Номер 12, страница 50 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Задание №2 «Проверь себя» в тестовой форме. Глава 1. Рациональные выражения - номер 12, страница 50.

Условие.

12. Упростите выражение $\frac{\frac{1}{a} + \frac{a}{b^2}}{\frac{a}{b^2} - \frac{1}{a}}$

A) $\frac{a^2 + b^2}{a^2 - b^2}$

Б) $\frac{a^2 - b^2}{a^2 + b^2}$

B) $\frac{a^2 + b^2}{ab^2 (a^2 - b^2)}$

Г) $\frac{ab(a^2 + b^2)}{a^2 - b^2}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 8.

Для того чтобы упростить данное выражение, необходимо выполнить действия в числителе и знаменателе, а затем разделить полученные результаты.

Исходное выражение представляет собой сложную дробь:$$ \frac{\frac{1}{a} + \frac{a}{b^2}}{\frac{a}{b^2} - \frac{1}{a}} $$

1. Упростим числитель.
Для сложения дробей $ \frac{1}{a} $ и $ \frac{a}{b^2} $ приведем их к общему знаменателю $ ab^2 $: $$ \frac{1}{a} + \frac{a}{b^2} = \frac{1 \cdot b^2}{a \cdot b^2} + \frac{a \cdot a}{b^2 \cdot a} = \frac{b^2 + a^2}{ab^2} $$

2. Упростим знаменатель.
Для вычитания дробей $ \frac{a}{b^2} $ и $ \frac{1}{a} $ также приведем их к общему знаменателю $ ab^2 $: $$ \frac{a}{b^2} - \frac{1}{a} = \frac{a \cdot a}{b^2 \cdot a} - \frac{1 \cdot b^2}{a \cdot b^2} = \frac{a^2 - b^2}{ab^2} $$

3. Выполним деление.
Подставим упрощенные числитель и знаменатель в исходное выражение. Деление на дробь равносильно умножению на обратную (перевернутую) дробь: $$ \frac{\frac{b^2 + a^2}{ab^2}}{\frac{a^2 - b^2}{ab^2}} = \frac{b^2 + a^2}{ab^2} \cdot \frac{ab^2}{a^2 - b^2} $$ Сократим общий множитель $ ab^2 $ в числителе и знаменателе: $$ \frac{a^2 + b^2}{\cancel{ab^2}} \cdot \frac{\cancel{ab^2}}{a^2 - b^2} = \frac{a^2 + b^2}{a^2 - b^2} $$

Полученный результат $ \frac{a^2 + b^2}{a^2 - b^2} $ совпадает с вариантом ответа А.

Ответ: $\frac{a^2 + b^2}{a^2 - b^2}$