Номер 195, страница 47 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение, Вентана-граф
Год издания: 2018 - 2022
Цвет обложки: розовый, фиолетовый, голубой с папками
ISBN: 978-5-360-12162-6
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 8 классе
Упражнения. Параграф 6. Тождественные преобразования рациональных выражений. Глава 1. Рациональные выражения - номер 195, страница 47.
№195 (с. 47)
Условие. №195 (с. 47)
скриншот условия

195. Докажите, что при любом натуральном $n$ значение выражения $3^{n+2} - 2^{n+2} + 3^n - 2^n$ делится нацело на 10.
Решение 1. №195 (с. 47)

Решение 2. №195 (с. 47)

Решение 3. №195 (с. 47)

Решение 4. №195 (с. 47)

Решение 5. №195 (с. 47)

Решение 6. №195 (с. 47)

Решение 7. №195 (с. 47)

Решение 8. №195 (с. 47)
Для доказательства утверждения преобразуем данное выражение. Сначала сгруппируем слагаемые с одинаковыми основаниями степеней:
$3^{n+2} - 2^{n+2} + 3^n - 2^n = (3^{n+2} + 3^n) - (2^{n+2} + 2^n)$
Теперь воспользуемся свойством степеней $a^{m+k} = a^m \cdot a^k$ и вынесем общий множитель за скобки в каждой из двух групп.
Для первой группы с основанием 3:
$3^{n+2} + 3^n = 3^n \cdot 3^2 + 3^n = 3^n(3^2 + 1) = 3^n(9 + 1) = 10 \cdot 3^n$
Для второй группы с основанием 2:
$2^{n+2} + 2^n = 2^n \cdot 2^2 + 2^n = 2^n(2^2 + 1) = 2^n(4 + 1) = 5 \cdot 2^n$
Подставим полученные результаты обратно в исходное выражение:
$(3^{n+2} + 3^n) - (2^{n+2} + 2^n) = 10 \cdot 3^n - 5 \cdot 2^n$
Чтобы доказать делимость на 10, нужно показать, что каждый член выражения делится на 10. Первый член, $10 \cdot 3^n$, очевидно делится на 10. Рассмотрим второй член, $5 \cdot 2^n$.
Поскольку по условию $n$ — натуральное число, то $n \ge 1$. Это значит, что мы можем выделить множитель 2 в члене $2^n$:
$2^n = 2 \cdot 2^{n-1}$
Тогда второй член выражения преобразуется к виду:
$5 \cdot 2^n = 5 \cdot (2 \cdot 2^{n-1}) = (5 \cdot 2) \cdot 2^{n-1} = 10 \cdot 2^{n-1}$
Таким образом, второй член также делится на 10.
Теперь все выражение можно представить в виде:
$10 \cdot 3^n - 10 \cdot 2^{n-1} = 10(3^n - 2^{n-1})$
Так как $n$ — натуральное число ($n \ge 1$), то $n-1$ является целым неотрицательным числом ($n-1 \ge 0$). Следовательно, $3^n$ и $2^{n-1}$ являются целыми числами, и их разность $(3^n - 2^{n-1})$ также является целым числом. Поскольку исходное выражение равно произведению 10 на целое число, оно делится нацело на 10 при любом натуральном $n$.
Ответ: Утверждение доказано. Исходное выражение было преобразовано к виду $10(3^n - 2^{n-1})$, который очевидно делится на 10 для любого натурального $n$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 195 расположенного на странице 47 к учебнику 2018 - 2022 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №195 (с. 47), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), учебного пособия издательства Просвещение, Вентана-граф.