Номер 223, страница 58 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 7. Равносильные уравнения. Рациональные уравнения. Глава 1. Рациональные выражения - номер 223, страница 58.

Условие.

223. Расстояние между двумя станциями электропоезд проходит за 45 мин. Если его скорость увеличить на 10 км/ч, то он пройдёт это расстояние за 40 мин. Чему равно расстояние между станциями?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть $S$ — искомое расстояние между станциями в километрах, а $v$ — первоначальная скорость электропоезда в км/ч.

Время, за которое поезд проходит это расстояние, составляет $t_1 = 45$ минут.

Переведем время из минут в часы, чтобы единицы измерения были согласованы со скоростью: $t_1 = 45 \text{ мин} = \frac{45}{60} \text{ ч} = \frac{3}{4} \text{ ч}$.

Расстояние можно выразить через скорость и время по формуле $S = v \cdot t$. Таким образом, для первого случая имеем: $S = v \cdot \frac{3}{4}$.

По условию, если скорость увеличить на 10 км/ч, то она станет равной $(v + 10)$ км/ч. Поезд пройдет то же расстояние $S$ за новое время $t_2 = 40$ минут.

Переведем новое время в часы: $t_2 = 40 \text{ мин} = \frac{40}{60} \text{ ч} = \frac{2}{3} \text{ ч}$.

Для второго случая уравнение для расстояния будет выглядеть так: $S = (v + 10) \cdot \frac{2}{3}$.

Так как расстояние $S$ в обоих случаях одно и то же, мы можем приравнять правые части двух полученных уравнений, чтобы найти неизвестную скорость $v$: $v \cdot \frac{3}{4} = (v + 10) \cdot \frac{2}{3}$.

Теперь решим это уравнение. Для удобства умножим обе части уравнения на 12 (наименьшее общее кратное чисел 4 и 3), чтобы избавиться от дробей: $12 \cdot \left(v \cdot \frac{3}{4}\right) = 12 \cdot \left((v + 10) \cdot \frac{2}{3}\right)$

$9v = 8(v + 10)$

Раскроем скобки в правой части уравнения: $9v = 8v + 80$

Перенесем слагаемые с $v$ в левую часть: $9v - 8v = 80$

$v = 80$ км/ч.

Мы нашли первоначальную скорость электропоезда. Теперь, чтобы найти расстояние $S$, подставим значение $v = 80$ в любое из двух выражений для $S$. Используем первое: $S = 80 \cdot \frac{3}{4} = 20 \cdot 3 = 60$ км.

Для проверки можно подставить найденную скорость и во второе выражение: $S = (80 + 10) \cdot \frac{2}{3} = 90 \cdot \frac{2}{3} = 30 \cdot 2 = 60$ км.

Оба расчета дают одинаковый результат, значит, расстояние найдено верно.

Ответ: 60 км.