Номер 211, страница 57 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение, Вентана-граф
Год издания: 2018 - 2022
Цвет обложки: розовый, фиолетовый, голубой с папками
ISBN: 978-5-360-12162-6
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 8 классе
Упражнения. Параграф 7. Равносильные уравнения. Рациональные уравнения. Глава 1. Рациональные выражения - номер 211, страница 57.
№211 (с. 57)
Условие. №211 (с. 57)
скриншот условия

211. Составьте пару равносильных уравнений, каждое из которых:
1) имеет один корень;
2) имеет два корня;
3) имеет бесконечно много корней;
4) не имеет корней.
Решение 1. №211 (с. 57)




Решение 2. №211 (с. 57)

Решение 3. №211 (с. 57)

Решение 5. №211 (с. 57)

Решение 6. №211 (с. 57)


Решение 7. №211 (с. 57)

Решение 8. №211 (с. 57)
Равносильные уравнения — это уравнения, множества решений (корней) которых совпадают. Чтобы составить пару равносильных уравнений с одним корнем, необходимо выбрать этот корень и составить два разных по форме, но одинаковых по сути уравнения.
Пусть единственным корнем будет $x = 3$.
Первое уравнение: $x - 3 = 0$. Его корень очевидно равен 3.
Для получения второго, равносильного уравнения, выполним какое-либо равносильное преобразование над первым уравнением. Например, умножим обе его части на 4:
$4(x - 3) = 4 \cdot 0$
$4x - 12 = 0$
Проверим корень второго уравнения: $4x = 12$, откуда $x = 3$.
Так как множества корней обоих уравнений состоят из одного и того же числа 3, эти уравнения равносильны.
Ответ: $x - 3 = 0$ и $4x - 12 = 0$.
Для составления уравнений с двумя корнями удобно использовать квадратные уравнения. Выберем два корня, например, $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.
Первое уравнение можно составить на основе формулы $(x - x_1)(x - x_2) = 0$:
$(x - 2)(x + 2) = 0$
Используя формулу разности квадратов, получим:
$x^2 - 4 = 0$
Корнями этого уравнения являются $x = \pm 2$.
Второе равносильное уравнение можно получить, перенеся свободный член в правую часть:
$x^2 = 4$
Это уравнение также имеет корни $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$. Следовательно, уравнения равносильны.
Ответ: $x^2 - 4 = 0$ и $x^2 = 4$.
Уравнение имеет бесконечно много корней, если оно представляет собой тождество, то есть верное равенство для любого значения переменной.
Составим первое уравнение-тождество, например, раскрыв скобки:
$3(x + 5) = 3x + 15$
При любом значении $x$ левая часть будет равна правой.
Чтобы получить второе равносильное уравнение, можно, например, вычесть $3x$ из обеих частей первого уравнения:
$3(x + 5) - 3x = 3x + 15 - 3x$
$3x + 15 - 3x = 15$
Получаем уравнение $15 = 15$. Хотя в нем нет переменной, оно считается уравнением, решением которого является любое число.
Другой, более наглядный пример пары равносильных уравнений:
Первое уравнение: $0 \cdot x = 0$. Его решением является любое число.
Второе уравнение: $x - x = 0$. Его решением также является любое число.
Поскольку множества решений совпадают (все действительные числа), уравнения равносильны.
Ответ: $0 \cdot x = 0$ и $x - x = 0$.
Уравнение не имеет корней, если в результате преобразований оно сводится к неверному числовому равенству.
Составим первое такое уравнение:
$x = x + 1$
Если вычесть $x$ из обеих частей, получим неверное равенство $0 = 1$. Это означает, что ни одно значение $x$ не может быть решением.
Теперь создадим второе равносильное уравнение. Для этого, например, прибавим 2 к обеим частям первого уравнения:
$x + 2 = (x + 1) + 2$
$x + 2 = x + 3$
Это уравнение также не имеет корней, так как при вычитании $x$ из обеих частей получается неверное равенство $2 = 3$.
Поскольку оба уравнения не имеют корней (множество их решений пусто), они равносильны.
Ответ: $x = x + 1$ и $x + 2 = x + 3$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 211 расположенного на странице 57 к учебнику 2018 - 2022 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №211 (с. 57), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), учебного пособия издательства Просвещение, Вентана-граф.