Номер 3, страница 55 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. Параграф 7. Равносильные уравнения. Рациональные уравнения. Глава 1. Рациональные выражения - номер 3, страница 55.

Условие.

3. Какое уравнение называют рациональным?

Решение 2.

Решение 8.

Рациональным уравнением называют уравнение вида $f(x) = g(x)$, где $f(x)$ и $g(x)$ являются рациональными выражениями.

Рациональное выражение — это алгебраическое выражение, которое можно представить в виде дроби $\frac{P(x)}{Q(x)}$, где $P(x)$ и $Q(x)$ — многочлены, причём $Q(x)$ не является нулевым многочленом (т.е. не равен нулю тождественно).

Рациональные уравнения принято делить на два вида:

1. Целые рациональные уравнения
Это уравнения, в которых обе части являются целыми выражениями, то есть многочленами. В таких уравнениях отсутствует деление на выражение с переменной.
Примеры:
$2x + 8 = 0$ (линейное уравнение)
$x^2 - 5x + 6 = 0$ (квадратное уравнение)
$x^4 - 13x^2 + 36 = 0$ (биквадратное уравнение)

2. Дробно-рациональные уравнения
Это уравнения, в которых хотя бы одна из частей является дробным выражением, то есть содержит переменную в знаменателе дроби.
Примеры:
$\frac{1}{x} + 2 = 3x$
$\frac{x-2}{x+1} = \frac{x-3}{x-1}$

При решении дробно-рациональных уравнений крайне важно учитывать область допустимых значений (ОДЗ) — множество значений переменной, при которых все знаменатели в уравнении не равны нулю.

Общий подход к решению таких уравнений заключается в приведении их к виду $\frac{P(x)}{Q(x)} = 0$. Такое уравнение равносильно системе: $$ \begin{cases} P(x) = 0 \\ Q(x) \neq 0 \end{cases} $$ Это означает, что нужно найти корни числителя и проверить, удовлетворяют ли они условию ОДЗ (что знаменатель не равен нулю).

Ответ: Рациональное уравнение — это уравнение, в котором левая и правая части являются рациональными выражениями. Они подразделяются на целые (без переменной в знаменателе) и дробно-рациональные (с переменной в знаменателе).