Номер 189, страница 46 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 6. Тождественные преобразования рациональных выражений. Глава 1. Рациональные выражения - номер 189, страница 46.

Условие.

189. Упростите выражение:

$(\left( \frac{18y^2 + 3y}{27y^3 - 1} - \frac{3y + 1}{9y^2 + 3y + 1} \right) : \left( 1 - \frac{3y - 1}{y} - \frac{5 - 6y}{3y - 1} \right))$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для упрощения данного выражения выполним действия по порядку. Сначала преобразуем выражения в каждой из скобок, а затем выполним деление.

1. Упростим выражение в первой скобке: $ \frac{18y^2 + 3y}{27y^3 - 1} - \frac{3y + 1}{9y^2 + 3y + 1} $

Сначала разложим на множители знаменатель первой дроби, используя формулу разности кубов $ a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) $:

$ 27y^3 - 1 = (3y)^3 - 1^3 = (3y - 1)(9y^2 + 3y + 1) $

Теперь мы видим, что общий знаменатель для дробей в скобке — это $ (3y - 1)(9y^2 + 3y + 1) $. Приведем вторую дробь к этому знаменателю, домножив ее числитель и знаменатель на $ (3y - 1) $:

$ \frac{18y^2 + 3y}{(3y - 1)(9y^2 + 3y + 1)} - \frac{(3y + 1)(3y - 1)}{(9y^2 + 3y + 1)(3y - 1)} $

В числителе второй дроби применим формулу разности квадратов $ (a+b)(a-b)=a^2-b^2 $. Затем выполним вычитание дробей:

$ \frac{18y^2 + 3y - (9y^2 - 1)}{(3y - 1)(9y^2 + 3y + 1)} = \frac{18y^2 + 3y - 9y^2 + 1}{(3y - 1)(9y^2 + 3y + 1)} = \frac{9y^2 + 3y + 1}{(3y - 1)(9y^2 + 3y + 1)} $

Сократим дробь на общий множитель $ (9y^2 + 3y + 1) $:

$ \frac{1}{3y - 1} $

2. Упростим выражение во второй скобке: $ 1 - \frac{3y - 1}{y} - \frac{5 - 6y}{3y - 1} $

Приведем все слагаемые к общему знаменателю $ y(3y - 1) $:

$ \frac{1 \cdot y(3y - 1)}{y(3y - 1)} - \frac{(3y - 1)(3y - 1)}{y(3y - 1)} - \frac{y(5 - 6y)}{y(3y - 1)} $

Запишем все под одной дробной чертой и раскроем скобки в числителе:

$ \frac{y(3y - 1) - (3y - 1)^2 - y(5 - 6y)}{y(3y - 1)} = \frac{(3y^2 - y) - (9y^2 - 6y + 1) - (5y - 6y^2)}{y(3y - 1)} $

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе:

$ \frac{3y^2 - y - 9y^2 + 6y - 1 - 5y + 6y^2}{y(3y - 1)} = \frac{(3y^2 - 9y^2 + 6y^2) + (-y + 6y - 5y) - 1}{y(3y - 1)} = \frac{-1}{y(3y - 1)} $

3. Выполним деление

Теперь разделим результат, полученный в первом действии, на результат второго действия:

$ (\frac{1}{3y - 1}) : (\frac{-1}{y(3y - 1)}) $

Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь:

$ \frac{1}{3y - 1} \cdot \frac{y(3y - 1)}{-1} $

Сократим общий множитель $ (3y - 1) $:

$ \frac{1}{\cancel{3y - 1}} \cdot \frac{y(\cancel{3y - 1})}{-1} = \frac{y}{-1} = -y $

Ответ: $-y$