Номер 211, страница 57 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 7. Равносильные уравнения. Рациональные уравнения. Упражнения - номер 211, страница 57.

Условие.

211. Составьте пару равносильных уравнений, каждое из которых:

1) имеет один корень;

2) имеет два корня;

3) имеет бесконечно много корней;

4) не имеет корней.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) имеет один корень;

Равносильные уравнения — это уравнения, множества решений (корней) которых совпадают. Чтобы составить пару равносильных уравнений с одним корнем, необходимо выбрать этот корень и составить два разных по форме, но одинаковых по сути уравнения.

Пусть единственным корнем будет $x = 3$.

Первое уравнение: $x - 3 = 0$. Его корень очевидно равен 3.

Для получения второго, равносильного уравнения, выполним какое-либо равносильное преобразование над первым уравнением. Например, умножим обе его части на 4:

$4(x - 3) = 4 \cdot 0$

$4x - 12 = 0$

Проверим корень второго уравнения: $4x = 12$, откуда $x = 3$.

Так как множества корней обоих уравнений состоят из одного и того же числа 3, эти уравнения равносильны.

Ответ: $x - 3 = 0$ и $4x - 12 = 0$.

---

2) имеет два корня;

Для составления уравнений с двумя корнями удобно использовать квадратные уравнения. Выберем два корня, например, $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Первое уравнение можно составить на основе формулы $(x - x_1)(x - x_2) = 0$:

$(x - 2)(x + 2) = 0$

Используя формулу разности квадратов, получим:

$x^2 - 4 = 0$

Корнями этого уравнения являются $x = \pm 2$.

Второе равносильное уравнение можно получить, перенеся свободный член в правую часть:

$x^2 = 4$

Это уравнение также имеет корни $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$. Следовательно, уравнения равносильны.

Ответ: $x^2 - 4 = 0$ и $x^2 = 4$.

---

3) имеет бесконечно много корней;

Уравнение имеет бесконечно много корней, если оно представляет собой тождество, то есть верное равенство для любого значения переменной.

Составим первое уравнение-тождество, например, раскрыв скобки:

$3(x + 5) = 3x + 15$

При любом значении $x$ левая часть будет равна правой.

Чтобы получить второе равносильное уравнение, можно, например, вычесть $3x$ из обеих частей первого уравнения:

$3(x + 5) - 3x = 3x + 15 - 3x$

$3x + 15 - 3x = 15$

Получаем уравнение $15 = 15$. Хотя в нем нет переменной, оно считается уравнением, решением которого является любое число.

Другой, более наглядный пример пары равносильных уравнений:

Первое уравнение: $0 \cdot x = 0$. Его решением является любое число.

Второе уравнение: $x - x = 0$. Его решением также является любое число.

Поскольку множества решений совпадают (все действительные числа), уравнения равносильны.

Ответ: $0 \cdot x = 0$ и $x - x = 0$.

---

4) не имеет корней.

Уравнение не имеет корней, если в результате преобразований оно сводится к неверному числовому равенству.

Составим первое такое уравнение:

$x = x + 1$

Если вычесть $x$ из обеих частей, получим неверное равенство $0 = 1$. Это означает, что ни одно значение $x$ не может быть решением.

Теперь создадим второе равносильное уравнение. Для этого, например, прибавим 2 к обеим частям первого уравнения:

$x + 2 = (x + 1) + 2$

$x + 2 = x + 3$

Это уравнение также не имеет корней, так как при вычитании $x$ из обеих частей получается неверное равенство $2 = 3$.

Поскольку оба уравнения не имеют корней (множество их решений пусто), они равносильны.

Ответ: $x = x + 1$ и $x + 2 = x + 3$.