Номер 205, страница 55 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение, Вентана-граф
Год издания: 2018 - 2022
Цвет обложки: розовый, фиолетовый, голубой с папками
ISBN: 978-5-360-12162-6
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 8 классе
Упражнения. Параграф 7. Равносильные уравнения. Рациональные уравнения. Глава 1. Рациональные выражения - номер 205, страница 55.
№205 (с. 55)
Условие. №205 (с. 55)
скриншот условия


205. Истинным или ложным является высказывание:
1) уравнения $x + 2 = 10$ и $3x = 24$ равносильны;
2) уравнения $-2x = -6$ и $\frac{1}{3}x = 1$ равносильны;
3) уравнения $x - 5 = 0$ и $x(x - 5) = 0$ равносильны;
4) уравнения $(3x - 12)(x + 2) = 0$ и $(0,4 - 0,1x)(7x + 14) = 0$ равносильны;
5) уравнения $\frac{6}{x} = 0$ и $x^2 = -4$ равносильны;
6) уравнения $x + 1 = 1 + x$ и $\frac{x^2 + 1}{x^2 + 1} = 1$ равносильны?
Решение 1. №205 (с. 55)






Решение 2. №205 (с. 55)

Решение 3. №205 (с. 55)

Решение 5. №205 (с. 55)

Решение 6. №205 (с. 55)


Решение 7. №205 (с. 55)

Решение 8. №205 (с. 55)
Два уравнения называются равносильными, если множества их корней совпадают. Если оба уравнения не имеют корней, они также считаются равносильными.
1) уравнения $x + 2 = 10$ и $3x = 24$ равносильны;
Решим первое уравнение:
$x + 2 = 10$
$x = 10 - 2$
$x = 8$
Корень первого уравнения: 8.
Решим второе уравнение:
$3x = 24$
$x = \frac{24}{3}$
$x = 8$
Корень второго уравнения: 8.
Множества корней обоих уравнений совпадают: $\{8\}$. Следовательно, уравнения равносильны.
Ответ: высказывание истинно.
2) уравнения $-2x = -6$ и $\frac{1}{3}x = 1$ равносильны;
Решим первое уравнение:
$-2x = -6$
$x = \frac{-6}{-2}$
$x = 3$
Корень первого уравнения: 3.
Решим второе уравнение:
$\frac{1}{3}x = 1$
$x = 1 \cdot 3$
$x = 3$
Корень второго уравнения: 3.
Множества корней обоих уравнений совпадают: $\{3\}$. Следовательно, уравнения равносильны.
Ответ: высказывание истинно.
3) уравнения $x - 5 = 0$ и $x(x - 5) = 0$ равносильны;
Решим первое уравнение:
$x - 5 = 0$
$x = 5$
Множество корней первого уравнения: $\{5\}$.
Решим второе уравнение:
$x(x - 5) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
$x = 0$ или $x - 5 = 0$
$x_1 = 0$, $x_2 = 5$
Множество корней второго уравнения: $\{0, 5\}$.
Множества корней не совпадают. Следовательно, уравнения не являются равносильными.
Ответ: высказывание ложно.
4) уравнения $(3x - 12)(x + 2) = 0$ и $(0,4 - 0,1x)(7x + 14) = 0$ равносильны;
Решим первое уравнение:
$(3x - 12)(x + 2) = 0$
$3x - 12 = 0$ или $x + 2 = 0$
$3x = 12 \implies x_1 = 4$
$x + 2 = 0 \implies x_2 = -2$
Множество корней первого уравнения: $\{-2, 4\}$.
Решим второе уравнение:
$(0,4 - 0,1x)(7x + 14) = 0$
$0,4 - 0,1x = 0$ или $7x + 14 = 0$
$0,1x = 0,4 \implies x_1 = \frac{0,4}{0,1} = 4$
$7x = -14 \implies x_2 = \frac{-14}{7} = -2$
Множество корней второго уравнения: $\{-2, 4\}$.
Множества корней обоих уравнений совпадают. Следовательно, уравнения равносильны.
Ответ: высказывание истинно.
5) уравнения $\frac{6}{x} = 0$ и $x^2 = -4$ равносильны;
Рассмотрим первое уравнение:
$\frac{6}{x} = 0$
Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. В данном случае числитель равен 6, что не равно нулю. Следовательно, это уравнение не имеет корней. Множество корней - пустое множество ($\emptyset$).
Рассмотрим второе уравнение:
$x^2 = -4$
Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, это уравнение также не имеет действительных корней. Множество корней - пустое множество ($\emptyset$).
Поскольку оба уравнения не имеют корней, их множества корней совпадают (оба пусты). Следовательно, уравнения равносильны.
Ответ: высказывание истинно.
6) уравнения $x + 1 = 1 + x$ и $\frac{x^2 + 1}{x^2 + 1} = 1$ равносильны?
Рассмотрим первое уравнение:
$x + 1 = 1 + x$
$x - x = 1 - 1$
$0 = 0$
Это тождество, верное для любого значения $x$. Следовательно, множество его решений - все действительные числа ($\mathbb{R}$).
Рассмотрим второе уравнение:
$\frac{x^2 + 1}{x^2 + 1} = 1$
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что знаменатель не равен нулю: $x^2 + 1 \ne 0$. Так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $x^2 + 1 \ge 1$, и знаменатель никогда не обращается в ноль. ОДЗ - все действительные числа ($\mathbb{R}$).
На всей ОДЗ дробь $\frac{x^2 + 1}{x^2 + 1}$ всегда равна 1. Следовательно, уравнение превращается в тождество $1=1$, верное для любого $x$ из ОДЗ. Множество решений - все действительные числа ($\mathbb{R}$).
Множества решений обоих уравнений совпадают. Следовательно, уравнения равносильны.
Ответ: высказывание истинно.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 205 расположенного на странице 55 к учебнику 2018 - 2022 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №205 (с. 55), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), учебного пособия издательства Просвещение, Вентана-граф.