Номер 198, страница 47 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 6. Тождественные преобразования рациональных выражений. Упражнения - номер 198, страница 47.

Условие.

198. Из пункта $A$ в пункт $B$ автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, а возвращался из пункта $B$ в пункт $A$ со скоростью 70 км/ч другой дорогой, которая на 15 км короче первой. На обратный путь автомобиль затратил на 30 мин меньше, чем на путь из пункта $A$ в пункт $B$. За какое время он доехал из пункта $A$ в пункт $B$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение

Для решения задачи введем переменную. Пусть искомое время, за которое автомобиль доехал из пункта А в пункт В, равно $t$ часов.

Движение из пункта А в пункт В:

• Скорость: $v_1 = 60$ км/ч.
• Время: $t_1 = t$ ч.
• Расстояние: $S_1 = v_1 \cdot t_1 = 60t$ км.

Движение из пункта В в пункт А:

• Скорость: $v_2 = 70$ км/ч.
• Время: на 30 минут меньше, чем $t_1$. Переведем 30 минут в часы: $30 \text{ мин} = 0.5$ ч. Тогда $t_2 = t - 0.5$ ч.
• Расстояние: $S_2$. По условию, эта дорога на 15 км короче первой, то есть $S_2 = S_1 - 15$.

Мы также можем выразить расстояние $S_2$ через скорость и время для обратного пути: $S_2 = v_2 \cdot t_2 = 70(t - 0.5)$ км.

Теперь у нас есть два выражения для расстояния $S_2$: $S_2 = S_1 - 15$ и $S_2 = 70(t - 0.5)$. Поскольку $S_1 = 60t$, мы можем составить уравнение, приравняв выражения для $S_2$: $S_1 - 15 = 70(t - 0.5)$ $60t - 15 = 70(t - 0.5)$

Решим это уравнение относительно $t$: $60t - 15 = 70t - 70 \cdot 0.5$ $60t - 15 = 70t - 35$ $35 - 15 = 70t - 60t$ $20 = 10t$ $t = \frac{20}{10}$ $t = 2$

Следовательно, время, за которое автомобиль доехал из пункта А в пункт В, составляет 2 часа.

Проверка:

• Время из А в В: $t_1 = 2$ часа.
• Расстояние из А в В: $S_1 = 60 \text{ км/ч} \cdot 2 \text{ ч} = 120$ км.
• Время из В в А: $t_2 = 2 \text{ ч} - 0.5 \text{ ч} = 1.5$ часа.
• Расстояние из В в А: $S_2 = 70 \text{ км/ч} \cdot 1.5 \text{ ч} = 105$ км.
• Разница в расстояниях: $S_1 - S_2 = 120 \text{ км} - 105 \text{ км} = 15$ км.

Все условия задачи выполняются.

Ответ: 2 часа.