Номер 217, страница 58 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 7. Равносильные уравнения. Рациональные уравнения. Упражнения - номер 217, страница 58.

Условие.

217. Решите уравнение:

1) $\frac{x+5}{x^2-5x} - \frac{x-5}{2x^2+10x} = \frac{x+25}{2x^2-50};$

2) $\frac{2}{x^2-9} - \frac{1}{2x^2-12x+18} = \frac{3}{2x^2+6x};$

3) $\frac{9x+12}{x^3-64} - \frac{1}{x-4} = \frac{1}{x^2+4x+16};$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Исходное уравнение: $\frac{x+5}{x^2 - 5x} - \frac{x-5}{2x^2 + 10x} = \frac{x+25}{2x^2 - 50}$.
Для решения уравнения сначала разложим знаменатели на множители:
$x^2 - 5x = x(x-5)$
$2x^2 + 10x = 2x(x+5)$
$2x^2 - 50 = 2(x^2 - 25) = 2(x-5)(x+5)$
Теперь уравнение имеет вид:
$\frac{x+5}{x(x-5)} - \frac{x-5}{2x(x+5)} = \frac{x+25}{2(x-5)(x+5)}$
Определим область допустимых значений (ОДЗ), исключив значения $x$, при которых знаменатели обращаются в ноль:
$x \neq 0$, $x-5 \neq 0 \implies x \neq 5$, $x+5 \neq 0 \implies x \neq -5$.
Таким образом, ОДЗ: $x \neq -5, x \neq 0, x \neq 5$.
Наименьший общий знаменатель для всех дробей: $2x(x-5)(x+5)$.
Умножим обе части уравнения на общий знаменатель, чтобы избавиться от дробей:
$2(x+5)(x+5) - (x-5)(x-5) = x(x+25)$
Раскроем скобки и упростим выражение:
$2(x^2 + 10x + 25) - (x^2 - 10x + 25) = x^2 + 25x$
$2x^2 + 20x + 50 - x^2 + 10x - 25 = x^2 + 25x$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$x^2 + 30x + 25 = x^2 + 25x$
Вычтем $x^2$ из обеих частей уравнения:
$30x + 25 = 25x$
$30x - 25x = -25$
$5x = -25$
$x = -5$
Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ. Мы определили, что $x \neq -5$. Следовательно, полученный корень является посторонним.
Ответ: корней нет.

2) Исходное уравнение: $\frac{2}{x^2 - 9} - \frac{1}{2x^2 - 12x + 18} = \frac{3}{2x^2 + 6x}$.
Разложим знаменатели на множители:
$x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$ (разность квадратов)
$2x^2 - 12x + 18 = 2(x^2 - 6x + 9) = 2(x-3)^2$ (полный квадрат)
$2x^2 + 6x = 2x(x+3)$
Уравнение принимает вид:
$\frac{2}{(x-3)(x+3)} - \frac{1}{2(x-3)^2} = \frac{3}{2x(x+3)}$
Определим ОДЗ:
$x-3 \neq 0 \implies x \neq 3$
$x+3 \neq 0 \implies x \neq -3$
$x \neq 0$
ОДЗ: $x \neq -3, x \neq 0, x \neq 3$.
Наименьший общий знаменатель: $2x(x-3)^2(x+3)$.
Умножим обе части уравнения на него:
$2 \cdot 2x(x-3) - 1 \cdot x(x+3) = 3 \cdot (x-3)^2$
Раскроем скобки:
$4x^2 - 12x - x^2 - 3x = 3(x^2 - 6x + 9)$
Приведем подобные слагаемые:
$3x^2 - 15x = 3x^2 - 18x + 27$
Вычтем $3x^2$ из обеих частей:
$-15x = -18x + 27$
$18x - 15x = 27$
$3x = 27$
$x = 9$
Найденный корень $x=9$ удовлетворяет ОДЗ ($9 \neq -3, 9 \neq 0, 9 \neq 3$).
Ответ: 9.

3) Исходное уравнение: $\frac{9x+12}{x^3 - 64} - \frac{1}{x-4} = \frac{1}{x^2 + 4x + 16}$.
Разложим знаменатель $x^3 - 64$ по формуле разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$:
$x^3 - 64 = x^3 - 4^3 = (x-4)(x^2 + 4x + 16)$
Подставим в уравнение:
$\frac{9x+12}{(x-4)(x^2 + 4x + 16)} - \frac{1}{x-4} = \frac{1}{x^2 + 4x + 16}$
Определим ОДЗ. Знаменатели не могут быть равны нулю.
$x-4 \neq 0 \implies x \neq 4$.
Квадратный трехчлен $x^2 + 4x + 16$ не имеет действительных корней, так как его дискриминант $D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 16 - 64 = -48 < 0$, и он всегда положителен. Поэтому единственное ограничение - $x \neq 4$.
Наименьший общий знаменатель: $(x-4)(x^2 + 4x + 16)$.
Умножим обе части на него:
$(9x+12) - 1 \cdot (x^2 + 4x + 16) = 1 \cdot (x-4)$
Раскроем скобки:
$9x + 12 - x^2 - 4x - 16 = x - 4$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$-x^2 + 5x - 4 = x - 4$
Перенесем все слагаемые в левую часть:
$-x^2 + 5x - x - 4 + 4 = 0$
$-x^2 + 4x = 0$
Умножим на -1:
$x^2 - 4x = 0$
Вынесем $x$ за скобку:
$x(x-4) = 0$
Отсюда получаем два возможных корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$.
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 4$).
$x_1 = 0$ удовлетворяет ОДЗ.
$x_2 = 4$ не удовлетворяет ОДЗ, является посторонним корнем.
Следовательно, у уравнения один корень.
Ответ: 0.