Номер 230, страница 59 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение, Вентана-граф
Год издания: 2018 - 2022
Цвет обложки: розовый, фиолетовый, голубой с папками
ISBN: 978-5-360-12162-6
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 8 классе
Упражнения. Параграф 7. Равносильные уравнения. Рациональные уравнения. Глава 1. Рациональные выражения - номер 230, страница 59.
№230 (с. 59)
Условие. №230 (с. 59)
скриншот условия

230. Существует ли натуральное число, которое при умножении на 2 становится квадратом натурального числа, а при умножении на 3 – кубом натурального числа?
Решение 1. №230 (с. 59)

Решение 2. №230 (с. 59)

Решение 3. №230 (с. 59)

Решение 5. №230 (с. 59)

Решение 6. №230 (с. 59)


Решение 7. №230 (с. 59)

Решение 8. №230 (с. 59)
Да, такое натуральное число существует. Чтобы это доказать, достаточно привести хотя бы один пример такого числа. Давайте найдем его.
Обозначим искомое натуральное число через $N$. Согласно условию задачи, для этого числа должны выполняться два условия с некоторыми натуральными числами $a$ и $b$:
1) $2N = a^2$
2) $3N = b^3$
Воспользуемся основной теоремой арифметики, которая гласит, что любое натуральное число больше 1 можно представить в виде произведения простых множителей, причем это представление единственно с точностью до порядка сомножителей.
Чтобы число было полным квадратом, все показатели степеней в его разложении на простые множители должны быть четными.
Чтобы число было полным кубом, все показатели степеней в его разложении на простые множители должны быть кратны 3.
Представим число $N$ в виде разложения на простые множители. Так как в условиях задачи участвуют простые числа 2 и 3, выделим их в разложении $N$:
$N = 2^x \cdot 3^y \cdot k$, где $x$ и $y$ — неотрицательные целые числа, а $k$ — натуральное число, в разложении которого нет множителей 2 и 3.
Рассмотрим первое условие: $2N = a^2$.
$2 \cdot (2^x \cdot 3^y \cdot k) = 2^{x+1} \cdot 3^y \cdot k = a^2$.
Для того чтобы это выражение было полным квадратом, показатели степеней всех его простых множителей должны быть четными. Отсюда получаем:
– показатель степени для 2, равный $x+1$, должен быть четным. Это означает, что $x$ должен быть нечетным.
– показатель степени для 3, равный $y$, должен быть четным.
– все показатели степеней простых множителей в разложении числа $k$ должны быть четными.
Рассмотрим второе условие: $3N = b^3$.
$3 \cdot (2^x \cdot 3^y \cdot k) = 2^x \cdot 3^{y+1} \cdot k = b^3$.
Для того чтобы это выражение было полным кубом, показатели степеней всех его простых множителей должны быть кратны 3. Отсюда получаем:
– показатель степени для 2, равный $x$, должен быть кратен 3.
– показатель степени для 3, равный $y+1$, должен быть кратен 3.
– все показатели степеней простых множителей в разложении числа $k$ должны быть кратны 3.
Теперь объединим все полученные требования к показателям степеней, чтобы найти наименьшее возможное натуральное число $N$:
– для показателя $x$: $x$ должен быть нечетным и одновременно кратным 3. Наименьшее положительное целое число, удовлетворяющее обоим условиям, — это $x=3$.
– для показателя $y$: $y$ должен быть четным, и при этом $y+1$ должно быть кратно 3. Переберем наименьшие неотрицательные четные числа: если $y=0$, то $y+1=1$ (не кратно 3); если $y=2$, то $y+1=3$ (кратно 3). Значит, наименьшее подходящее значение — это $y=2$.
– для показателей степеней простых множителей в разложении $k$: они должны быть одновременно четными и кратными 3, то есть должны быть кратны $\text{НОК}(2, 3) = 6$. Чтобы найти наименьшее $N$, мы можем взять наименьшие возможные значения для этих показателей, то есть 0. Это означает, что $k=1$.
Итак, мы нашли наименьшие возможные значения для показателей степеней: $x=3$, $y=2$, $k=1$. Вычислим $N$:
$N = 2^x \cdot 3^y \cdot k = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 1 = 8 \cdot 9 = 72$.
Проверим, удовлетворяет ли число 72 условиям задачи:
1) $2 \cdot 72 = 144 = 12^2$. Первое условие выполняется.
2) $3 \cdot 72 = 216 = 6^3$. Второе условие выполняется.
Поскольку мы нашли конкретное число, которое удовлетворяет условиям, мы доказали, что такое число существует.
Ответ: Да, существует. Например, число 72.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 230 расположенного на странице 59 к учебнику 2018 - 2022 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №230 (с. 59), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), учебного пособия издательства Просвещение, Вентана-граф.