Номер 1, страница 62 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. Параграф 8. Степень с целым отрицательным показателем. Глава 1. Рациональные выражения - номер 1, страница 62.

Условие.

1. Чему равно $a^{-n}$ для любого отличного от нуля числа $a$ и натурального числа $n$?

Решение 2.

Решение 8.

1. Выражение $a^{-n}$ представляет собой степень числа $a$ с целым отрицательным показателем. По определению, для любого отличного от нуля числа $a$ (то есть $a \neq 0$) и любого натурального числа $n$ (то есть $n \in \{1, 2, 3, \dots\}$), степень с отрицательным показателем равна числу, обратному степени с таким же, но положительным показателем.

Это определение выражается следующей основной формулой:
$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$

Данное правило обеспечивает согласованность свойств степеней. Например, если мы рассмотрим свойство деления степеней $a^m / a^k = a^{m-k}$ и подставим $m=0$, то получим:
$\frac{a^0}{a^n} = a^{0-n} = a^{-n}$
Так как для любого $a \neq 0$ значение $a^0=1$, мы можем переписать левую часть как $\frac{1}{a^n}$. Приравнивая результаты, мы снова приходим к выводу, что $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

Условие $a \neq 0$ является обязательным, потому что в выражении $\frac{1}{a^n}$ знаменатель $a^n$ обратился бы в ноль, если бы $a=0$. Деление на ноль в математике не определено.

Ответ: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$