Номер 178, страница 44 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 6. Тождественные преобразования рациональных выражений. Упражнения - номер 178, страница 44.

Условие.

178. Выполните действия:

1) $ \frac{a+2}{a^2-2a+1} : \frac{a^2-4}{3a-3} - \frac{3}{a-2} $;

2) $ \frac{b^2+3b}{b^3+9b} \cdot \left(\frac{b-3}{b+3} + \frac{b+3}{b-3}\right) $;

3) $ \left(\frac{3c+1}{3c-1} - \frac{3c-1}{3c+1}\right) : \frac{2c}{6c+2} $;

4) $ \left(\frac{1}{a^2-4ab+4b^2} - \frac{1}{4b^2-a^2}\right) : \frac{2a}{a^2-4b^2} $;

5) $ \left(\frac{a-8}{a^2-10a+25} - \frac{a}{a^2-25}\right) : \frac{a-20}{(a-5)^2} $;

6) $ \left(\frac{2x+1}{x^2+6x+9} - \frac{x-2}{x^2+3x}\right) : \frac{x^2+6}{x^3-9x} $;

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Выполним действия по порядку: сначала деление, затем вычитание.
Первое действие (деление): $ \frac{a+2}{a^2-2a+1} : \frac{a^2-4}{3a-3} $.
Разложим числители и знаменатели на множители:
$ a^2-2a+1 = (a-1)^2 $
$ a^2-4 = (a-2)(a+2) $
$ 3a-3 = 3(a-1) $
Заменяем деление умножением на обратную дробь:
$ \frac{a+2}{(a-1)^2} \cdot \frac{3(a-1)}{(a-2)(a+2)} $
Сокращаем общие множители $ (a+2) $ и $ (a-1) $:
$ \frac{\cancel{a+2}}{(a-1)^{\cancel{2}}} \cdot \frac{3\cancel{(a-1)}}{(a-2)\cancel{(a+2)}} = \frac{3}{(a-1)(a-2)} $
Второе действие (вычитание): $ \frac{3}{(a-1)(a-2)} - \frac{3}{a-2} $.
Приведем дроби к общему знаменателю $ (a-1)(a-2) $:
$ \frac{3}{(a-1)(a-2)} - \frac{3(a-1)}{(a-1)(a-2)} = \frac{3 - 3(a-1)}{(a-1)(a-2)} $
Раскроем скобки в числителе и упростим:
$ \frac{3 - 3a + 3}{(a-1)(a-2)} = \frac{6 - 3a}{(a-1)(a-2)} $
Вынесем общий множитель в числителе:
$ \frac{-3(a - 2)}{(a-1)(a-2)} $
Сократим дробь на $ (a-2) $:
$ \frac{-3}{a-1} $ или $ \frac{3}{1-a} $
Ответ: $ \frac{-3}{a-1} $

2) Сначала выполним действие в скобках, затем умножение.
Действие в скобках: $ \frac{b-3}{b+3} + \frac{b+3}{b-3} $.
Приведем дроби к общему знаменателю $ (b+3)(b-3) = b^2-9 $:
$ \frac{(b-3)^2}{(b+3)(b-3)} + \frac{(b+3)^2}{(b+3)(b-3)} = \frac{(b-3)^2 + (b+3)^2}{b^2-9} $
Раскроем скобки в числителе: $ b^2-6b+9 + b^2+6b+9 = 2b^2+18 = 2(b^2+9) $.
Результат в скобках: $ \frac{2(b^2+9)}{b^2-9} $.
Теперь выполним умножение. Упростим первый множитель: $ \frac{b^2+3b}{b^3+9b} = \frac{b(b+3)}{b(b^2+9)} = \frac{b+3}{b^2+9} $.
$ \frac{b+3}{b^2+9} \cdot \frac{2(b^2+9)}{b^2-9} $
Разложим $ b^2-9 $ на множители $ (b-3)(b+3) $:
$ \frac{b+3}{b^2+9} \cdot \frac{2(b^2+9)}{(b-3)(b+3)} $
Сократим общие множители $ (b+3) $ и $ (b^2+9) $:
$ \frac{\cancel{b+3}}{\cancel{b^2+9}} \cdot \frac{2\cancel{(b^2+9)}}{(b-3)\cancel{(b+3)}} = \frac{2}{b-3} $
Ответ: $ \frac{2}{b-3} $

3) Сначала выполним действие в скобках, затем деление.
Действие в скобках: $ \frac{3c+1}{3c-1} - \frac{3c-1}{3c+1} $.
Приведем дроби к общему знаменателю $ (3c-1)(3c+1) = 9c^2-1 $:
$ \frac{(3c+1)^2 - (3c-1)^2}{(3c-1)(3c+1)} $
Используем формулу разности квадратов $ A^2-B^2 = (A-B)(A+B) $ для числителя:
$ ( (3c+1)-(3c-1) ) \cdot ( (3c+1)+(3c-1) ) = (3c+1-3c+1)(3c+1+3c-1) = (2)(6c) = 12c $.
Результат в скобках: $ \frac{12c}{9c^2-1} $.
Теперь выполним деление. Упростим делитель: $ \frac{2c}{6c+2} = \frac{2c}{2(3c+1)} = \frac{c}{3c+1} $.
$ \frac{12c}{9c^2-1} : \frac{c}{3c+1} = \frac{12c}{(3c-1)(3c+1)} \cdot \frac{3c+1}{c} $
Сократим общие множители $ c $ и $ (3c+1) $:
$ \frac{12\cancel{c}}{(3c-1)\cancel{(3c+1)}} \cdot \frac{\cancel{3c+1}}{\cancel{c}} = \frac{12}{3c-1} $
Ответ: $ \frac{12}{3c-1} $

4) Сначала выполним действие в скобках, затем деление.
Разложим знаменатели в скобках на множители:
$ a^2-4ab+4b^2 = (a-2b)^2 $
$ 4b^2-a^2 = (2b-a)(2b+a) = -(a-2b)(a+2b) $
Выражение в скобках: $ \frac{1}{(a-2b)^2} - \frac{1}{-(a-2b)(a+2b)} = \frac{1}{(a-2b)^2} + \frac{1}{(a-2b)(a+2b)} $.
Общий знаменатель $ (a-2b)^2(a+2b) $:
$ \frac{1(a+2b)}{(a-2b)^2(a+2b)} + \frac{1(a-2b)}{(a-2b)^2(a+2b)} = \frac{a+2b+a-2b}{(a-2b)^2(a+2b)} = \frac{2a}{(a-2b)^2(a+2b)} $.
Теперь выполним деление: $ \frac{2a}{(a-2b)^2(a+2b)} : \frac{2a}{a^2-4b^2} $.
Разложим знаменатель делителя $ a^2-4b^2 = (a-2b)(a+2b) $.
$ \frac{2a}{(a-2b)^2(a+2b)} \cdot \frac{(a-2b)(a+2b)}{2a} $
Сократим общие множители $ 2a $, $ (a-2b) $ и $ (a+2b) $:
$ \frac{\cancel{2a}}{(a-2b)^{\cancel{2}}\cancel{(a+2b)}} \cdot \frac{\cancel{(a-2b)}\cancel{(a+2b)}}{\cancel{2a}} = \frac{1}{a-2b} $
Ответ: $ \frac{1}{a-2b} $

5) Сначала выполним действие в скобках, затем деление.
Разложим знаменатели в скобках:
$ a^2-10a+25 = (a-5)^2 $
$ a^2-25 = (a-5)(a+5) $
Выражение в скобках: $ \frac{a-8}{(a-5)^2} - \frac{a}{(a-5)(a+5)} $.
Общий знаменатель $ (a-5)^2(a+5) $:
$ \frac{(a-8)(a+5) - a(a-5)}{(a-5)^2(a+5)} $
Раскроем скобки в числителе:
$ \frac{a^2+5a-8a-40 - (a^2-5a)}{(a-5)^2(a+5)} = \frac{a^2-3a-40-a^2+5a}{(a-5)^2(a+5)} = \frac{2a-40}{(a-5)^2(a+5)} $
Вынесем общий множитель в числителе: $ \frac{2(a-20)}{(a-5)^2(a+5)} $.
Теперь выполним деление: $ \frac{2(a-20)}{(a-5)^2(a+5)} : \frac{a-20}{(a-5)^2} $.
Заменяем деление умножением на обратную дробь:
$ \frac{2(a-20)}{(a-5)^2(a+5)} \cdot \frac{(a-5)^2}{a-20} $
Сократим общие множители $ (a-20) $ и $ (a-5)^2 $:
$ \frac{2\cancel{(a-20)}}{\cancel{(a-5)^2}(a+5)} \cdot \frac{\cancel{(a-5)^2}}{\cancel{a-20}} = \frac{2}{a+5} $
Ответ: $ \frac{2}{a+5} $

6) Сначала выполним действие в скобках, затем деление.
Разложим знаменатели в скобках:
$ x^2+6x+9 = (x+3)^2 $
$ x^2+3x = x(x+3) $
Выражение в скобках: $ \frac{2x+1}{(x+3)^2} - \frac{x-2}{x(x+3)} $.
Общий знаменатель $ x(x+3)^2 $:
$ \frac{x(2x+1) - (x-2)(x+3)}{x(x+3)^2} $
Раскроем скобки в числителе:
$ \frac{2x^2+x - (x^2+3x-2x-6)}{x(x+3)^2} = \frac{2x^2+x - (x^2+x-6)}{x(x+3)^2} = \frac{2x^2+x - x^2 - x + 6}{x(x+3)^2} = \frac{x^2+6}{x(x+3)^2} $.
Теперь выполним деление. Разложим знаменатель делителя: $ x^3-9x = x(x^2-9) = x(x-3)(x+3) $.
$ \frac{x^2+6}{x(x+3)^2} : \frac{x^2+6}{x(x-3)(x+3)} $
Заменяем деление умножением на обратную дробь:
$ \frac{x^2+6}{x(x+3)^2} \cdot \frac{x(x-3)(x+3)}{x^2+6} $
Сократим общие множители $ (x^2+6) $, $ x $ и $ (x+3) $:
$ \frac{\cancel{x^2+6}}{\cancel{x}(x+3)^{\cancel{2}}} \cdot \frac{\cancel{x}(x-3)\cancel{(x+3)}}{\cancel{x^2+6}} = \frac{x-3}{x+3} $
Ответ: $ \frac{x-3}{x+3} $