Номер 230, страница 59 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 7. Равносильные уравнения. Рациональные уравнения. Упражнения - номер 230, страница 59.

Условие.

230. Существует ли натуральное число, которое при умножении на 2 становится квадратом натурального числа, а при умножении на 3 – кубом натурального числа?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Да, такое натуральное число существует. Чтобы это доказать, достаточно привести хотя бы один пример такого числа. Давайте найдем его.

Обозначим искомое натуральное число через $N$. Согласно условию задачи, для этого числа должны выполняться два условия с некоторыми натуральными числами $a$ и $b$:
1) $2N = a^2$
2) $3N = b^3$

Воспользуемся основной теоремой арифметики, которая гласит, что любое натуральное число больше 1 можно представить в виде произведения простых множителей, причем это представление единственно с точностью до порядка сомножителей.

Чтобы число было полным квадратом, все показатели степеней в его разложении на простые множители должны быть четными.
Чтобы число было полным кубом, все показатели степеней в его разложении на простые множители должны быть кратны 3.

Представим число $N$ в виде разложения на простые множители. Так как в условиях задачи участвуют простые числа 2 и 3, выделим их в разложении $N$:
$N = 2^x \cdot 3^y \cdot k$, где $x$ и $y$ — неотрицательные целые числа, а $k$ — натуральное число, в разложении которого нет множителей 2 и 3.

Рассмотрим первое условие: $2N = a^2$.
$2 \cdot (2^x \cdot 3^y \cdot k) = 2^{x+1} \cdot 3^y \cdot k = a^2$.
Для того чтобы это выражение было полным квадратом, показатели степеней всех его простых множителей должны быть четными. Отсюда получаем:
– показатель степени для 2, равный $x+1$, должен быть четным. Это означает, что $x$ должен быть нечетным.
– показатель степени для 3, равный $y$, должен быть четным.
– все показатели степеней простых множителей в разложении числа $k$ должны быть четными.

Рассмотрим второе условие: $3N = b^3$.
$3 \cdot (2^x \cdot 3^y \cdot k) = 2^x \cdot 3^{y+1} \cdot k = b^3$.
Для того чтобы это выражение было полным кубом, показатели степеней всех его простых множителей должны быть кратны 3. Отсюда получаем:
– показатель степени для 2, равный $x$, должен быть кратен 3.
– показатель степени для 3, равный $y+1$, должен быть кратен 3.
– все показатели степеней простых множителей в разложении числа $k$ должны быть кратны 3.

Теперь объединим все полученные требования к показателям степеней, чтобы найти наименьшее возможное натуральное число $N$:
– для показателя $x$: $x$ должен быть нечетным и одновременно кратным 3. Наименьшее положительное целое число, удовлетворяющее обоим условиям, — это $x=3$.
– для показателя $y$: $y$ должен быть четным, и при этом $y+1$ должно быть кратно 3. Переберем наименьшие неотрицательные четные числа: если $y=0$, то $y+1=1$ (не кратно 3); если $y=2$, то $y+1=3$ (кратно 3). Значит, наименьшее подходящее значение — это $y=2$.
– для показателей степеней простых множителей в разложении $k$: они должны быть одновременно четными и кратными 3, то есть должны быть кратны $\text{НОК}(2, 3) = 6$. Чтобы найти наименьшее $N$, мы можем взять наименьшие возможные значения для этих показателей, то есть 0. Это означает, что $k=1$.

Итак, мы нашли наименьшие возможные значения для показателей степеней: $x=3$, $y=2$, $k=1$. Вычислим $N$:
$N = 2^x \cdot 3^y \cdot k = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 1 = 8 \cdot 9 = 72$.

Проверим, удовлетворяет ли число 72 условиям задачи:
1) $2 \cdot 72 = 144 = 12^2$. Первое условие выполняется.
2) $3 \cdot 72 = 216 = 6^3$. Второе условие выполняется.

Поскольку мы нашли конкретное число, которое удовлетворяет условиям, мы доказали, что такое число существует.

Ответ: Да, существует. Например, число 72.