Номер 221, страница 58 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 7. Равносильные уравнения. Рациональные уравнения. Упражнения - номер 221, страница 58.

Условие.

221. При каких значениях $a$ уравнение $\frac{(x-a)(x-3a)}{x+9} = 0$ имеет один корень?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Данное уравнение представляет собой дробь, которая равна нулю. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это приводит к системе условий:

$\begin{cases} (x-a)(x-3a) = 0 \\ x+9 \neq 0 \end{cases}$

Из первого уравнения, $(x-a)(x-3a) = 0$, находим два потенциальных корня. Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$x - a = 0 \implies x_1 = a$

$x - 3a = 0 \implies x_2 = 3a$

Второе условие системы, $x+9 \neq 0$, означает, что $x \neq -9$. Это область допустимых значений (ОДЗ) для нашего уравнения. Любой найденный корень должен удовлетворять этому условию.

Чтобы исходное уравнение имело ровно один корень, необходимо рассмотреть два возможных сценария:

1. Потенциальные корни $x_1$ и $x_2$ совпадают, и их общее значение не равно -9.

2. Потенциальные корни $x_1$ и $x_2$ различны, но один из них равен -9 (и, следовательно, является посторонним корнем), а второй корень отличен от -9.

Рассмотрим первый сценарий. Корни совпадают, если $x_1 = x_2$:

$a = 3a$

$2a = 0$

$a = 0$

Если $a=0$, то оба потенциальных корня равны $x_1 = x_2 = 0$. Проверим этот корень на соответствие ОДЗ: $0 \neq -9$. Условие выполнено. Таким образом, при $a=0$ уравнение имеет ровно один корень $x=0$.

Рассмотрим второй сценарий. Корни $a$ и $3a$ различны (то есть $a \neq 0$), и один из них равен -9.

а) Пусть корень $x_1 = a$ равен -9. То есть $a = -9$.

Тогда второй корень $x_2 = 3a = 3 \cdot (-9) = -27$.

Корень $x_1=-9$ является посторонним, так как не удовлетворяет ОДЗ. Корень $x_2=-27$ удовлетворяет ОДЗ, так как $-27 \neq -9$. Следовательно, при $a=-9$ уравнение имеет ровно один корень $x=-27$.

б) Пусть корень $x_2 = 3a$ равен -9. То есть $3a = -9$.

$a = -3$

Тогда первый корень $x_1 = a = -3$.

Корень $x_2=-9$ является посторонним. Корень $x_1=-3$ удовлетворяет ОДЗ, так как $-3 \neq -9$. Следовательно, при $a=-3$ уравнение имеет ровно один корень $x=-3$.

Объединяя все найденные значения параметра $a$, получаем, что уравнение имеет ровно один корень при $a=0$, $a=-3$ и $a=-9$.

Ответ: $a = -9, -3, 0$.