Номер 212, страница 57 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение, Вентана-граф
Год издания: 2018 - 2022
Цвет обложки: розовый, фиолетовый, голубой с папками
ISBN: 978-5-360-12162-6
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 8 классе
Упражнения. Параграф 7. Равносильные уравнения. Рациональные уравнения. Глава 1. Рациональные выражения - номер 212, страница 57.
№212 (с. 57)
Условие. №212 (с. 57)
скриншот условия

212. Решите уравнение:
1) $\frac{5}{x^2 - 4} + \frac{2x}{x + 2} = 2;$
2) $\frac{2}{6x + 1} + \frac{3}{6x - 1} = \frac{30x + 9}{36x^2 - 1};$
3) $\frac{6x + 14}{x^2 - 9} + \frac{7}{x^2 + 3x} = \frac{6}{x - 3};$
4) $\frac{2y^2 + 5}{1 - y^2} + \frac{y + 1}{y - 1} = \frac{4}{y + 1};$
5) $\frac{2x - 1}{2x + 1} = \frac{2x + 1}{2x - 1} + \frac{4}{1 - 4x^2};$
6) $\frac{7}{(x + 2)(x - 3)} - \frac{4}{(x - 3)^2} = \frac{3}{(x + 2)^2};$
7) $\frac{2x - 1}{x + 4} - \frac{3x - 1}{4 - x} = \frac{6x + 64}{x^2 - 16} + 4;$
8) $\frac{2x - 6}{x^2 - 36} - \frac{x - 3}{x^2 - 6x} - \frac{x - 1}{x^2 + 6x} = 0.$
Решение 1. №212 (с. 57)








Решение 2. №212 (с. 57)

Решение 3. №212 (с. 57)

Решение 5. №212 (с. 57)




Решение 6. №212 (с. 57)



Решение 7. №212 (с. 57)

Решение 8. №212 (с. 57)
1) $\frac{5}{x^2 - 4} + \frac{2x}{x + 2} = 2$
Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не должны равняться нулю: $x^2 - 4 \neq 0$ и $x + 2 \neq 0$. Так как $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$, получаем, что $x \neq 2$ и $x \neq -2$.
Приведем уравнение к общему знаменателю $(x-2)(x+2)$. Для этого умножим все члены уравнения на этот знаменатель:
$5 \cdot 1 + 2x(x-2) = 2(x^2 - 4)$
Раскроем скобки и упростим выражение:
$5 + 2x^2 - 4x = 2x^2 - 8$
Перенесем члены с $x^2$ в одну сторону:
$2x^2 - 2x^2 - 4x = -8 - 5$
$-4x = -13$
$x = \frac{-13}{-4} = \frac{13}{4}$
Корень $x = \frac{13}{4}$ (или $3.25$) удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 2, x \neq -2$).
Ответ: $x = \frac{13}{4}$.
2) $\frac{2}{6x + 1} + \frac{3}{6x - 1} = \frac{30x + 9}{36x^2 - 1}$
ОДЗ: $6x + 1 \neq 0 \implies x \neq -\frac{1}{6}$ и $6x - 1 \neq 0 \implies x \neq \frac{1}{6}$. Знаменатель правой части $36x^2 - 1 = (6x-1)(6x+1)$ включает те же ограничения.
Общий знаменатель: $(6x-1)(6x+1)$. Умножим уравнение на него:
$2(6x - 1) + 3(6x + 1) = 30x + 9$
Раскроем скобки:
$12x - 2 + 18x + 3 = 30x + 9$
Приведем подобные слагаемые:
$30x + 1 = 30x + 9$
$1 = 9$
Получили неверное числовое равенство. Это означает, что уравнение не имеет решений.
Ответ: корней нет.
3) $\frac{6x + 14}{x^2 - 9} + \frac{7}{x^2 + 3x} = \frac{6}{x - 3}$
Разложим знаменатели на множители: $x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$ и $x^2 + 3x = x(x+3)$.
ОДЗ: $x \neq 3, x \neq -3, x \neq 0$.
Общий знаменатель: $x(x-3)(x+3)$. Умножим уравнение на него:
$(6x + 14)x + 7(x - 3) = 6x(x + 3)$
Раскроем скобки:
$6x^2 + 14x + 7x - 21 = 6x^2 + 18x$
$6x^2 + 21x - 21 = 6x^2 + 18x$
$21x - 18x = 21$
$3x = 21$
$x = 7$
Корень $x = 7$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $x = 7$.
4) $\frac{2y^2 + 5}{1 - y^2} + \frac{y + 1}{y - 1} = \frac{4}{y + 1}$
Преобразуем знаменатель $1 - y^2 = -(y^2 - 1) = -(y-1)(y+1)$.
ОДЗ: $y \neq 1, y \neq -1$.
Перепишем уравнение: $-\frac{2y^2 + 5}{(y - 1)(y + 1)} + \frac{y + 1}{y - 1} = \frac{4}{y + 1}$.
Общий знаменатель: $(y-1)(y+1)$. Умножим уравнение на него:
$-(2y^2 + 5) + (y + 1)(y + 1) = 4(y - 1)$
$-2y^2 - 5 + (y+1)^2 = 4y - 4$
$-2y^2 - 5 + y^2 + 2y + 1 = 4y - 4$
$-y^2 + 2y - 4 = 4y - 4$
$-y^2 - 2y = 0$
$-y(y + 2) = 0$
Отсюда получаем два корня: $y_1 = 0$ и $y_2 = -2$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($y \neq 1, y \neq -1$).
Ответ: $y_1 = -2, y_2 = 0$.
5) $\frac{2x - 1}{2x + 1} = \frac{2x + 1}{2x - 1} + \frac{4}{1 - 4x^2}$
Преобразуем знаменатель $1 - 4x^2 = -(4x^2 - 1) = -(2x-1)(2x+1)$.
ОДЗ: $2x+1 \neq 0 \implies x \neq -\frac{1}{2}$ и $2x-1 \neq 0 \implies x \neq \frac{1}{2}$.
Перепишем уравнение: $\frac{2x - 1}{2x + 1} - \frac{2x + 1}{2x - 1} = -\frac{4}{(2x - 1)(2x + 1)}$.
Общий знаменатель: $(2x-1)(2x+1)$. Умножим уравнение на него:
$(2x - 1)^2 - (2x + 1)^2 = -4$
$(4x^2 - 4x + 1) - (4x^2 + 4x + 1) = -4$
$4x^2 - 4x + 1 - 4x^2 - 4x - 1 = -4$
$-8x = -4$
$x = \frac{-4}{-8} = \frac{1}{2}$
Полученный корень $x = \frac{1}{2}$ не входит в ОДЗ. Следовательно, это посторонний корень.
Ответ: корней нет.
6) $\frac{7}{(x + 2)(x - 3)} - \frac{4}{(x - 3)^2} = \frac{3}{(x + 2)^2}$
ОДЗ: $x+2 \neq 0 \implies x \neq -2$ и $x-3 \neq 0 \implies x \neq 3$.
Общий знаменатель: $(x+2)^2(x-3)^2$. Умножим уравнение на него:
$7(x+2)(x-3) - 4(x+2)^2 = 3(x-3)^2$
Раскроем скобки:
$7(x^2 - x - 6) - 4(x^2 + 4x + 4) = 3(x^2 - 6x + 9)$
$7x^2 - 7x - 42 - 4x^2 - 16x - 16 = 3x^2 - 18x + 27$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$3x^2 - 23x - 58 = 3x^2 - 18x + 27$
$-23x - 58 = -18x + 27$
$-58 - 27 = -18x + 23x$
$-85 = 5x$
$x = -17$
Корень $x = -17$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $x = -17$.
7) $\frac{2x - 1}{x + 4} - \frac{3x - 1}{4 - x} = \frac{6x + 64}{x^2 - 16} + 4$
Преобразуем дробь с $4-x$ в знаменателе: $\frac{3x - 1}{4 - x} = -\frac{3x - 1}{x - 4}$. Также $x^2 - 16 = (x-4)(x+4)$.
Уравнение принимает вид: $\frac{2x - 1}{x + 4} + \frac{3x - 1}{x - 4} = \frac{6x + 64}{(x - 4)(x + 4)} + 4$.
ОДЗ: $x \neq -4, x \neq 4$.
Общий знаменатель: $(x-4)(x+4)$. Умножим уравнение на него:
$(2x - 1)(x - 4) + (3x - 1)(x + 4) = 6x + 64 + 4(x^2 - 16)$
$(2x^2 - 8x - x + 4) + (3x^2 + 12x - x - 4) = 6x + 64 + 4x^2 - 64$
$(2x^2 - 9x + 4) + (3x^2 + 11x - 4) = 4x^2 + 6x$
$5x^2 + 2x = 4x^2 + 6x$
$x^2 - 4x = 0$
$x(x - 4) = 0$
Получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$.
Корень $x_1 = 0$ удовлетворяет ОДЗ. Корень $x_2 = 4$ не удовлетворяет ОДЗ, является посторонним.
Ответ: $x = 0$.
8) $\frac{2x - 6}{x^2 - 36} - \frac{x - 3}{x^2 - 6x} - \frac{x - 1}{x^2 + 6x} = 0$
Разложим знаменатели на множители: $x^2 - 36 = (x-6)(x+6)$, $x^2 - 6x = x(x-6)$, $x^2 + 6x = x(x+6)$.
ОДЗ: $x \neq 0, x \neq 6, x \neq -6$.
Общий знаменатель: $x(x-6)(x+6)$. Умножим уравнение на него:
$(2x - 6)x - (x - 3)(x + 6) - (x - 1)(x - 6) = 0$
Раскроем скобки:
$2x^2 - 6x - (x^2 + 6x - 3x - 18) - (x^2 - 6x - x + 6) = 0$
$2x^2 - 6x - (x^2 + 3x - 18) - (x^2 - 7x + 6) = 0$
$2x^2 - 6x - x^2 - 3x + 18 - x^2 + 7x - 6 = 0$
Приведем подобные слагаемые:
$(2x^2 - x^2 - x^2) + (-6x - 3x + 7x) + (18 - 6) = 0$
$0 \cdot x^2 - 2x + 12 = 0$
$-2x = -12$
$x = 6$
Полученный корень $x=6$ не входит в ОДЗ. Следовательно, это посторонний корень.
Ответ: корней нет.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 212 расположенного на странице 57 к учебнику 2018 - 2022 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №212 (с. 57), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), учебного пособия издательства Просвещение, Вентана-граф.