Номер 205, страница 55 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 7. Равносильные уравнения. Рациональные уравнения. Упражнения - номер 205, страница 55.

Условие.

205. Истинным или ложным является высказывание:

1) уравнения $x + 2 = 10$ и $3x = 24$ равносильны;

2) уравнения $-2x = -6$ и $\frac{1}{3}x = 1$ равносильны;

3) уравнения $x - 5 = 0$ и $x(x - 5) = 0$ равносильны;

4) уравнения $(3x - 12)(x + 2) = 0$ и $(0,4 - 0,1x)(7x + 14) = 0$ равносильны;

5) уравнения $\frac{6}{x} = 0$ и $x^2 = -4$ равносильны;

6) уравнения $x + 1 = 1 + x$ и $\frac{x^2 + 1}{x^2 + 1} = 1$ равносильны?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Два уравнения называются равносильными, если множества их корней совпадают. Если оба уравнения не имеют корней, они также считаются равносильными.

1) уравнения $x + 2 = 10$ и $3x = 24$ равносильны;

Решим первое уравнение:
$x + 2 = 10$
$x = 10 - 2$
$x = 8$
Корень первого уравнения: 8.

Решим второе уравнение:
$3x = 24$
$x = \frac{24}{3}$
$x = 8$
Корень второго уравнения: 8.

Множества корней обоих уравнений совпадают: $\{8\}$. Следовательно, уравнения равносильны.
Ответ: высказывание истинно.

2) уравнения $-2x = -6$ и $\frac{1}{3}x = 1$ равносильны;

Решим первое уравнение:
$-2x = -6$
$x = \frac{-6}{-2}$
$x = 3$
Корень первого уравнения: 3.

Решим второе уравнение:
$\frac{1}{3}x = 1$
$x = 1 \cdot 3$
$x = 3$
Корень второго уравнения: 3.

Множества корней обоих уравнений совпадают: $\{3\}$. Следовательно, уравнения равносильны.
Ответ: высказывание истинно.

3) уравнения $x - 5 = 0$ и $x(x - 5) = 0$ равносильны;

Решим первое уравнение:
$x - 5 = 0$
$x = 5$
Множество корней первого уравнения: $\{5\}$.

Решим второе уравнение:
$x(x - 5) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
$x = 0$ или $x - 5 = 0$
$x_1 = 0$, $x_2 = 5$
Множество корней второго уравнения: $\{0, 5\}$.

Множества корней не совпадают. Следовательно, уравнения не являются равносильными.
Ответ: высказывание ложно.

4) уравнения $(3x - 12)(x + 2) = 0$ и $(0,4 - 0,1x)(7x + 14) = 0$ равносильны;

Решим первое уравнение:
$(3x - 12)(x + 2) = 0$
$3x - 12 = 0$ или $x + 2 = 0$
$3x = 12 \implies x_1 = 4$
$x + 2 = 0 \implies x_2 = -2$
Множество корней первого уравнения: $\{-2, 4\}$.

Решим второе уравнение:
$(0,4 - 0,1x)(7x + 14) = 0$
$0,4 - 0,1x = 0$ или $7x + 14 = 0$
$0,1x = 0,4 \implies x_1 = \frac{0,4}{0,1} = 4$
$7x = -14 \implies x_2 = \frac{-14}{7} = -2$
Множество корней второго уравнения: $\{-2, 4\}$.

Множества корней обоих уравнений совпадают. Следовательно, уравнения равносильны.
Ответ: высказывание истинно.

5) уравнения $\frac{6}{x} = 0$ и $x^2 = -4$ равносильны;

Рассмотрим первое уравнение:
$\frac{6}{x} = 0$
Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. В данном случае числитель равен 6, что не равно нулю. Следовательно, это уравнение не имеет корней. Множество корней - пустое множество ($\emptyset$).

Рассмотрим второе уравнение:
$x^2 = -4$
Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, это уравнение также не имеет действительных корней. Множество корней - пустое множество ($\emptyset$).

Поскольку оба уравнения не имеют корней, их множества корней совпадают (оба пусты). Следовательно, уравнения равносильны.
Ответ: высказывание истинно.

6) уравнения $x + 1 = 1 + x$ и $\frac{x^2 + 1}{x^2 + 1} = 1$ равносильны?

Рассмотрим первое уравнение:
$x + 1 = 1 + x$
$x - x = 1 - 1$
$0 = 0$
Это тождество, верное для любого значения $x$. Следовательно, множество его решений - все действительные числа ($\mathbb{R}$).

Рассмотрим второе уравнение:
$\frac{x^2 + 1}{x^2 + 1} = 1$
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что знаменатель не равен нулю: $x^2 + 1 \ne 0$. Так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $x^2 + 1 \ge 1$, и знаменатель никогда не обращается в ноль. ОДЗ - все действительные числа ($\mathbb{R}$).
На всей ОДЗ дробь $\frac{x^2 + 1}{x^2 + 1}$ всегда равна 1. Следовательно, уравнение превращается в тождество $1=1$, верное для любого $x$ из ОДЗ. Множество решений - все действительные числа ($\mathbb{R}$).

Множества решений обоих уравнений совпадают. Следовательно, уравнения равносильны.
Ответ: высказывание истинно.