Номер 224, страница 58 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 7. Равносильные уравнения. Рациональные уравнения. Упражнения - номер 224, страница 58.

Условие.

224. Докажите, что при любом значении переменной (переменных) выражение принимает неотрицательное значение:

1) $(a - 5)^2 - 2(a - 5) + 1$;

2) $(a - b)(a - b - 8) + 16$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1)Чтобы доказать, что выражение $(a - 5)^2 - 2(a - 5) + 1$ принимает неотрицательное значение, преобразуем его.
Сделаем замену переменной. Пусть $x = a - 5$. Тогда выражение примет вид:
$x^2 - 2x + 1$
Это выражение является полным квадратом разности и сворачивается по формуле $(u-v)^2=u^2-2uv+v^2$:
$x^2 - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2 = (x - 1)^2$
Теперь выполним обратную замену, подставив $a - 5$ вместо $x$:
$((a - 5) - 1)^2 = (a - 6)^2$
Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(a - 6)^2 \ge 0$ при любом значении $a$. Это доказывает, что исходное выражение всегда принимает неотрицательное значение.
Ответ: Выражение равно $(a-6)^2$, что всегда $\ge 0$.

2)Чтобы доказать, что выражение $(a - b)(a - b - 8) + 16$ принимает неотрицательное значение, преобразуем его.
Сделаем замену переменной. Пусть $y = a - b$. Тогда выражение можно переписать как:
$y(y - 8) + 16$
Раскроем скобки:
$y^2 - 8y + 16$
Это выражение также является полным квадратом разности:
$y^2 - 2 \cdot y \cdot 4 + 4^2 = (y - 4)^2$
Выполним обратную замену $y = a - b$:
$((a - b) - 4)^2 = (a - b - 4)^2$
Квадрат любого действительного числа является неотрицательным, поэтому $(a - b - 4)^2 \ge 0$ при любых значениях $a$ и $b$. Таким образом, исходное выражение всегда неотрицательно.
Ответ: Выражение равно $(a-b-4)^2$, что всегда $\ge 0$.