Номер 182, страница 45 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 6. Тождественные преобразования рациональных выражений. Глава 1. Рациональные выражения - номер 182, страница 45.

Условие.

182. Докажите тождество:

1) $(\frac{ab}{a^2 - b^2} + \frac{b}{2b - 2a}) : \frac{2b}{a^2 - b^2} = \frac{a - b}{4};$

2) $(\frac{8a}{4 - a^2} - \frac{a - 2}{a + 2}) : (\frac{a + 2}{a} + \frac{2}{a - 2}) = -1;$

3) $(\frac{3}{36 - c^2} + \frac{1}{c^2 - 12c + 36}) \cdot \frac{(c - 6)^2}{2} + \frac{3c}{c + 6} = 2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Чтобы доказать тождество, преобразуем его левую часть, выполняя действия по порядку. Сначала упростим выражение в скобках.

1. Разложим знаменатели на множители:

$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$

$2b - 2a = 2(b - a) = -2(a - b)$

2. Выполним сложение дробей в скобках:

$\frac{ab}{a^2 - b^2} + \frac{b}{2b - 2a} = \frac{ab}{(a - b)(a + b)} + \frac{b}{-2(a - b)} = \frac{ab}{(a - b)(a + b)} - \frac{b}{2(a - b)}$

Приведем дроби к общему знаменателю $2(a - b)(a + b)$:

$\frac{2 \cdot ab}{2(a - b)(a + b)} - \frac{b \cdot (a + b)}{2(a - b)(a + b)} = \frac{2ab - ab - b^2}{2(a - b)(a + b)} = \frac{ab - b^2}{2(a - b)(a + b)}$

Вынесем общий множитель $b$ в числителе и сократим дробь:

$\frac{b(a - b)}{2(a - b)(a + b)} = \frac{b}{2(a + b)}$

3. Теперь выполним деление:

$(\frac{b}{2(a + b)}) : \frac{2b}{a^2 - b^2} = \frac{b}{2(a + b)} \cdot \frac{a^2 - b^2}{2b} = \frac{b}{2(a + b)} \cdot \frac{(a - b)(a + b)}{2b}$

Сократим общие множители $b$ и $(a + b)$:

$\frac{a - b}{2 \cdot 2} = \frac{a - b}{4}$

Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2)

Преобразуем левую часть тождества по действиям.

1. Упростим выражение в скобках. Для этого разложим знаменатель $4 - a^2$ на множители: $4 - a^2 = (2 - a)(2 + a) = -(a - 2)(a + 2)$.

$\frac{8a}{4 - a^2} - \frac{a - 2}{a + 2} = \frac{8a}{-(a - 2)(a + 2)} - \frac{a - 2}{a + 2} = -\frac{8a}{(a - 2)(a + 2)} - \frac{(a - 2)^2}{(a - 2)(a + 2)}$

Объединим дроби и раскроем скобки в числителе:

$\frac{-8a - (a^2 - 4a + 4)}{(a - 2)(a + 2)} = \frac{-8a - a^2 + 4a - 4}{(a - 2)(a + 2)} = \frac{-a^2 - 4a - 4}{(a - 2)(a + 2)}$

Вынесем $-1$ в числителе и свернем его по формуле квадрата суммы:

$\frac{-(a^2 + 4a + 4)}{(a - 2)(a + 2)} = \frac{-(a + 2)^2}{(a - 2)(a + 2)} = \frac{-(a + 2)}{a - 2}$

2. Выполним деление:

$\frac{-(a + 2)}{a - 2} : \frac{a + 2}{a} = \frac{-(a + 2)}{a - 2} \cdot \frac{a}{a + 2} = \frac{-a}{a - 2}$

3. Выполним сложение:

$\frac{-a}{a - 2} + \frac{2}{a - 2} = \frac{-a + 2}{a - 2} = \frac{-(a - 2)}{a - 2} = -1$

Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

3)

Преобразуем левую часть тождества по действиям.

1. Упростим выражение в скобках. Разложим знаменатели на множители:

$36 - c^2 = (6 - c)(6 + c) = -(c - 6)(c + 6)$

$c^2 - 12c + 36 = (c - 6)^2$

Подставим и приведем к общему знаменателю $(c - 6)^2(c + 6)$:

$\frac{3}{-(c - 6)(c + 6)} + \frac{1}{(c - 6)^2} = \frac{-3(c - 6)}{(c - 6)^2(c + 6)} + \frac{c + 6}{(c - 6)^2(c + 6)}$

Сложим числители:

$\frac{-3c + 18 + c + 6}{(c - 6)^2(c + 6)} = \frac{-2c + 24}{(c - 6)^2(c + 6)}$

2. Выполним умножение:

$\frac{-2c + 24}{(c - 6)^2(c + 6)} \cdot \frac{(c - 6)^2}{2}$

Сократим на $(c - 6)^2$:

$\frac{-2c + 24}{c + 6} \cdot \frac{1}{2}$

Вынесем 2 в числителе и сократим:

$\frac{2(-c + 12)}{c + 6} \cdot \frac{1}{2} = \frac{12 - c}{c + 6}$

3. Выполним сложение:

$\frac{12 - c}{c + 6} + \frac{3c}{c + 6} = \frac{12 - c + 3c}{c + 6} = \frac{12 + 2c}{c + 6}$

Вынесем 2 в числителе и сократим:

$\frac{2(6 + c)}{c + 6} = 2$

Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.