Номер 2, страница 55 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. Параграф 7. Равносильные уравнения. Рациональные уравнения. Глава 1. Рациональные выражения - номер 2, страница 55.

Условие.

2. С помощью каких преобразований данного уравнения можно получить уравнение, ему равносильное?

Решение 2.

Решение 8.

Равносильными называются уравнения, которые имеют одинаковые множества корней (или оба не имеют корней). Для того чтобы из данного уравнения получить новое, равносильное ему, можно выполнять следующие преобразования:

1. Перенос слагаемого из одной части уравнения в другую с изменением его знака на противоположный.

Это преобразование является следствием базового свойства равенств: если к обеим частям равенства прибавить (или вычесть) одно и то же число или выражение, то равенство не нарушится. Пример: Уравнение $3x + 8 = 14$ равносильно уравнению $3x = 14 - 8$. Оба уравнения имеют единственный корень $x=2$.

2. Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же отличное от нуля число или выражение.

Ключевым моментом здесь является условие, что число или выражение, на которое производится действие, не равно нулю. Если умножать или делить на выражение, содержащее переменную, необходимо убедиться, что оно не обращается в ноль на области допустимых значений (ОДЗ) исходного уравнения. В противном случае возможно появление посторонних корней или их потеря.Пример: Уравнение $0.5x = 10$ можно умножить на 2 (число, не равное нулю) и получить равносильное уравнение $x = 20$.

3. Выполнение тождественных преобразований в любой из частей уравнения.

К таким преобразованиям относятся упрощения выражений, такие как раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых, применение формул сокращенного умножения, логарифмических или тригонометрических тождеств и т.д. Важно, чтобы эти преобразования не изменяли ОДЗ уравнения.Пример: В уравнении $(x+3)^2 - x^2 = 15$ можно преобразовать левую часть: $x^2 + 6x + 9 - x^2 = 15$. После приведения подобных слагаемых получится равносильное уравнение $6x + 9 = 15$.

Ответ:
Чтобы получить уравнение, равносильное данному, можно выполнять следующие преобразования:
1. Переносить слагаемые из одной части уравнения в другую, изменяя их знак на противоположный.
2. Умножать или делить обе части уравнения на одно и то же отличное от нуля число или на выражение, которое не обращается в ноль на области допустимых значений уравнения.
3. Выполнять тождественные преобразования в левой и/или правой частях уравнения (например, раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых), не изменяющие его область допустимых значений.