \neq -3$, $y \neq 0$.

Наименьший общий знаменатель (НОЗ) равен $5y(y - 3)(y + 3)$. Умножим обе части уравнения на НОЗ, чтобы избавиться от дробей:

$\frac{4y + 24}{5(y - 3)(y + 3)} \cdot 5y(y - 3)(y + 3) + \frac{y + 3}{5y(y - 3)} \cdot 5y(y - 3)(y + 3) = \frac{y - 3}{y(y + 3)} \cdot 5y(y - 3)(y + 3)$

$(4y + 24)y + (y + 3)(y + 3) = 5(y - 3)(y - 3)$

Раскроем скобки и упростим полученное уравнение:

$4y^2 + 24y + (y^2 + 6y + 9) = 5(y^2 - 6y + 9)$

$5y^2 + 30y + 9 = 5y^2 - 30y + 45$

Перенесем все члены с $y$ в одну сторону, а константы — в другую:

$5y^2 - 5y^2 + 30y + 30y = 45 - 9$

$60y = 36$

$y = \frac{36}{60} = \frac{3}{5}$

Полученный корень $y = \frac{3}{5}$ удовлетворяет ОДЗ ($y \neq 0, \pm 3$).

Ответ: $y = \frac{3}{5}$.

2) $\frac{y + 2}{8y^3 + 1} - \frac{1}{4y + 2} = \frac{y + 3}{8y^2 - 4y + 2}$

Разложим знаменатели на множители. Используем формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ для первого знаменателя.

$8y^3 + 1 = (2y)^3 + 1^3 = (2y + 1)(4y^2 - 2y + 1)$

$4y + 2 = 2(2y + 1)$

$8y^2 - 4y + 2 = 2(4y^2 - 2y + 1)$

ОДЗ: Знаменатели не должны равняться нулю.

$2y + 1 \neq 0 \implies y \neq -\frac{1}{2}$.

Выражение $4y^2 - 2y + 1$ всегда больше нуля, так как его дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 4 - 16 = -12 < 0$.

Таким образом, ОДЗ: $y \neq -\frac{1}{2}$.

Перепишем уравнение с разложенными знаменателями:

$\frac{y + 2}{(2y + 1)(4y^2 - 2y + 1)} - \frac{1}{2(2y + 1)} = \frac{y + 3}{2(4y^2 - 2y + 1)}$

Наименьший общий знаменатель (НОЗ) равен $2(2y + 1)(4y^2 - 2y + 1)$. Умножим обе части уравнения на НОЗ:

$2(y + 2) - 1(4y^2 - 2y + 1) = (y + 3)(2y + 1)$

Раскроем скобки:

$2y + 4 - 4y^2 + 2y - 1 = 2y^2 + y + 6y + 3$

Приведем подобные слагаемые:

$-4y^2 + 4y + 3 = 2y^2 + 7y + 3$

Перенесем все члены в правую часть:

$0 = 2y^2 + 4y^2 + 7y - 4y + 3 - 3$

$0 = 6y^2 + 3y$

Вынесем общий множитель за скобки:

$3y(2y + 1) = 0$

Это уравнение имеет два корня:

$3y = 0 \implies y_1 = 0$

$2y + 1 = 0 \implies y_2 = -\frac{1}{2}$

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($y \neq -\frac{1}{2}$).

Корень $y_1 = 0$ удовлетворяет ОДЗ.

Корень $y_2 = -\frac{1}{2}$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при этом значении знаменатель обращается в ноль. Это посторонний корень.

Следовательно, уравнение имеет только одно решение.

Ответ: $y = 0$.