Номер 6, страница 49 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Задание №2 «Проверь себя» в тестовой форме. Глава 1. Рациональные выражения - номер 6, страница 49.

Условие.

6. Представьте в виде дроби выражение $ \frac{n^2 - 3n}{64n^2 - 1} : \frac{n^4 - 27n}{64n^2 + 16n + 1} $

A) $ \frac{8n + 1}{(8n - 1)(n^2 + 3n + 9)} $

B) $ \frac{8n - 1}{(8n + 1)(n^2 + 3n + 9)} $

Б) $ \frac{8n + 1}{(8n - 1)(n^2 - 3n + 9)} $

Г) $ \frac{8n - 1}{(8n + 1)(n^2 - 3n + 9)} $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 8.

Для того чтобы представить данное выражение в виде дроби, необходимо выполнить деление двух рациональных дробей. Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную (перевернутую) дробь.

Исходное выражение:

$$ \frac{n^2 - 3n}{64n^2 - 1} : \frac{n^4 - 27n}{64n^2 + 16n + 1} $$

Заменим деление умножением на обратную дробь:

$$ \frac{n^2 - 3n}{64n^2 - 1} \cdot \frac{64n^2 + 16n + 1}{n^4 - 27n} $$

Теперь разложим на множители каждый числитель и знаменатель, используя формулы сокращенного умножения и вынесение общего множителя за скобки.

1. Числитель первой дроби: $n^2 - 3n = n(n - 3)$

2. Знаменатель первой дроби (формула разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$):
$64n^2 - 1 = (8n)^2 - 1^2 = (8n - 1)(8n + 1)$

3. Числитель второй дроби (формула квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2)$):
$64n^2 + 16n + 1 = (8n)^2 + 2 \cdot 8n \cdot 1 + 1^2 = (8n + 1)^2$

4. Знаменатель второй дроби (вынесение общего множителя и формула разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$):
$n^4 - 27n = n(n^3 - 27) = n(n^3 - 3^3) = n(n - 3)(n^2 + 3n + 9)$

Подставим разложенные выражения обратно в произведение:

$$ \frac{n(n - 3)}{(8n - 1)(8n + 1)} \cdot \frac{(8n + 1)^2}{n(n - 3)(n^2 + 3n + 9)} $$

Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе. Сокращаются множители $n$, $(n-3)$ и одна из скобок $(8n+1)$:

$$ \frac{\cancel{n}\cancel{(n - 3)}}{(8n - 1)\cancel{(8n + 1)}} \cdot \frac{(8n + 1)^{\cancel{2}}}{\cancel{n}\cancel{(n - 3)}(n^2 + 3n + 9)} $$

После сокращения получаем итоговую дробь:

$$ \frac{8n + 1}{(8n - 1)(n^2 + 3n + 9)} $$

Данное выражение соответствует варианту ответа А.

Ответ: А) $\frac{8n + 1}{(8n - 1)(n^2 + 3n + 9)}$