Номер 195, страница 47 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 6. Тождественные преобразования рациональных выражений. Упражнения - номер 195, страница 47.

Условие.

195. Докажите, что при любом натуральном $n$ значение выражения $3^{n+2} - 2^{n+2} + 3^n - 2^n$ делится нацело на 10.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для доказательства утверждения преобразуем данное выражение. Сначала сгруппируем слагаемые с одинаковыми основаниями степеней:

$3^{n+2} - 2^{n+2} + 3^n - 2^n = (3^{n+2} + 3^n) - (2^{n+2} + 2^n)$

Теперь воспользуемся свойством степеней $a^{m+k} = a^m \cdot a^k$ и вынесем общий множитель за скобки в каждой из двух групп.

Для первой группы с основанием 3:

$3^{n+2} + 3^n = 3^n \cdot 3^2 + 3^n = 3^n(3^2 + 1) = 3^n(9 + 1) = 10 \cdot 3^n$

Для второй группы с основанием 2:

$2^{n+2} + 2^n = 2^n \cdot 2^2 + 2^n = 2^n(2^2 + 1) = 2^n(4 + 1) = 5 \cdot 2^n$

Подставим полученные результаты обратно в исходное выражение:

$(3^{n+2} + 3^n) - (2^{n+2} + 2^n) = 10 \cdot 3^n - 5 \cdot 2^n$

Чтобы доказать делимость на 10, нужно показать, что каждый член выражения делится на 10. Первый член, $10 \cdot 3^n$, очевидно делится на 10. Рассмотрим второй член, $5 \cdot 2^n$.

Поскольку по условию $n$ — натуральное число, то $n \ge 1$. Это значит, что мы можем выделить множитель 2 в члене $2^n$:

$2^n = 2 \cdot 2^{n-1}$

Тогда второй член выражения преобразуется к виду:

$5 \cdot 2^n = 5 \cdot (2 \cdot 2^{n-1}) = (5 \cdot 2) \cdot 2^{n-1} = 10 \cdot 2^{n-1}$

Таким образом, второй член также делится на 10.

Теперь все выражение можно представить в виде:

$10 \cdot 3^n - 10 \cdot 2^{n-1} = 10(3^n - 2^{n-1})$

Так как $n$ — натуральное число ($n \ge 1$), то $n-1$ является целым неотрицательным числом ($n-1 \ge 0$). Следовательно, $3^n$ и $2^{n-1}$ являются целыми числами, и их разность $(3^n - 2^{n-1})$ также является целым числом. Поскольку исходное выражение равно произведению 10 на целое число, оно делится нацело на 10 при любом натуральном $n$.

Ответ: Утверждение доказано. Исходное выражение было преобразовано к виду $10(3^n - 2^{n-1})$, который очевидно делится на 10 для любого натурального $n$.