Номер 212, страница 57 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 7. Равносильные уравнения. Рациональные уравнения. Упражнения - номер 212, страница 57.

Условие.

212. Решите уравнение:

1) $\frac{5}{x^2 - 4} + \frac{2x}{x + 2} = 2;$

2) $\frac{2}{6x + 1} + \frac{3}{6x - 1} = \frac{30x + 9}{36x^2 - 1};$

3) $\frac{6x + 14}{x^2 - 9} + \frac{7}{x^2 + 3x} = \frac{6}{x - 3};$

4) $\frac{2y^2 + 5}{1 - y^2} + \frac{y + 1}{y - 1} = \frac{4}{y + 1};$

5) $\frac{2x - 1}{2x + 1} = \frac{2x + 1}{2x - 1} + \frac{4}{1 - 4x^2};$

6) $\frac{7}{(x + 2)(x - 3)} - \frac{4}{(x - 3)^2} = \frac{3}{(x + 2)^2};$

7) $\frac{2x - 1}{x + 4} - \frac{3x - 1}{4 - x} = \frac{6x + 64}{x^2 - 16} + 4;$

8) $\frac{2x - 6}{x^2 - 36} - \frac{x - 3}{x^2 - 6x} - \frac{x - 1}{x^2 + 6x} = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $\frac{5}{x^2 - 4} + \frac{2x}{x + 2} = 2$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не должны равняться нулю: $x^2 - 4 \neq 0$ и $x + 2 \neq 0$. Так как $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$, получаем, что $x \neq 2$ и $x \neq -2$.

Приведем уравнение к общему знаменателю $(x-2)(x+2)$. Для этого умножим все члены уравнения на этот знаменатель:

$5 \cdot 1 + 2x(x-2) = 2(x^2 - 4)$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$5 + 2x^2 - 4x = 2x^2 - 8$

Перенесем члены с $x^2$ в одну сторону:

$2x^2 - 2x^2 - 4x = -8 - 5$

$-4x = -13$

$x = \frac{-13}{-4} = \frac{13}{4}$

Корень $x = \frac{13}{4}$ (или $3.25$) удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 2, x \neq -2$).

Ответ: $x = \frac{13}{4}$.

---

2) $\frac{2}{6x + 1} + \frac{3}{6x - 1} = \frac{30x + 9}{36x^2 - 1}$

ОДЗ: $6x + 1 \neq 0 \implies x \neq -\frac{1}{6}$ и $6x - 1 \neq 0 \implies x \neq \frac{1}{6}$. Знаменатель правой части $36x^2 - 1 = (6x-1)(6x+1)$ включает те же ограничения.

Общий знаменатель: $(6x-1)(6x+1)$. Умножим уравнение на него:

$2(6x - 1) + 3(6x + 1) = 30x + 9$

Раскроем скобки:

$12x - 2 + 18x + 3 = 30x + 9$

Приведем подобные слагаемые:

$30x + 1 = 30x + 9$

$1 = 9$

Получили неверное числовое равенство. Это означает, что уравнение не имеет решений.

Ответ: корней нет.

---

3) $\frac{6x + 14}{x^2 - 9} + \frac{7}{x^2 + 3x} = \frac{6}{x - 3}$

Разложим знаменатели на множители: $x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$ и $x^2 + 3x = x(x+3)$.

ОДЗ: $x \neq 3, x \neq -3, x \neq 0$.

Общий знаменатель: $x(x-3)(x+3)$. Умножим уравнение на него:

$(6x + 14)x + 7(x - 3) = 6x(x + 3)$

Раскроем скобки:

$6x^2 + 14x + 7x - 21 = 6x^2 + 18x$

$6x^2 + 21x - 21 = 6x^2 + 18x$

$21x - 18x = 21$

$3x = 21$

$x = 7$

Корень $x = 7$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x = 7$.

---

4) $\frac{2y^2 + 5}{1 - y^2} + \frac{y + 1}{y - 1} = \frac{4}{y + 1}$

Преобразуем знаменатель $1 - y^2 = -(y^2 - 1) = -(y-1)(y+1)$.

ОДЗ: $y \neq 1, y \neq -1$.

Перепишем уравнение: $-\frac{2y^2 + 5}{(y - 1)(y + 1)} + \frac{y + 1}{y - 1} = \frac{4}{y + 1}$.

Общий знаменатель: $(y-1)(y+1)$. Умножим уравнение на него:

$-(2y^2 + 5) + (y + 1)(y + 1) = 4(y - 1)$

$-2y^2 - 5 + (y+1)^2 = 4y - 4$

$-2y^2 - 5 + y^2 + 2y + 1 = 4y - 4$

$-y^2 + 2y - 4 = 4y - 4$

$-y^2 - 2y = 0$

$-y(y + 2) = 0$

Отсюда получаем два корня: $y_1 = 0$ и $y_2 = -2$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($y \neq 1, y \neq -1$).

Ответ: $y_1 = -2, y_2 = 0$.

---

5) $\frac{2x - 1}{2x + 1} = \frac{2x + 1}{2x - 1} + \frac{4}{1 - 4x^2}$

Преобразуем знаменатель $1 - 4x^2 = -(4x^2 - 1) = -(2x-1)(2x+1)$.

ОДЗ: $2x+1 \neq 0 \implies x \neq -\frac{1}{2}$ и $2x-1 \neq 0 \implies x \neq \frac{1}{2}$.

Перепишем уравнение: $\frac{2x - 1}{2x + 1} - \frac{2x + 1}{2x - 1} = -\frac{4}{(2x - 1)(2x + 1)}$.

Общий знаменатель: $(2x-1)(2x+1)$. Умножим уравнение на него:

$(2x - 1)^2 - (2x + 1)^2 = -4$

$(4x^2 - 4x + 1) - (4x^2 + 4x + 1) = -4$

$4x^2 - 4x + 1 - 4x^2 - 4x - 1 = -4$

$-8x = -4$

$x = \frac{-4}{-8} = \frac{1}{2}$

Полученный корень $x = \frac{1}{2}$ не входит в ОДЗ. Следовательно, это посторонний корень.

Ответ: корней нет.

---

6) $\frac{7}{(x + 2)(x - 3)} - \frac{4}{(x - 3)^2} = \frac{3}{(x + 2)^2}$

ОДЗ: $x+2 \neq 0 \implies x \neq -2$ и $x-3 \neq 0 \implies x \neq 3$.

Общий знаменатель: $(x+2)^2(x-3)^2$. Умножим уравнение на него:

$7(x+2)(x-3) - 4(x+2)^2 = 3(x-3)^2$

Раскроем скобки:

$7(x^2 - x - 6) - 4(x^2 + 4x + 4) = 3(x^2 - 6x + 9)$

$7x^2 - 7x - 42 - 4x^2 - 16x - 16 = 3x^2 - 18x + 27$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$3x^2 - 23x - 58 = 3x^2 - 18x + 27$

$-23x - 58 = -18x + 27$

$-58 - 27 = -18x + 23x$

$-85 = 5x$

$x = -17$

Корень $x = -17$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x = -17$.

---

7) $\frac{2x - 1}{x + 4} - \frac{3x - 1}{4 - x} = \frac{6x + 64}{x^2 - 16} + 4$

Преобразуем дробь с $4-x$ в знаменателе: $\frac{3x - 1}{4 - x} = -\frac{3x - 1}{x - 4}$. Также $x^2 - 16 = (x-4)(x+4)$.

Уравнение принимает вид: $\frac{2x - 1}{x + 4} + \frac{3x - 1}{x - 4} = \frac{6x + 64}{(x - 4)(x + 4)} + 4$.

ОДЗ: $x \neq -4, x \neq 4$.

Общий знаменатель: $(x-4)(x+4)$. Умножим уравнение на него:

$(2x - 1)(x - 4) + (3x - 1)(x + 4) = 6x + 64 + 4(x^2 - 16)$

$(2x^2 - 8x - x + 4) + (3x^2 + 12x - x - 4) = 6x + 64 + 4x^2 - 64$

$(2x^2 - 9x + 4) + (3x^2 + 11x - 4) = 4x^2 + 6x$

$5x^2 + 2x = 4x^2 + 6x$

$x^2 - 4x = 0$

$x(x - 4) = 0$

Получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$.

Корень $x_1 = 0$ удовлетворяет ОДЗ. Корень $x_2 = 4$ не удовлетворяет ОДЗ, является посторонним.

Ответ: $x = 0$.

---

8) $\frac{2x - 6}{x^2 - 36} - \frac{x - 3}{x^2 - 6x} - \frac{x - 1}{x^2 + 6x} = 0$

Разложим знаменатели на множители: $x^2 - 36 = (x-6)(x+6)$, $x^2 - 6x = x(x-6)$, $x^2 + 6x = x(x+6)$.

ОДЗ: $x \neq 0, x \neq 6, x \neq -6$.

Общий знаменатель: $x(x-6)(x+6)$. Умножим уравнение на него:

$(2x - 6)x - (x - 3)(x + 6) - (x - 1)(x - 6) = 0$

Раскроем скобки:

$2x^2 - 6x - (x^2 + 6x - 3x - 18) - (x^2 - 6x - x + 6) = 0$

$2x^2 - 6x - (x^2 + 3x - 18) - (x^2 - 7x + 6) = 0$

$2x^2 - 6x - x^2 - 3x + 18 - x^2 + 7x - 6 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(2x^2 - x^2 - x^2) + (-6x - 3x + 7x) + (18 - 6) = 0$

$0 \cdot x^2 - 2x + 12 = 0$

$-2x = -12$

$x = 6$

Полученный корень $x=6$ не входит в ОДЗ. Следовательно, это посторонний корень.

Ответ: корней нет.