Страница 43 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

176. Упростите выражение:

1) $(\frac{a}{3} + \frac{a}{4}) \cdot \frac{6}{a^2}$;

2) $\frac{a^2b}{a-b} \cdot (\frac{1}{b} - \frac{1}{a})$;

3) $(1 + \frac{a}{b}) : (1 - \frac{a}{b})$;

4) $(\frac{a^2}{b^2} - \frac{2a}{b} + 1) \cdot \frac{b}{a-b}$;

5) $\frac{a^2 - ab}{b^2 - 1} \cdot \frac{b+1}{a} - \frac{a}{b-1}$;

6) $(\frac{5}{m-n} - \frac{4}{m+n}) : \frac{m+9n}{m+n}$;

7) $\frac{x-2}{x+2} \cdot (x - \frac{x^2}{x-2})$;

8) $\frac{x^2+x}{4} : \frac{x^2}{4} + \frac{x-1}{x}$;

9) $\frac{6c^2}{c^2-1} : (\frac{1}{c-1} + 1)$;

10) $(\frac{x}{x+y} + \frac{y}{x-y}) \cdot \frac{x^2+xy}{x^2+y^2}$.

$(\frac{a}{3} + \frac{a}{4}) \cdot \frac{6}{a^2}$
Сначала приведем дроби в скобках к общему знаменателю 12:
$\frac{a}{3} + \frac{a}{4} = \frac{4a}{12} + \frac{3a}{12} = \frac{4a + 3a}{12} = \frac{7a}{12}$
Теперь выполним умножение:
$\frac{7a}{12} \cdot \frac{6}{a^2} = \frac{7a \cdot 6}{12 \cdot a^2} = \frac{42a}{12a^2}$
Сократим дробь на $6a$ (при $a \neq 0$):
$\frac{7}{2a}$

Ответ: $\frac{7}{2a}$

$\frac{a^2b}{a-b} \cdot (\frac{1}{b} - \frac{1}{a})$
Упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $ab$:
$\frac{1}{b} - \frac{1}{a} = \frac{a}{ab} - \frac{b}{ab} = \frac{a-b}{ab}$
Выполним умножение:
$\frac{a^2b}{a-b} \cdot \frac{a-b}{ab}$
Сократим общие множители $(a-b)$, $a$ и $b$ (при $a \neq b, a \neq 0, b \neq 0$):
$\frac{a^2b \cdot (a-b)}{(a-b) \cdot ab} = a$

Ответ: $a$

$(1 + \frac{a}{b}) : (1 - \frac{a}{b})$
Упростим каждое выражение в скобках, приведя к общему знаменателю $b$:
$1 + \frac{a}{b} = \frac{b}{b} + \frac{a}{b} = \frac{b+a}{b}$
$1 - \frac{a}{b} = \frac{b}{b} - \frac{a}{b} = \frac{b-a}{b}$
Теперь выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную дробь:
$\frac{b+a}{b} : \frac{b-a}{b} = \frac{b+a}{b} \cdot \frac{b}{b-a}$
Сократим общий множитель $b$ (при $b \neq 0$):
$\frac{a+b}{b-a}$

Ответ: $\frac{a+b}{b-a}$

$(\frac{a^2}{b^2} - \frac{2a}{b} + 1) \cdot \frac{b}{a-b}$
Выражение в скобках является формулой квадрата разности:
$\frac{a^2}{b^2} - \frac{2a}{b} + 1 = (\frac{a}{b})^2 - 2 \cdot \frac{a}{b} \cdot 1 + 1^2 = (\frac{a}{b} - 1)^2$
Представим разность в скобках в виде дроби:
$(\frac{a}{b} - 1)^2 = (\frac{a-b}{b})^2 = \frac{(a-b)^2}{b^2}$
Выполним умножение:
$\frac{(a-b)^2}{b^2} \cdot \frac{b}{a-b}$
Сократим общие множители $(a-b)$ и $b$ (при $a \neq b, b \neq 0$):
$\frac{a-b}{b}$

Ответ: $\frac{a-b}{b}$

$\frac{a^2 - ab}{b^2 - 1} \cdot \frac{b+1}{a} - \frac{a}{b-1}$
Сначала выполним умножение. Разложим на множители числитель и знаменатель первой дроби:
$\frac{a(a-b)}{(b-1)(b+1)} \cdot \frac{b+1}{a}$
Сократим общие множители $a$ и $(b+1)$ (при $a \neq 0, b \neq -1$):
$\frac{a-b}{b-1}$
Теперь выполним вычитание:
$\frac{a-b}{b-1} - \frac{a}{b-1}$
Так как знаменатели одинаковы, вычтем числители:
$\frac{(a-b)-a}{b-1} = \frac{a-b-a}{b-1} = \frac{-b}{b-1}$

Ответ: $\frac{-b}{b-1}$

$(\frac{5}{m-n} - \frac{4}{m+n}) : \frac{m+9n}{m+n}$
Упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $(m-n)(m+n)$:
$\frac{5(m+n) - 4(m-n)}{(m-n)(m+n)} = \frac{5m+5n - 4m+4n}{m^2-n^2} = \frac{m+9n}{m^2-n^2}$
Выполним деление, заменив его умножением на обратную дробь:
$\frac{m+9n}{m^2-n^2} \cdot \frac{m+n}{m+9n}$
Разложим знаменатель $m^2-n^2 = (m-n)(m+n)$:
$\frac{m+9n}{(m-n)(m+n)} \cdot \frac{m+n}{m+9n}$
Сократим общие множители $(m+9n)$ и $(m+n)$ (при $m \neq -n, m \neq -9n$):
$\frac{1}{m-n}$

Ответ: $\frac{1}{m-n}$

$\frac{x-2}{x+2} \cdot (x - \frac{x^2}{x-2})$
Упростим выражение в скобках, приведя к общему знаменателю $x-2$:
$x - \frac{x^2}{x-2} = \frac{x(x-2)}{x-2} - \frac{x^2}{x-2} = \frac{x^2-2x-x^2}{x-2} = \frac{-2x}{x-2}$
Выполним умножение:
$\frac{x-2}{x+2} \cdot \frac{-2x}{x-2}$
Сократим общий множитель $(x-2)$ (при $x \neq 2$):
$\frac{-2x}{x+2}$

Ответ: $\frac{-2x}{x+2}$

$\frac{x^2+x}{4} : \frac{x^2}{4} + \frac{x-1}{x}$
Согласно порядку действий, сначала выполним деление:
$\frac{x^2+x}{4} : \frac{x^2}{4} = \frac{x(x+1)}{4} \cdot \frac{4}{x^2}$
Сократим общие множители $4$ и $x$ (при $x \neq 0$):
$\frac{x+1}{x}$
Теперь выполним сложение:
$\frac{x+1}{x} + \frac{x-1}{x}$
Так как знаменатели одинаковы, сложим числители:
$\frac{(x+1) + (x-1)}{x} = \frac{x+1+x-1}{x} = \frac{2x}{x} = 2$

Ответ: $2$

$\frac{6c^2}{c^2-1} : (\frac{1}{c-1} + 1)$
Упростим выражение в скобках, приведя к общему знаменателю $c-1$:
$\frac{1}{c-1} + 1 = \frac{1}{c-1} + \frac{c-1}{c-1} = \frac{1+c-1}{c-1} = \frac{c}{c-1}$
Выполним деление, разложив знаменатель $c^2-1 = (c-1)(c+1)$:
$\frac{6c^2}{(c-1)(c+1)} : \frac{c}{c-1}$
Заменим деление умножением на обратную дробь:
$\frac{6c^2}{(c-1)(c+1)} \cdot \frac{c-1}{c}$
Сократим общие множители $(c-1)$ и $c$ (при $c \neq 1, c \neq 0$):
$\frac{6c}{c+1}$

Ответ: $\frac{6c}{c+1}$

$(\frac{x}{x+y} + \frac{y}{x-y}) \cdot \frac{x^2+xy}{x^2+y^2}$
Упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $(x+y)(x-y) = x^2-y^2$:
$\frac{x(x-y) + y(x+y)}{(x+y)(x-y)} = \frac{x^2 - xy + xy + y^2}{x^2-y^2} = \frac{x^2+y^2}{x^2-y^2}$
Выполним умножение. Разложим числитель второй дроби и знаменатель первой на множители:
$\frac{x^2+y^2}{(x-y)(x+y)} \cdot \frac{x(x+y)}{x^2+y^2}$
Сократим общие множители $(x^2+y^2)$ и $(x+y)$ (при $x \neq -y$ и $x^2+y^2 \neq 0$):
$\frac{x}{x-y}$

Ответ: $\frac{x}{x-y}$