Страница 44 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

177. Упростите выражение:

1) $(x + \frac{x}{y}) : (x - \frac{x}{y});$

2) $(\frac{a}{b} + \frac{a+b}{a-b}) \cdot \frac{ab^2}{a^2 + b^2};$

3) $(\frac{m}{m-1} - 1) : \frac{m}{mn - n};$

4) $(\frac{a}{b} - \frac{b}{a}) \cdot \frac{4ab}{a-b};$

5) $\frac{a}{b} - \frac{a^2 - b^2}{b^2} : \frac{a+b}{b};$

6) $\frac{7x}{x+2} - \frac{x-8}{3x+6} \cdot \frac{84}{x^2 - 8x};$

7) $(a - \frac{9a-9}{a+3}) : \frac{a^2 - 3a}{a+3};$

8) $(\frac{a}{a+2} - \frac{8}{a+8}) \cdot \frac{a^2 + 8a}{a-4};$

1) $\left(x + \frac{x}{y}\right) : \left(x - \frac{x}{y}\right)$

Сначала приведем выражения в скобках к общему знаменателю $y$.

$x + \frac{x}{y} = \frac{xy}{y} + \frac{x}{y} = \frac{xy + x}{y} = \frac{x(y+1)}{y}$

$x - \frac{x}{y} = \frac{xy}{y} - \frac{x}{y} = \frac{xy - x}{y} = \frac{x(y-1)}{y}$

Теперь выполним деление. Деление на дробь заменяется умножением на обратную дробь.

$\frac{x(y+1)}{y} : \frac{x(y-1)}{y} = \frac{x(y+1)}{y} \cdot \frac{y}{x(y-1)}$

Сократим общие множители $x$ и $y$ в числителе и знаменателе.

$\frac{\cancel{x}(y+1)}{\cancel{y}} \cdot \frac{\cancel{y}}{\cancel{x}(y-1)} = \frac{y+1}{y-1}$

Ответ: $\frac{y+1}{y-1}$

2) $\left(\frac{a}{b} + \frac{a+b}{a-b}\right) \cdot \frac{ab^2}{a^2+b^2}$

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю $b(a-b)$.

$\frac{a}{b} + \frac{a+b}{a-b} = \frac{a(a-b)}{b(a-b)} + \frac{b(a+b)}{b(a-b)} = \frac{a^2-ab+ab+b^2}{b(a-b)} = \frac{a^2+b^2}{b(a-b)}$

Теперь выполним умножение.

$\frac{a^2+b^2}{b(a-b)} \cdot \frac{ab^2}{a^2+b^2}$

Сократим общие множители $(a^2+b^2)$ и $b$.

$\frac{\cancel{a^2+b^2}}{\cancel{b}(a-b)} \cdot \frac{ab^{\cancel{2}}}{\cancel{a^2+b^2}} = \frac{ab}{a-b}$

Ответ: $\frac{ab}{a-b}$

3) $\left(\frac{m}{m-1} - 1\right) : \frac{m}{mn-n}$

Упростим выражение в скобках, приведя к общему знаменателю $m-1$.

$\frac{m}{m-1} - 1 = \frac{m}{m-1} - \frac{m-1}{m-1} = \frac{m-(m-1)}{m-1} = \frac{m-m+1}{m-1} = \frac{1}{m-1}$

Упростим делитель, вынеся общий множитель $n$ за скобки в знаменателе.

$\frac{m}{mn-n} = \frac{m}{n(m-1)}$

Выполним деление.

$\frac{1}{m-1} : \frac{m}{n(m-1)} = \frac{1}{m-1} \cdot \frac{n(m-1)}{m}$

Сократим общий множитель $(m-1)$.

$\frac{1}{\cancel{m-1}} \cdot \frac{n(\cancel{m-1})}{m} = \frac{n}{m}$

Ответ: $\frac{n}{m}$

4) $\left(\frac{a}{b} - \frac{b}{a}\right) \cdot \frac{4ab}{a-b}$

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю $ab$.

$\frac{a}{b} - \frac{b}{a} = \frac{a^2}{ab} - \frac{b^2}{ab} = \frac{a^2-b^2}{ab}$

Разложим числитель по формуле разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.

$\frac{(a-b)(a+b)}{ab}$

Выполним умножение.

$\frac{(a-b)(a+b)}{ab} \cdot \frac{4ab}{a-b}$

Сократим общие множители $(a-b)$ и $ab$.

$\frac{\cancel{(a-b)}(a+b)}{\cancel{ab}} \cdot \frac{4\cancel{ab}}{\cancel{a-b}} = 4(a+b)$

Ответ: $4(a+b)$

5) $\frac{a}{b} - \frac{a^2-b^2}{b^2} : \frac{a+b}{b}$

Согласно порядку действий, сначала выполним деление.

$\frac{a^2-b^2}{b^2} : \frac{a+b}{b} = \frac{a^2-b^2}{b^2} \cdot \frac{b}{a+b} = \frac{(a-b)(a+b)}{b^2} \cdot \frac{b}{a+b}$

Сократим общие множители $(a+b)$ и $b$.

$\frac{(a-b)\cancel{(a+b)}}{b^{\cancel{2}}} \cdot \frac{\cancel{b}}{\cancel{a+b}} = \frac{a-b}{b}$

Теперь выполним вычитание.

$\frac{a}{b} - \frac{a-b}{b} = \frac{a-(a-b)}{b} = \frac{a-a+b}{b} = \frac{b}{b} = 1$

Ответ: $1$

6) $\frac{7x}{x+2} - \frac{x-8}{3x+6} \cdot \frac{84}{x^2-8x}$

Сначала выполним умножение. Для этого разложим знаменатели на множители.

$\frac{x-8}{3(x+2)} \cdot \frac{84}{x(x-8)}$

Сократим общие множители $(x-8)$ и число 3.

$\frac{\cancel{x-8}}{\cancel{3}(x+2)} \cdot \frac{84^{28}}{x(\cancel{x-8})} = \frac{28}{x(x+2)}$

Теперь выполним вычитание. Общий знаменатель $x(x+2)$.

$\frac{7x}{x+2} - \frac{28}{x(x+2)} = \frac{7x \cdot x}{x(x+2)} - \frac{28}{x(x+2)} = \frac{7x^2-28}{x(x+2)}$

Вынесем в числителе общий множитель 7 за скобки и применим формулу разности квадратов.

$\frac{7(x^2-4)}{x(x+2)} = \frac{7(x-2)(x+2)}{x(x+2)}$

Сократим общий множитель $(x+2)$.

$\frac{7(x-2)\cancel{(x+2)}}{x\cancel{(x+2)}} = \frac{7(x-2)}{x}$

Ответ: $\frac{7(x-2)}{x}$

7) $\left(a - \frac{9a-9}{a+3}\right) : \frac{a^2-3a}{a+3}$

Упростим выражение в скобках. Общий знаменатель $a+3$.

$a - \frac{9a-9}{a+3} = \frac{a(a+3)}{a+3} - \frac{9a-9}{a+3} = \frac{a^2+3a-(9a-9)}{a+3} = \frac{a^2-6a+9}{a+3}$

Числитель является полным квадратом: $a^2-6a+9=(a-3)^2$.

$\frac{(a-3)^2}{a+3}$

Разложим на множители делитель: $\frac{a^2-3a}{a+3} = \frac{a(a-3)}{a+3}$.

Выполним деление.

$\frac{(a-3)^2}{a+3} : \frac{a(a-3)}{a+3} = \frac{(a-3)^2}{a+3} \cdot \frac{a+3}{a(a-3)}$

Сократим общие множители $(a+3)$ и $(a-3)$.

$\frac{(a-3)^{\cancel{2}}}{\cancel{a+3}} \cdot \frac{\cancel{a+3}}{a(\cancel{a-3})} = \frac{a-3}{a}$

Ответ: $\frac{a-3}{a}$

8) $\left(\frac{a}{a+2} - \frac{8}{a+8}\right) \cdot \frac{a^2+8a}{a-4}$

Упростим выражение в скобках. Общий знаменатель $(a+2)(a+8)$.

$\frac{a}{a+2} - \frac{8}{a+8} = \frac{a(a+8)}{(a+2)(a+8)} - \frac{8(a+2)}{(a+2)(a+8)} = \frac{a^2+8a-8a-16}{(a+2)(a+8)} = \frac{a^2-16}{(a+2)(a+8)}$

Разложим числитель по формуле разности квадратов: $\frac{(a-4)(a+4)}{(a+2)(a+8)}$.

Разложим на множители второй сомножитель: $\frac{a^2+8a}{a-4} = \frac{a(a+8)}{a-4}$.

Выполним умножение.

$\frac{(a-4)(a+4)}{(a+2)(a+8)} \cdot \frac{a(a+8)}{a-4}$

Сократим общие множители $(a-4)$ и $(a+8)$.

$\frac{\cancel{(a-4)}(a+4)}{(a+2)\cancel{(a+8)}} \cdot \frac{a\cancel{(a+8)}}{\cancel{a-4}} = \frac{a(a+4)}{a+2}$

Ответ: $\frac{a(a+4)}{a+2}$

178. Выполните действия:

1) $ \frac{a+2}{a^2-2a+1} : \frac{a^2-4}{3a-3} - \frac{3}{a-2} $;

2) $ \frac{b^2+3b}{b^3+9b} \cdot \left(\frac{b-3}{b+3} + \frac{b+3}{b-3}\right) $;

3) $ \left(\frac{3c+1}{3c-1} - \frac{3c-1}{3c+1}\right) : \frac{2c}{6c+2} $;

4) $ \left(\frac{1}{a^2-4ab+4b^2} - \frac{1}{4b^2-a^2}\right) : \frac{2a}{a^2-4b^2} $;

5) $ \left(\frac{a-8}{a^2-10a+25} - \frac{a}{a^2-25}\right) : \frac{a-20}{(a-5)^2} $;

6) $ \left(\frac{2x+1}{x^2+6x+9} - \frac{x-2}{x^2+3x}\right) : \frac{x^2+6}{x^3-9x} $;

1) Выполним действия по порядку: сначала деление, затем вычитание.
Первое действие (деление): $ \frac{a+2}{a^2-2a+1} : \frac{a^2-4}{3a-3} $.
Разложим числители и знаменатели на множители:
$ a^2-2a+1 = (a-1)^2 $
$ a^2-4 = (a-2)(a+2) $
$ 3a-3 = 3(a-1) $
Заменяем деление умножением на обратную дробь:
$ \frac{a+2}{(a-1)^2} \cdot \frac{3(a-1)}{(a-2)(a+2)} $
Сокращаем общие множители $ (a+2) $ и $ (a-1) $:
$ \frac{\cancel{a+2}}{(a-1)^{\cancel{2}}} \cdot \frac{3\cancel{(a-1)}}{(a-2)\cancel{(a+2)}} = \frac{3}{(a-1)(a-2)} $
Второе действие (вычитание): $ \frac{3}{(a-1)(a-2)} - \frac{3}{a-2} $.
Приведем дроби к общему знаменателю $ (a-1)(a-2) $:
$ \frac{3}{(a-1)(a-2)} - \frac{3(a-1)}{(a-1)(a-2)} = \frac{3 - 3(a-1)}{(a-1)(a-2)} $
Раскроем скобки в числителе и упростим:
$ \frac{3 - 3a + 3}{(a-1)(a-2)} = \frac{6 - 3a}{(a-1)(a-2)} $
Вынесем общий множитель в числителе:
$ \frac{-3(a - 2)}{(a-1)(a-2)} $
Сократим дробь на $ (a-2) $:
$ \frac{-3}{a-1} $ или $ \frac{3}{1-a} $
Ответ: $ \frac{-3}{a-1} $

2) Сначала выполним действие в скобках, затем умножение.
Действие в скобках: $ \frac{b-3}{b+3} + \frac{b+3}{b-3} $.
Приведем дроби к общему знаменателю $ (b+3)(b-3) = b^2-9 $:
$ \frac{(b-3)^2}{(b+3)(b-3)} + \frac{(b+3)^2}{(b+3)(b-3)} = \frac{(b-3)^2 + (b+3)^2}{b^2-9} $
Раскроем скобки в числителе: $ b^2-6b+9 + b^2+6b+9 = 2b^2+18 = 2(b^2+9) $.
Результат в скобках: $ \frac{2(b^2+9)}{b^2-9} $.
Теперь выполним умножение. Упростим первый множитель: $ \frac{b^2+3b}{b^3+9b} = \frac{b(b+3)}{b(b^2+9)} = \frac{b+3}{b^2+9} $.
$ \frac{b+3}{b^2+9} \cdot \frac{2(b^2+9)}{b^2-9} $
Разложим $ b^2-9 $ на множители $ (b-3)(b+3) $:
$ \frac{b+3}{b^2+9} \cdot \frac{2(b^2+9)}{(b-3)(b+3)} $
Сократим общие множители $ (b+3) $ и $ (b^2+9) $:
$ \frac{\cancel{b+3}}{\cancel{b^2+9}} \cdot \frac{2\cancel{(b^2+9)}}{(b-3)\cancel{(b+3)}} = \frac{2}{b-3} $
Ответ: $ \frac{2}{b-3} $

3) Сначала выполним действие в скобках, затем деление.
Действие в скобках: $ \frac{3c+1}{3c-1} - \frac{3c-1}{3c+1} $.
Приведем дроби к общему знаменателю $ (3c-1)(3c+1) = 9c^2-1 $:
$ \frac{(3c+1)^2 - (3c-1)^2}{(3c-1)(3c+1)} $
Используем формулу разности квадратов $ A^2-B^2 = (A-B)(A+B) $ для числителя:
$ ( (3c+1)-(3c-1) ) \cdot ( (3c+1)+(3c-1) ) = (3c+1-3c+1)(3c+1+3c-1) = (2)(6c) = 12c $.
Результат в скобках: $ \frac{12c}{9c^2-1} $.
Теперь выполним деление. Упростим делитель: $ \frac{2c}{6c+2} = \frac{2c}{2(3c+1)} = \frac{c}{3c+1} $.
$ \frac{12c}{9c^2-1} : \frac{c}{3c+1} = \frac{12c}{(3c-1)(3c+1)} \cdot \frac{3c+1}{c} $
Сократим общие множители $ c $ и $ (3c+1) $:
$ \frac{12\cancel{c}}{(3c-1)\cancel{(3c+1)}} \cdot \frac{\cancel{3c+1}}{\cancel{c}} = \frac{12}{3c-1} $
Ответ: $ \frac{12}{3c-1} $

4) Сначала выполним действие в скобках, затем деление.
Разложим знаменатели в скобках на множители:
$ a^2-4ab+4b^2 = (a-2b)^2 $
$ 4b^2-a^2 = (2b-a)(2b+a) = -(a-2b)(a+2b) $
Выражение в скобках: $ \frac{1}{(a-2b)^2} - \frac{1}{-(a-2b)(a+2b)} = \frac{1}{(a-2b)^2} + \frac{1}{(a-2b)(a+2b)} $.
Общий знаменатель $ (a-2b)^2(a+2b) $:
$ \frac{1(a+2b)}{(a-2b)^2(a+2b)} + \frac{1(a-2b)}{(a-2b)^2(a+2b)} = \frac{a+2b+a-2b}{(a-2b)^2(a+2b)} = \frac{2a}{(a-2b)^2(a+2b)} $.
Теперь выполним деление: $ \frac{2a}{(a-2b)^2(a+2b)} : \frac{2a}{a^2-4b^2} $.
Разложим знаменатель делителя $ a^2-4b^2 = (a-2b)(a+2b) $.
$ \frac{2a}{(a-2b)^2(a+2b)} \cdot \frac{(a-2b)(a+2b)}{2a} $
Сократим общие множители $ 2a $, $ (a-2b) $ и $ (a+2b) $:
$ \frac{\cancel{2a}}{(a-2b)^{\cancel{2}}\cancel{(a+2b)}} \cdot \frac{\cancel{(a-2b)}\cancel{(a+2b)}}{\cancel{2a}} = \frac{1}{a-2b} $
Ответ: $ \frac{1}{a-2b} $

5) Сначала выполним действие в скобках, затем деление.
Разложим знаменатели в скобках:
$ a^2-10a+25 = (a-5)^2 $
$ a^2-25 = (a-5)(a+5) $
Выражение в скобках: $ \frac{a-8}{(a-5)^2} - \frac{a}{(a-5)(a+5)} $.
Общий знаменатель $ (a-5)^2(a+5) $:
$ \frac{(a-8)(a+5) - a(a-5)}{(a-5)^2(a+5)} $
Раскроем скобки в числителе:
$ \frac{a^2+5a-8a-40 - (a^2-5a)}{(a-5)^2(a+5)} = \frac{a^2-3a-40-a^2+5a}{(a-5)^2(a+5)} = \frac{2a-40}{(a-5)^2(a+5)} $
Вынесем общий множитель в числителе: $ \frac{2(a-20)}{(a-5)^2(a+5)} $.
Теперь выполним деление: $ \frac{2(a-20)}{(a-5)^2(a+5)} : \frac{a-20}{(a-5)^2} $.
Заменяем деление умножением на обратную дробь:
$ \frac{2(a-20)}{(a-5)^2(a+5)} \cdot \frac{(a-5)^2}{a-20} $
Сократим общие множители $ (a-20) $ и $ (a-5)^2 $:
$ \frac{2\cancel{(a-20)}}{\cancel{(a-5)^2}(a+5)} \cdot \frac{\cancel{(a-5)^2}}{\cancel{a-20}} = \frac{2}{a+5} $
Ответ: $ \frac{2}{a+5} $

6) Сначала выполним действие в скобках, затем деление.
Разложим знаменатели в скобках:
$ x^2+6x+9 = (x+3)^2 $
$ x^2+3x = x(x+3) $
Выражение в скобках: $ \frac{2x+1}{(x+3)^2} - \frac{x-2}{x(x+3)} $.
Общий знаменатель $ x(x+3)^2 $:
$ \frac{x(2x+1) - (x-2)(x+3)}{x(x+3)^2} $
Раскроем скобки в числителе:
$ \frac{2x^2+x - (x^2+3x-2x-6)}{x(x+3)^2} = \frac{2x^2+x - (x^2+x-6)}{x(x+3)^2} = \frac{2x^2+x - x^2 - x + 6}{x(x+3)^2} = \frac{x^2+6}{x(x+3)^2} $.
Теперь выполним деление. Разложим знаменатель делителя: $ x^3-9x = x(x^2-9) = x(x-3)(x+3) $.
$ \frac{x^2+6}{x(x+3)^2} : \frac{x^2+6}{x(x-3)(x+3)} $
Заменяем деление умножением на обратную дробь:
$ \frac{x^2+6}{x(x+3)^2} \cdot \frac{x(x-3)(x+3)}{x^2+6} $
Сократим общие множители $ (x^2+6) $, $ x $ и $ (x+3) $:
$ \frac{\cancel{x^2+6}}{\cancel{x}(x+3)^{\cancel{2}}} \cdot \frac{\cancel{x}(x-3)\cancel{(x+3)}}{\cancel{x^2+6}} = \frac{x-3}{x+3} $
Ответ: $ \frac{x-3}{x+3} $

179. Выполните действия:

1) $ \frac{b+4}{b^2-6b+9} : \frac{b^2-16}{2b-6} - \frac{2}{b-4}; $

2) $ (\frac{m-1}{m+1} - \frac{m+1}{m-1}) : \frac{4m}{m^2-1}; $

3) $ \frac{2x}{x^2-y^2} : (\frac{1}{x^2+2xy+y^2} - \frac{1}{y^2-x^2}); $

4) $ (\frac{2a-3}{a^2-4a+4} - \frac{a-1}{a^2-2a}) : \frac{a^2-2}{a^3-4a}. $

1)

Решим выражение по действиям. Сначала выполним деление, а затем вычитание. Для этого разложим многочлены в дробях на множители, используя формулы сокращенного умножения и вынесение общего множителя за скобки.

Знаменатель первой дроби: $b^2 - 6b + 9 = (b-3)^2$ (формула квадрата разности).

Числитель второй дроби: $b^2 - 16 = (b-4)(b+4)$ (формула разности квадратов).

Знаменатель второй дроби: $2b - 6 = 2(b-3)$ (вынесение общего множителя).

Теперь выполним первое действие — деление:

$\frac{b+4}{(b-3)^2} : \frac{(b-4)(b+4)}{2(b-3)}$

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:

$\frac{b+4}{(b-3)^2} \cdot \frac{2(b-3)}{(b-4)(b+4)}$

Сократим общие множители $(b+4)$ и $(b-3)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{\cancel{b+4}}{(b-3)^{\cancel{2}}} \cdot \frac{2(\cancel{b-3})}{(b-4)(\cancel{b+4})} = \frac{2}{b-3}$

Теперь выполним второе действие — вычитание:

$\frac{2}{b-3} - \frac{2}{b-4}$

Приведем дроби к общему знаменателю $(b-3)(b-4)$:

$\frac{2(b-4)}{(b-3)(b-4)} - \frac{2(b-3)}{(b-3)(b-4)} = \frac{2(b-4) - 2(b-3)}{(b-3)(b-4)}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{2b - 8 - 2b + 6}{(b-3)(b-4)} = \frac{-2}{(b-3)(b-4)}$

Ответ: $\frac{-2}{(b-3)(b-4)}$

2)

Сначала выполним действие в скобках (вычитание), а затем деление.

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю $(m+1)(m-1)$:

$\frac{m-1}{m+1} - \frac{m+1}{m-1} = \frac{(m-1)(m-1)}{(m+1)(m-1)} - \frac{(m+1)(m+1)}{(m+1)(m-1)} = \frac{(m-1)^2 - (m+1)^2}{(m+1)(m-1)}$

Раскроем скобки в числителе, используя формулы квадрата разности и квадрата суммы. Знаменатель свернем по формуле разности квадратов:

$\frac{(m^2-2m+1) - (m^2+2m+1)}{m^2-1}$

Упростим числитель:

$\frac{m^2-2m+1 - m^2-2m-1}{m^2-1} = \frac{-4m}{m^2-1}$

Теперь выполним деление:

$\frac{-4m}{m^2-1} : \frac{4m}{m^2-1}$

Разделить на дробь — это то же самое, что умножить на обратную ей дробь:

$\frac{-4m}{m^2-1} \cdot \frac{m^2-1}{4m}$

Сократим одинаковые множители $4m$ и $(m^2-1)$:

$\frac{-\cancel{4m}}{\cancel{m^2-1}} \cdot \frac{\cancel{m^2-1}}{\cancel{4m}} = -1$

Ответ: $-1$

3)

Сначала выполним действие в скобках (вычитание). Для этого разложим знаменатели на множители.

$x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2$ (квадрат суммы).

$y^2 - x^2 = -(x^2-y^2) = -(x-y)(x+y)$ (разность квадратов).

Подставим разложенные выражения в скобки:

$\frac{1}{(x+y)^2} - \frac{1}{-(x-y)(x+y)} = \frac{1}{(x+y)^2} + \frac{1}{(x-y)(x+y)}$

Приведем дроби к общему знаменателю $(x-y)(x+y)^2$:

$\frac{1 \cdot (x-y)}{(x-y)(x+y)^2} + \frac{1 \cdot (x+y)}{(x-y)(x+y)^2} = \frac{x-y+x+y}{(x-y)(x+y)^2} = \frac{2x}{(x-y)(x+y)^2}$

Теперь выполним деление. Разложим знаменатель первой дроби $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$:

$\frac{2x}{(x-y)(x+y)} : \frac{2x}{(x-y)(x+y)^2}$

Заменим деление на умножение на обратную дробь:

$\frac{2x}{(x-y)(x+y)} \cdot \frac{(x-y)(x+y)^2}{2x}$

Сократим общие множители $2x$, $(x-y)$ и $(x+y)$:

$\frac{\cancel{2x}}{(\cancel{x-y})(\cancel{x+y})} \cdot \frac{(\cancel{x-y})(x+y)^{\cancel{2}}}{\cancel{2x}} = x+y$

Ответ: $x+y$

4)

Сначала выполним вычитание в скобках, предварительно разложив знаменатели на множители.

$a^2-4a+4 = (a-2)^2$ (квадрат разности).

$a^2-2a = a(a-2)$ (вынесение общего множителя).

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю $a(a-2)^2$:

$\frac{2a-3}{(a-2)^2} - \frac{a-1}{a(a-2)} = \frac{(2a-3)a}{a(a-2)^2} - \frac{(a-1)(a-2)}{a(a-2)^2}$

Объединим дроби и упростим числитель:

$\frac{a(2a-3) - (a-1)(a-2)}{a(a-2)^2} = \frac{(2a^2-3a) - (a^2-2a-a+2)}{a(a-2)^2} = \frac{2a^2-3a - (a^2-3a+2)}{a(a-2)^2}$

$\frac{2a^2-3a-a^2+3a-2}{a(a-2)^2} = \frac{a^2-2}{a(a-2)^2}$

Теперь выполним деление. Разложим знаменатель делителя на множители: $a^3-4a = a(a^2-4) = a(a-2)(a+2)$.

$\frac{a^2-2}{a(a-2)^2} : \frac{a^2-2}{a(a-2)(a+2)}$

Заменим деление на умножение на обратную дробь:

$\frac{a^2-2}{a(a-2)^2} \cdot \frac{a(a-2)(a+2)}{a^2-2}$

Сократим общие множители $(a^2-2)$, $a$ и $(a-2)$:

$\frac{\cancel{a^2-2}}{\cancel{a}(a-2)^{\cancel{2}}} \cdot \frac{\cancel{a}(\cancel{a-2})(a+2)}{\cancel{a^2-2}} = \frac{a+2}{a-2}$

Ответ: $\frac{a+2}{a-2}$

180. Упростите выражение:

1) $\left(\frac{15}{x - 7} - x - 7\right) \cdot \frac{7 - x}{x^2 - 16x + 64};$

2) $\left(a - \frac{5a - 16}{a - 3}\right) : \left(2a - \frac{2a}{a - 3}\right);$

3) $\left(\frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{a}{b^2}\right) \cdot \frac{ab}{a^2 - b^2} + \frac{2}{b - a};$

4) $\left(\frac{a}{a - 1} - \frac{a}{a + 1} - \frac{a^2 + 1}{1 - a^2}\right) : \frac{a^2 + a}{(a - 1)^2};$

5) $\left(\frac{x + 2y}{x - 2y} - \frac{x - 2y}{x + 2y} - \frac{16y^2}{x^2 - 4y^2}\right) : \frac{4y}{x + 2y};$

6) $\left(\frac{3a - 8}{a^2 - 2a + 4} + \frac{1}{a + 2} - \frac{4a - 28}{a^3 + 8}\right) \cdot \frac{a^2 - 4}{4}.$

1) Сначала упростим выражение в скобках, приведя его к общему знаменателю $x-7$:
$(\frac{15}{x-7} - x - 7) = \frac{15 - x(x-7) - 7(x-7)}{x-7} = \frac{15 - x^2 + 7x - 7x + 49}{x-7} = \frac{64 - x^2}{x-7}$.
Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ для числителя:
$\frac{64 - x^2}{x-7} = \frac{(8-x)(8+x)}{x-7}$.
Теперь упростим вторую дробь. Знаменатель $x^2 - 16x + 64$ является полным квадратом $(x-8)^2$. Числитель $7-x$ можно записать как $-(x-7)$:
$\frac{7-x}{x^2-16x+64} = \frac{-(x-7)}{(x-8)^2}$.
Теперь перемножим полученные выражения. Заметим, что $8-x = -(x-8)$:
$\frac{(8-x)(8+x)}{x-7} \cdot \frac{-(x-7)}{(x-8)^2} = \frac{-(x-8)(x+8)}{x-7} \cdot \frac{-(x-7)}{(x-8)^2}$.
Произведение двух отрицательных выражений положительно. Сокращаем дроби:
$\frac{(x-8)(x+8)(x-7)}{(x-7)(x-8)^2} = \frac{x+8}{x-8}$.
Ответ: $\frac{x+8}{x-8}$.

2) Упростим поочередно выражения в каждой из скобок.
Первая скобка:
$a - \frac{5a-16}{a-3} = \frac{a(a-3) - (5a-16)}{a-3} = \frac{a^2-3a-5a+16}{a-3} = \frac{a^2-8a+16}{a-3} = \frac{(a-4)^2}{a-3}$.
Вторая скобка:
$2a - \frac{2a}{a-3} = \frac{2a(a-3) - 2a}{a-3} = \frac{2a^2-6a-2a}{a-3} = \frac{2a^2-8a}{a-3} = \frac{2a(a-4)}{a-3}$.
Теперь выполним деление, заменив его умножением на обратную дробь:
$\frac{(a-4)^2}{a-3} : \frac{2a(a-4)}{a-3} = \frac{(a-4)^2}{a-3} \cdot \frac{a-3}{2a(a-4)}$.
Сокращаем общие множители $(a-3)$ и $(a-4)$:
$\frac{a-4}{2a}$.
Ответ: $\frac{a-4}{2a}$.

3) Выполним действия по порядку. Сначала упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $ab^2$:
$\frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{a}{b^2} = \frac{b^2}{ab^2} + \frac{2ab}{ab^2} + \frac{a^2}{ab^2} = \frac{a^2+2ab+b^2}{ab^2} = \frac{(a+b)^2}{ab^2}$.
Теперь выполним умножение. Используем формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:
$\frac{(a+b)^2}{ab^2} \cdot \frac{ab}{a^2-b^2} = \frac{(a+b)^2}{ab^2} \cdot \frac{ab}{(a-b)(a+b)}$.
Сокращаем общие множители:
$\frac{a+b}{b(a-b)}$.
Теперь выполним сложение. Заметим, что $b-a = -(a-b)$:
$\frac{a+b}{b(a-b)} + \frac{2}{b-a} = \frac{a+b}{b(a-b)} - \frac{2}{a-b}$.
Приводим к общему знаменателю $b(a-b)$:
$\frac{a+b}{b(a-b)} - \frac{2b}{b(a-b)} = \frac{a+b-2b}{b(a-b)} = \frac{a-b}{b(a-b)}$.
Сокращаем $(a-b)$:
$\frac{1}{b}$.
Ответ: $\frac{1}{b}$.

4) Упростим выражение в скобках. Заметим, что $1-a^2 = -(a^2-1) = -(a-1)(a+1)$. Общий знаменатель будет $(a-1)(a+1)$:
$\frac{a}{a-1} - \frac{a}{a+1} - \frac{a^2+1}{1-a^2} = \frac{a}{a-1} - \frac{a}{a+1} + \frac{a^2+1}{(a-1)(a+1)}$.
Приводим к общему знаменателю:
$\frac{a(a+1) - a(a-1) + a^2+1}{(a-1)(a+1)} = \frac{a^2+a - (a^2-a) + a^2+1}{a^2-1} = \frac{a^2+a - a^2+a + a^2+1}{a^2-1} = \frac{a^2+2a+1}{a^2-1}$.
Числитель является полным квадратом $(a+1)^2$, а знаменатель - разностью квадратов $(a-1)(a+1)$:
$\frac{(a+1)^2}{(a-1)(a+1)} = \frac{a+1}{a-1}$.
Теперь выполним деление. Упростим делитель: $\frac{a^2+a}{(a-1)^2} = \frac{a(a+1)}{(a-1)^2}$.
$(\frac{a+1}{a-1}) : (\frac{a(a+1)}{(a-1)^2}) = \frac{a+1}{a-1} \cdot \frac{(a-1)^2}{a(a+1)}$.
Сокращаем общие множители $(a+1)$ и $(a-1)$:
$\frac{a-1}{a}$.
Ответ: $\frac{a-1}{a}$.

5) Упростим выражение в скобках. Общий знаменатель $x^2-4y^2 = (x-2y)(x+2y)$:
$\frac{x+2y}{x-2y} - \frac{x-2y}{x+2y} - \frac{16y^2}{x^2-4y^2} = \frac{(x+2y)^2}{(x-2y)(x+2y)} - \frac{(x-2y)^2}{(x-2y)(x+2y)} - \frac{16y^2}{(x-2y)(x+2y)}$.
Объединяем дроби:
$\frac{(x+2y)^2 - (x-2y)^2 - 16y^2}{x^2-4y^2}$.
Раскроем скобки в числителе:
$\frac{(x^2+4xy+4y^2) - (x^2-4xy+4y^2) - 16y^2}{x^2-4y^2} = \frac{x^2+4xy+4y^2 - x^2+4xy-4y^2 - 16y^2}{x^2-4y^2}$.
Приводим подобные слагаемые в числителе:
$\frac{8xy - 16y^2}{x^2-4y^2} = \frac{8y(x-2y)}{(x-2y)(x+2y)} = \frac{8y}{x+2y}$.
Теперь выполним деление:
$\frac{8y}{x+2y} : \frac{4y}{x+2y} = \frac{8y}{x+2y} \cdot \frac{x+2y}{4y}$.
Сокращаем общие множители:
$2$.
Ответ: $2$.

6) Упростим выражение в скобках. Используем формулу суммы кубов $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$. Тогда $a^3+8 = a^3+2^3 = (a+2)(a^2-2a+4)$. Это и будет общий знаменатель.
$\frac{3a-8}{a^2-2a+4} + \frac{1}{a+2} - \frac{4a-28}{a^3+8} = \frac{(3a-8)(a+2)}{a^3+8} + \frac{a^2-2a+4}{a^3+8} - \frac{4a-28}{a^3+8}$.
Объединим числители:
$\frac{(3a^2+6a-8a-16) + (a^2-2a+4) - (4a-28)}{a^3+8}$.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{3a^2-2a-16 + a^2-2a+4 - 4a+28}{a^3+8} = \frac{4a^2-8a+16}{a^3+8}$.
Вынесем общий множитель 4 в числителе:
$\frac{4(a^2-2a+4)}{(a+2)(a^2-2a+4)} = \frac{4}{a+2}$.
Теперь выполним умножение. Используем формулу разности квадратов $a^2-4 = (a-2)(a+2)$:
$\frac{4}{a+2} \cdot \frac{a^2-4}{4} = \frac{4}{a+2} \cdot \frac{(a-2)(a+2)}{4}$.
Сокращаем общие множители $4$ и $(a+2)$:
$a-2$.
Ответ: $a-2$.