Номер 181, страница 45 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 6. Тождественные преобразования рациональных выражений. Упражнения - номер 181, страница 45.

Условие.

181. Упростите выражение:

1) $ \frac{x^2 + 14x + 49}{x + 6} : \left( \frac{13}{x + 6} - x + 6 \right); $

2) $ \left( c - \frac{2c - 9}{c + 8} \right) : \frac{c^2 + 3c}{c^2 - 64} + \frac{24}{c}; $

3) $ \left( \frac{36}{x^2 - 9} - \frac{x - 3}{x + 3} - \frac{3 + x}{3 - x} \right) : \frac{6}{3 - x}; $

4) $ \left( \frac{2y - 1}{y^2 + 2y + 4} + \frac{9y + 6}{y^3 - 8} + \frac{1}{y - 2} \right) \cdot \frac{y^2 - 4}{18}; $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Упростим выражение $\frac{x^2 + 14x + 49}{x + 6} : \left(\frac{13}{x + 6} - x + 6\right)$.

Сначала преобразуем числитель первой дроби и выражение в скобках.

Числитель первой дроби является полным квадратом: $x^2 + 14x + 49 = (x + 7)^2$.

Теперь упростим выражение в скобках, приведя его к общему знаменателю $x + 6$:
$\frac{13}{x + 6} - x + 6 = \frac{13}{x + 6} - (x - 6) = \frac{13 - (x - 6)(x + 6)}{x + 6} = \frac{13 - (x^2 - 36)}{x + 6} = \frac{13 - x^2 + 36}{x + 6} = \frac{49 - x^2}{x + 6}$.
Числитель $49 - x^2$ можно разложить по формуле разности квадратов: $49 - x^2 = (7 - x)(7 + x)$.

Теперь выполним деление:
$\frac{(x + 7)^2}{x + 6} : \frac{(7 - x)(7 + x)}{x + 6} = \frac{(x + 7)^2}{x + 6} \cdot \frac{x + 6}{(7 - x)(7 + x)}$.

Сокращаем общие множители $(x+6)$ и $(x+7)$:
$\frac{(x + 7)(x+7)}{1} \cdot \frac{1}{(7 - x)(x+7)} = \frac{x + 7}{7 - x}$.

Ответ: $\frac{x+7}{7-x}$.

2) Упростим выражение $\left(c - \frac{2c - 9}{c + 8}\right) : \frac{c^2 + 3c}{c^2 - 64} + \frac{24}{c}$.

Выполним действия по порядку. Сначала действие в скобках:
$c - \frac{2c - 9}{c + 8} = \frac{c(c + 8) - (2c - 9)}{c + 8} = \frac{c^2 + 8c - 2c + 9}{c + 8} = \frac{c^2 + 6c + 9}{c + 8} = \frac{(c + 3)^2}{c + 8}$.

Теперь выполним деление. Разложим делитель на множители: $\frac{c^2 + 3c}{c^2 - 64} = \frac{c(c + 3)}{(c - 8)(c + 8)}$.
$\frac{(c + 3)^2}{c + 8} : \frac{c(c + 3)}{(c - 8)(c + 8)} = \frac{(c + 3)^2}{c + 8} \cdot \frac{(c - 8)(c + 8)}{c(c + 3)}$.

Сокращаем общие множители $(c+8)$ и $(c+3)$:
$\frac{c + 3}{1} \cdot \frac{c - 8}{c} = \frac{(c + 3)(c - 8)}{c}$.

Наконец, выполним сложение:
$\frac{(c + 3)(c - 8)}{c} + \frac{24}{c} = \frac{c^2 - 8c + 3c - 24 + 24}{c} = \frac{c^2 - 5c}{c}$.

Вынесем $c$ за скобки в числителе и сократим дробь:
$\frac{c(c - 5)}{c} = c - 5$.

Ответ: $c - 5$.

3) Упростим выражение $\left(\frac{36}{x^2 - 9} - \frac{x - 3}{x + 3} - \frac{3 + x}{3 - x}\right) : \frac{6}{3 - x}$.

Сначала преобразуем выражение в скобках. Заметим, что $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$ и $3 - x = -(x - 3)$.
$\frac{36}{(x - 3)(x + 3)} - \frac{x - 3}{x + 3} - \frac{x + 3}{-(x - 3)} = \frac{36}{(x - 3)(x + 3)} - \frac{x - 3}{x + 3} + \frac{x + 3}{x - 3}$.

Приведем дроби к общему знаменателю $(x - 3)(x + 3)$:
$\frac{36 - (x - 3)(x - 3) + (x + 3)(x + 3)}{(x - 3)(x + 3)} = \frac{36 - (x - 3)^2 + (x + 3)^2}{(x - 3)(x + 3)}$.

Раскроем скобки в числителе:
$36 - (x^2 - 6x + 9) + (x^2 + 6x + 9) = 36 - x^2 + 6x - 9 + x^2 + 6x + 9 = 36 + 12x = 12(3 + x)$.

Выражение в скобках равно: $\frac{12(x + 3)}{(x - 3)(x + 3)} = \frac{12}{x - 3}$.

Теперь выполним деление:
$\frac{12}{x - 3} : \frac{6}{3 - x} = \frac{12}{x - 3} \cdot \frac{3 - x}{6} = \frac{12}{x - 3} \cdot \frac{-(x - 3)}{6}$.

Сокращаем общие множители $(x-3)$ и числа:
$\frac{12 \cdot (-1)}{6} = \frac{-12}{6} = -2$.

Ответ: -2.

4) Упростим выражение $\left(\frac{2y - 1}{y^2 + 2y + 4} + \frac{9y + 6}{y^3 - 8} + \frac{1}{y - 2}\right) \cdot \frac{y^2 - 4}{18}$.

Разложим знаменатель $y^3 - 8$ по формуле разности кубов: $y^3 - 8 = (y - 2)(y^2 + 2y + 4)$. Это будет общий знаменатель для выражения в скобках.

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю:
$\frac{(2y - 1)(y - 2)}{(y - 2)(y^2 + 2y + 4)} + \frac{9y + 6}{(y - 2)(y^2 + 2y + 4)} + \frac{y^2 + 2y + 4}{(y - 2)(y^2 + 2y + 4)}$.

Сложим числители:
$\frac{(2y - 1)(y - 2) + 9y + 6 + y^2 + 2y + 4}{(y - 2)(y^2 + 2y + 4)}$.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе:
$2y^2 - 4y - y + 2 + 9y + 6 + y^2 + 2y + 4 = (2y^2 + y^2) + (-4y - y + 9y + 2y) + (2 + 6 + 4) = 3y^2 + 6y + 12$.

Вынесем общий множитель 3: $3(y^2 + 2y + 4)$.

Выражение в скобках равно: $\frac{3(y^2 + 2y + 4)}{(y - 2)(y^2 + 2y + 4)} = \frac{3}{y - 2}$.

Теперь выполним умножение. Разложим $y^2-4$ на множители: $y^2-4=(y-2)(y+2)$.
$\frac{3}{y - 2} \cdot \frac{y^2 - 4}{18} = \frac{3}{y - 2} \cdot \frac{(y - 2)(y + 2)}{18}$.

Сокращаем общие множители $(y-2)$ и числа:
$\frac{3(y + 2)}{18} = \frac{y + 2}{6}$.

Ответ: $\frac{y+2}{6}$.