Номер 204, страница 48 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 6. Тождественные преобразования рациональных выражений. Глава 1. Рациональные выражения - номер 204, страница 48.

Условие.

204. На доске написаны многочлены $x + 2$ и $2x + 1$. Разрешается записать сумму, разность или произведение любых двух из уже написанных многочленов. Может ли на доске появиться многочлен $2x^3 + x + 5$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения этой задачи воспользуемся методом инварианта. Идея состоит в том, чтобы найти некоторое свойство, которым обладают исходные многочлены и которое сохраняется (является инвариантным) при выполнении разрешенных операций. Если искомый многочлен этим свойством не обладает, то его получить невозможно.

В качестве такого инвариантного свойства рассмотрим значение многочленов при подстановке $x=1$. Значение любого многочлена $P(x)$ при $x=1$ равно сумме его коэффициентов.

Проверим исходные многочлены $P_1(x) = x + 2$ и $P_2(x) = 2x + 1$: $P_1(1) = 1 + 2 = 3$ $P_2(1) = 2(1) + 1 = 3$ Значения обоих исходных многочленов при $x=1$ равны 3, то есть они кратны 3.

Теперь докажем, что это свойство сохраняется для любого многочлена, который можно получить с помощью разрешенных операций. Пусть на доске есть два многочлена, $A(x)$ и $B(x)$, такие, что их значения при $x=1$ кратны 3. Это можно записать как $A(1) = 3k$ и $B(1) = 3m$ для некоторых целых чисел $k$ и $m$.

Рассмотрим, какими будут значения при $x=1$ для многочленов, полученных в результате операций: Для суммы имеем: $(A+B)(1) = A(1) + B(1) = 3k + 3m = 3(k+m)$. Результат кратен 3. Для разности имеем: $(A-B)(1) = A(1) - B(1) = 3k - 3m = 3(k-m)$. Результат также кратен 3. Для произведения имеем: $(A \cdot B)(1) = A(1) \cdot B(1) = (3k)(3m) = 9km = 3(3km)$. Результат снова кратен 3.

Таким образом, любая операция (сумма, разность или произведение) над многочленами, значение которых при $x=1$ кратно 3, снова дает многочлен с таким же свойством. Это означает, что абсолютно любой многочлен $P(x)$, который может появиться на доске, должен удовлетворять условию: $P(1)$ кратно 3.

Наконец, проверим, выполняется ли это условие для целевого многочлена $Q(x) = 2x^3 + x + 5$. Вычислим его значение при $x=1$: $Q(1) = 2(1)^3 + 1 + 5 = 2 + 1 + 5 = 8$.

Число 8 не делится нацело на 3. Так как значение многочлена $Q(x)$ при $x=1$ не кратно 3, он не обладает инвариантным свойством всех многочленов, которые можно получить на доске. Следовательно, многочлен $2x^3 + x + 5$ появиться на доске не может.

Ответ: нет, многочлен $2x^3 + x + 5$ на доске появиться не может.