Страница 40 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

161. Найдите значение выражения:

1) $\frac{1}{a^2 - ab} : \frac{b}{b^2 - a^2}$, если $a = 2\frac{1}{3}$, $b = -\frac{3}{7}$;

2) $\frac{a^2 + 4ab + 4b^2}{a^2 - 9b^2} : \frac{3a + 6b}{2a - 6b}$, если $a = 4$, $b = -5$.

1) Сначала упростим данное выражение. Деление дробей заменяется умножением на обратную дробь:

$\frac{1}{a^2 - ab} : \frac{b}{b^2 - a^2} = \frac{1}{a^2 - ab} \cdot \frac{b^2 - a^2}{b}$

Разложим на множители числитель и знаменатель каждой дроби, используя формулу разности квадратов $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$ и вынесение общего множителя за скобки:

$a^2 - ab = a(a-b)$

$b^2 - a^2 = (b-a)(b+a) = -(a-b)(a+b)$

Подставим разложенные выражения обратно в формулу:

$\frac{1}{a(a-b)} \cdot \frac{-(a-b)(a+b)}{b}$

Сократим общие множители $(a-b)$:

$\frac{1}{a} \cdot \frac{-(a+b)}{b} = -\frac{a+b}{ab}$

Теперь подставим числовые значения $a = 2\frac{1}{3}$ и $b = -\frac{3}{7}$.

Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь:

$a = 2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$

Подставим значения $a$ и $b$ в упрощенное выражение:

$-\frac{a+b}{ab} = -\frac{\frac{7}{3} + (-\frac{3}{7})}{\frac{7}{3} \cdot (-\frac{3}{7})} = -\frac{\frac{7 \cdot 7 - 3 \cdot 3}{21}}{-1} = \frac{\frac{49 - 9}{21}}{1} = \frac{40}{21}$

Ответ: $\frac{40}{21}$

2) Сначала упростим выражение. Заменим деление умножением на обратную дробь:

$\frac{a^2 + 4ab + 4b^2}{a^2 - 9b^2} : \frac{3a + 6b}{2a - 6b} = \frac{a^2 + 4ab + 4b^2}{a^2 - 9b^2} \cdot \frac{2a - 6b}{3a + 6b}$

Разложим на множители числители и знаменатели, используя формулу квадрата суммы $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$, разности квадратов $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$ и вынесение общего множителя за скобки:

$a^2 + 4ab + 4b^2 = (a+2b)^2$

$a^2 - 9b^2 = a^2 - (3b)^2 = (a-3b)(a+3b)$

$2a - 6b = 2(a-3b)$

$3a + 6b = 3(a+2b)$

Подставим разложенные выражения обратно:

$\frac{(a+2b)^2}{(a-3b)(a+3b)} \cdot \frac{2(a-3b)}{3(a+2b)}$

Сократим общие множители $(a+2b)$ и $(a-3b)$:

$\frac{a+2b}{a+3b} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2(a+2b)}{3(a+3b)}$

Теперь подставим числовые значения $a = 4$ и $b = -5$ в упрощенное выражение:

$\frac{2(4 + 2(-5))}{3(4 + 3(-5))} = \frac{2(4 - 10)}{3(4 - 15)} = \frac{2(-6)}{3(-11)} = \frac{-12}{-33} = \frac{12}{33}$

Сократим полученную дробь на 3:

$\frac{12}{33} = \frac{4}{11}$

Ответ: $\frac{4}{11}$

162. Известно, что $x - \frac{1}{x} = 9$. Найдите значение выражения $x^2 + \frac{1}{x^2}$.

Для того чтобы найти значение выражения $x^2 + \frac{1}{x^2}$, имея значение выражения $x - \frac{1}{x}$, необходимо возвести в квадрат обе части исходного равенства.

Исходное равенство: $x - \frac{1}{x} = 9$

Возводим обе части в квадрат: $(x - \frac{1}{x})^2 = 9^2$

Раскроем скобки в левой части уравнения, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a=x$ и $b=\frac{1}{x}$: $x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + (\frac{1}{x})^2 = 81$

Упростим средний член в левой части уравнения: $x^2 - 2 + \frac{1}{x^2} = 81$

Теперь выразим искомую сумму $x^2 + \frac{1}{x^2}$, перенеся $-2$ из левой части в правую с противоположным знаком: $x^2 + \frac{1}{x^2} = 81 + 2$

Выполним сложение в правой части: $x^2 + \frac{1}{x^2} = 83$

Ответ: 83

163. Известно, что $3x + \frac{1}{x} = -4$. Найдите значение выражения $9x^2 + \frac{1}{x^2}$.

Для того чтобы найти значение выражения $9x^2 + \frac{1}{x^2}$, имея известное равенство $3x + \frac{1}{x} = -4$, необходимо возвести обе части этого равенства в квадрат.

Запишем это:

$(3x + \frac{1}{x})^2 = (-4)^2$

Теперь раскроем скобки в левой части уравнения, используя формулу сокращенного умножения для квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. В нашем случае $a = 3x$ и $b = \frac{1}{x}$.

$(3x)^2 + 2 \cdot (3x) \cdot (\frac{1}{x}) + (\frac{1}{x})^2 = 16$

Упростим полученное выражение. Обратите внимание, что $x$ в числителе и знаменателе среднего члена сокращаются ($x \ne 0$, так как он стоит в знаменателе в исходном выражении).

$9x^2 + 2 \cdot 3 \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x^2} = 16$

$9x^2 + 6 + \frac{1}{x^2} = 16$

Мы получили уравнение, которое содержит искомое выражение $9x^2 + \frac{1}{x^2}$. Чтобы найти его значение, перенесем 6 из левой части в правую с противоположным знаком:

$9x^2 + \frac{1}{x^2} = 16 - 6$

$9x^2 + \frac{1}{x^2} = 10$

Таким образом, значение искомого выражения равно 10.

Ответ: 10

164. Дано: $x^2 + \frac{16}{x^2} = 41$. Найдите значение выражения $x + \frac{4}{x}$.

Для того чтобы найти значение выражения $x + \frac{4}{x}$, воспользуемся методом выделения полного квадрата. Рассмотрим квадрат искомого выражения, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

В нашем случае, $a = x$ и $b = \frac{4}{x}$.

Возведем выражение $x + \frac{4}{x}$ в квадрат:

$(x + \frac{4}{x})^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{4}{x} + (\frac{4}{x})^2$

Упростим средний член выражения:

$(x + \frac{4}{x})^2 = x^2 + 8 + \frac{16}{x^2}$

Теперь сгруппируем члены, чтобы использовать известное нам из условия значение:

$(x + \frac{4}{x})^2 = (x^2 + \frac{16}{x^2}) + 8$

По условию задачи дано, что $x^2 + \frac{16}{x^2} = 41$. Подставим это значение в полученное равенство:

$(x + \frac{4}{x})^2 = 41 + 8$

$(x + \frac{4}{x})^2 = 49$

Чтобы найти значение самого выражения $x + \frac{4}{x}$, необходимо извлечь квадратный корень из 49. Важно помнить, что уравнение $y^2 = 49$ имеет два решения: $y = 7$ и $y = -7$.

$x + \frac{4}{x} = \sqrt{49}$ или $x + \frac{4}{x} = -\sqrt{49}$

$x + \frac{4}{x} = 7$ или $x + \frac{4}{x} = -7$

Таким образом, выражение может принимать два возможных значения.

Ответ: $7$ или $-7$.

165. Дано: $x^2 + \frac{1}{x^2} = 6$. Найдите значение выражения $x - \frac{1}{x}$.

Для решения этой задачи мы воспользуемся алгебраическими преобразованиями. Нам нужно найти значение выражения $x - \frac{1}{x}$, зная, что $x^2 + \frac{1}{x^2} = 6$.

Ключевая идея состоит в том, чтобы связать искомое выражение с данным через возведение в квадрат. Рассмотрим квадрат выражения $x - \frac{1}{x}$:

$(x - \frac{1}{x})^2$

Применим формулу сокращенного умножения для квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В нашем случае $a=x$ и $b=\frac{1}{x}$.

$(x - \frac{1}{x})^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + (\frac{1}{x})^2$

Упростим средний член выражения:

$(x - \frac{1}{x})^2 = x^2 - 2 + \frac{1}{x^2}$

Теперь мы можем перегруппировать члены, чтобы использовать данное в условии равенство:

$(x - \frac{1}{x})^2 = (x^2 + \frac{1}{x^2}) - 2$

Нам известно, что $x^2 + \frac{1}{x^2} = 6$. Подставим это значение в наше уравнение:

$(x - \frac{1}{x})^2 = 6 - 2$

$(x - \frac{1}{x})^2 = 4$

Теперь, чтобы найти значение $x - \frac{1}{x}$, нужно извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения. Следует помнить, что уравнение вида $y^2=a$ (где $a>0$) имеет два решения: $y = \sqrt{a}$ и $y = -\sqrt{a}$.

$x - \frac{1}{x} = \pm \sqrt{4}$

$x - \frac{1}{x} = \pm 2$

Следовательно, искомое выражение может принимать два значения.

Ответ: 2 или -2.

166. Упростите выражение:

1) $\frac{a^2 - 36}{a^2 + ab - 6a - 6b} : \frac{a^2 + ab + 6a + 6b}{a^2 + 2ab + b^2};$

2) $\frac{a^2 + a - ab - b}{a^2 + a + ab + b} : \frac{a^2 - a - ab + b}{a^2 - a + ab - b}.$

1) Исходное выражение: $ \frac{a^2 - 36}{a^2 + ab - 6a - 6b} : \frac{a^2 + ab + 6a + 6b}{a^2 + 2ab + b^2} $
Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй (перевернуть вторую дробь):
$ \frac{a^2 - 36}{a^2 + ab - 6a - 6b} \cdot \frac{a^2 + 2ab + b^2}{a^2 + ab + 6a + 6b} $
Теперь разложим на множители числители и знаменатели дробей.
Числитель первой дроби: $a^2 - 36 = a^2 - 6^2 = (a - 6)(a + 6)$ (формула разности квадратов).
Знаменатель первой дроби: $a^2 + ab - 6a - 6b = (a^2 + ab) - (6a + 6b) = a(a + b) - 6(a + b) = (a - 6)(a + b)$ (метод группировки).
Числитель второй дроби: $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$ (формула квадрата суммы).
Знаменатель второй дроби: $a^2 + ab + 6a + 6b = (a^2 + ab) + (6a + 6b) = a(a + b) + 6(a + b) = (a + 6)(a + b)$ (метод группировки).
Подставим разложенные выражения обратно и сократим общие множители:
$ \frac{(a - 6)(a + 6)}{(a - 6)(a + b)} \cdot \frac{(a + b)^2}{(a + 6)(a + b)} = \frac{\cancel{(a - 6)}\cancel{(a + 6)}}{\cancel{(a - 6)}(a + b)} \cdot \frac{(a + b)^2}{\cancel{(a + 6)}(a + b)} = \frac{(a + b)^2}{(a + b)(a + b)} = \frac{(a + b)^2}{(a + b)^2} = 1 $
Ответ: $1$

2) Исходное выражение: $ \frac{a^2 + a - ab - b}{a^2 + a + ab + b} : \frac{a^2 - a - ab + b}{a^2 - a + ab - b} $
Заменим деление умножением на обратную дробь:
$ \frac{a^2 + a - ab - b}{a^2 + a + ab + b} \cdot \frac{a^2 - a + ab - b}{a^2 - a - ab + b} $
Разложим на множители все числители и знаменатели методом группировки.
$a^2 + a - ab - b = (a^2 + a) - (ab + b) = a(a + 1) - b(a + 1) = (a - b)(a + 1)$
$a^2 + a + ab + b = (a^2 + a) + (ab + b) = a(a + 1) + b(a + 1) = (a + b)(a + 1)$
$a^2 - a + ab - b = (a^2 - a) + (ab - b) = a(a - 1) + b(a - 1) = (a + b)(a - 1)$
$a^2 - a - ab + b = (a^2 - a) - (ab - b) = a(a - 1) - b(a - 1) = (a - b)(a - 1)$
Подставим разложения в выражение и проведем сокращение:
$ \frac{(a - b)(a + 1)}{(a + b)(a + 1)} \cdot \frac{(a + b)(a - 1)}{(a - b)(a - 1)} = \frac{\cancel{(a - b)}\cancel{(a + 1)}}{\cancel{(a + b)}\cancel{(a + 1)}} \cdot \frac{\cancel{(a + b)}\cancel{(a - 1)}}{\cancel{(a - b)}\cancel{(a - 1)}} = 1 \cdot 1 = 1 $
Ответ: $1$

167. Упростите выражение:

1) $\frac{25 - 5a + 5b - ab}{25 + 5a - 5b - ab} \cdot \frac{ab - 5a - 5b + 25}{ab + 5a + 5b + 25}$

2) $\frac{a^2 - 2ab + b^2}{a^2 - ab - 4a + 4b} : \frac{a^2 - ab + 4a - 4b}{a^2 - 16}$

1) Для упрощения данного выражения необходимо разложить на множители числители и знаменатели каждой дроби, а затем выполнить умножение и сократить общие множители.

Разложим на множители числитель первой дроби методом группировки:

$25 - 5a + 5b - ab = (25 - 5a) + (5b - ab) = 5(5 - a) + b(5 - a) = (5 - a)(5 + b)$.

Разложим на множители знаменатель первой дроби:

$25 + 5a - 5b - ab = (25 + 5a) - (5b + ab) = 5(5 + a) - b(5 + a) = (5 + a)(5 - b)$.

Разложим на множители числитель второй дроби:

$ab - 5a - 5b + 25 = (ab - 5a) - (5b - 25) = a(b - 5) - 5(b - 5) = (a - 5)(b - 5)$.

Разложим на множители знаменатель второй дроби:

$ab + 5a + 5b + 25 = (ab + 5a) + (5b + 25) = a(b + 5) + 5(b + 5) = (a + 5)(b + 5)$.

Теперь подставим полученные разложения в исходное выражение:

$\frac{(5 - a)(5 + b)}{(5 + a)(5 - b)} \cdot \frac{(a - 5)(b - 5)}{(a + 5)(b + 5)}$

Заметим, что $(a - 5) = -(5 - a)$ и $(b - 5) = -(5 - b)$. Тогда их произведение $(a - 5)(b - 5) = (-(5 - a)) \cdot (-(5 - b)) = (5 - a)(5 - b)$. Также $(a + 5) = (5 + a)$ и $(b + 5) = (5 + b)$.

Перепишем выражение с учетом этого:

$\frac{(5 - a)(5 + b)}{(5 + a)(5 - b)} \cdot \frac{(5 - a)(5 - b)}{(5 + a)(5 + b)} = \frac{(5 - a)(5 + b)(5 - a)(5 - b)}{(5 + a)(5 - b)(5 + a)(5 + b)}$

Сокращаем общие множители $(5 + b)$ и $(5 - b)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{(5 - a)(5 - a)}{(5 + a)(5 + a)} = \frac{(5 - a)^2}{(5 + a)^2} = \left(\frac{5 - a}{5 + a}\right)^2$.

Ответ: $\left(\frac{5 - a}{5 + a}\right)^2$.

2) Для упрощения данного выражения заменим операцию деления на умножение, перевернув вторую дробь (делитель), а затем разложим все числители и знаменатели на множители и сократим.

$\frac{a^2 - 2ab + b^2}{a^2 - ab - 4a + 4b} : \frac{a^2 - ab + 4a - 4b}{a^2 - 16} = \frac{a^2 - 2ab + b^2}{a^2 - ab - 4a + 4b} \cdot \frac{a^2 - 16}{a^2 - ab + 4a - 4b}$

Разложим на множители выражения в числителях и знаменателях.

Числитель первой дроби — это формула квадрата разности:

$a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$.

Знаменатель первой дроби разложим методом группировки:

$a^2 - ab - 4a + 4b = (a^2 - ab) - (4a - 4b) = a(a - b) - 4(a - b) = (a - b)(a - 4)$.

Числитель второй дроби (бывший знаменатель) — это формула разности квадратов:

$a^2 - 16 = a^2 - 4^2 = (a - 4)(a + 4)$.

Знаменатель второй дроби (бывший числитель) разложим методом группировки:

$a^2 - ab + 4a - 4b = (a^2 - ab) + (4a - 4b) = a(a - b) + 4(a - b) = (a - b)(a + 4)$.

Подставим разложения в выражение:

$\frac{(a - b)^2}{(a - b)(a - 4)} \cdot \frac{(a - 4)(a + 4)}{(a - b)(a + 4)}$

Объединим дроби и запишем $(a-b)^2$ как $(a-b)(a-b)$ для наглядности сокращения:

$\frac{(a - b)(a - b)(a - 4)(a + 4)}{(a - b)(a - 4)(a - b)(a + 4)}$

Сокращаем одинаковые множители в числителе и знаменателе: $(a - b)$, еще один $(a - b)$, $(a - 4)$ и $(a + 4)$. В результате все множители сокращаются.

$\frac{\cancel{(a - b)}\cancel{(a - b)}\cancel{(a - 4)}\cancel{(a + 4)}}{\cancel{(a - b)}\cancel{(a - 4)}\cancel{(a - b)}\cancel{(a + 4)}} = 1$.

Ответ: $1$.

168. Докажите тождество:

$\frac{8a^2}{a-3b} : \frac{6a^3}{a^2-9b^2} \cdot \frac{3a}{4a+12b} = 1.$

Чтобы доказать тождество, необходимо преобразовать его левую часть и показать, что она равна 1. Будем выполнять действия по порядку: сначала деление, затем умножение.

Исходное выражение: $ \frac{8a^2}{a - 3b} : \frac{6a^3}{a^2 - 9b^2} \cdot \frac{3a}{4a + 12b} $

1. Первым действием выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную (перевернутую) дробь:

$ \frac{8a^2}{a - 3b} : \frac{6a^3}{a^2 - 9b^2} = \frac{8a^2}{a - 3b} \cdot \frac{a^2 - 9b^2}{6a^3} $

2. Теперь подставим результат обратно в исходное выражение. Все операции теперь являются умножением, поэтому мы можем записать все множители под одной дробной чертой:

$ \frac{8a^2 \cdot (a^2 - 9b^2) \cdot 3a}{(a - 3b) \cdot 6a^3 \cdot (4a + 12b)} $

3. Для упрощения выражения разложим на множители многочлены в числителе и знаменателе. Используем формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$ и вынесение общего множителя за скобки:

• $ a^2 - 9b^2 = a^2 - (3b)^2 = (a - 3b)(a + 3b) $
• $ 4a + 12b = 4(a + 3b) $

4. Подставим разложенные на множители выражения в нашу дробь:

$ \frac{8a^2 \cdot (a - 3b)(a + 3b) \cdot 3a}{(a - 3b) \cdot 6a^3 \cdot 4(a + 3b)} $

5. Теперь можно сократить общие множители в числителе и знаменателе:

• Сокращаем $(a-3b)$: $ \frac{8a^2 \cdot (a + 3b) \cdot 3a}{6a^3 \cdot 4(a + 3b)} $
• Сокращаем $(a+3b)$: $ \frac{8a^2 \cdot 3a}{6a^3 \cdot 4} $

6. Выполним умножение оставшихся членов в числителе и знаменателе:

• Числитель: $ 8a^2 \cdot 3a = 24a^3 $
• Знаменатель: $ 6a^3 \cdot 4 = 24a^3 $

7. В результате получаем дробь:

$ \frac{24a^3}{24a^3} $

При условии, что $a \neq 0$, $a \neq 3b$ и $a \neq -3b$ (чтобы знаменатели исходных дробей не были равны нулю), мы можем сократить эту дробь:

$ \frac{24a^3}{24a^3} = 1 $

Мы преобразовали левую часть выражения и получили 1. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Левая часть тождества после упрощения равна 1, что и требовалось доказать.

169. Докажите тождество:

$\frac{a^2 + a}{2a - 12} \cdot \frac{6a + 6}{2a + 12} : \frac{9a^3 + 18a^2 + 9a}{a^2 - 36} = \frac{1}{6}.$

Чтобы доказать тождество, необходимо преобразовать его левую часть и показать, что она равна правой части, то есть $1/6$.

Левая часть выражения:

$$ \frac{a^2 + a}{2a - 12} \cdot \frac{6a + 6}{2a + 12} : \frac{9a^3 + 18a^2 + 9a}{a^2 - 36} $$

Первым шагом заменим операцию деления на умножение на обратную (перевернутую) дробь:

$$ \frac{a^2 + a}{2a - 12} \cdot \frac{6a + 6}{2a + 12} \cdot \frac{a^2 - 36}{9a^3 + 18a^2 + 9a} $$

Далее, разложим на множители каждый числитель и знаменатель:

В числителе первой дроби вынесем общий множитель $a$:
$a^2 + a = a(a + 1)$

В знаменателе первой дроби вынесем общий множитель $2$:
$2a - 12 = 2(a - 6)$

В числителе второй дроби вынесем общий множитель $6$:
$6a + 6 = 6(a + 1)$

В знаменателе второй дроби вынесем общий множитель $2$:
$2a + 12 = 2(a + 6)$

Числитель третьей дроби разложим по формуле разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:
$a^2 - 36 = a^2 - 6^2 = (a - 6)(a + 6)$

В знаменателе третьей дроби сначала вынесем общий множитель $9a$, а затем применим формулу квадрата суммы $x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2$:
$9a^3 + 18a^2 + 9a = 9a(a^2 + 2a + 1) = 9a(a + 1)^2$

Теперь подставим полученные разложения в наше выражение:

$$ \frac{a(a + 1)}{2(a - 6)} \cdot \frac{6(a + 1)}{2(a + 6)} \cdot \frac{(a - 6)(a + 6)}{9a(a + 1)^2} $$

Запишем все множители под одной дробной чертой:

$$ \frac{a \cdot (a + 1) \cdot 6 \cdot (a + 1) \cdot (a - 6) \cdot (a + 6)}{2 \cdot (a - 6) \cdot 2 \cdot (a + 6) \cdot 9a \cdot (a + 1)^2} $$

Сгруппируем и упростим множители в числителе и знаменателе:

$$ \frac{6 \cdot a \cdot (a+1)^2 \cdot (a-6) \cdot (a+6)}{36 \cdot a \cdot (a-6) \cdot (a+6) \cdot (a+1)^2} $$

Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе: $a$, $(a+1)^2$, $(a-6)$, и $(a+6)$. После сокращения получим:

$$ \frac{6}{36} $$

Сократим числовую дробь:

$$ \frac{6}{36} = \frac{1}{6} $$

Таким образом, левая часть тождества равна $1/6$, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано, так как в результате преобразований левая часть выражения оказалась равна правой части.

170. Решите уравнение:

1) $(2x + 3)^2 - 2x (5 + 2x) = 10;$

2) $(x - 2)(x - 3) - (x - 6)(x + 1) = 12.$

1) $(2x + 3)^2 - 2x(5 + 2x) = 10$

Для решения этого уравнения сначала раскроем скобки. Для первого слагаемого используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Для второго слагаемого применим распределительный закон умножения.

$(2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 3 + 3^2 - (2x \cdot 5 + 2x \cdot 2x) = 10$

$4x^2 + 12x + 9 - (10x + 4x^2) = 10$

Теперь раскроем вторые скобки, поменяв знаки слагаемых внутри них на противоположные:

$4x^2 + 12x + 9 - 10x - 4x^2 = 10$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$(4x^2 - 4x^2) + (12x - 10x) + 9 = 10$

$2x + 9 = 10$

Перенесем 9 в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:

$2x = 10 - 9$

$2x = 1$

Разделим обе части уравнения на 2, чтобы найти $x$:

$x = \frac{1}{2}$

Ответ: $x = \frac{1}{2}$

2) $(x - 2)(x - 3) - (x - 6)(x + 1) = 12$

Раскроем скобки в левой части уравнения, перемножив многочлены по правилу "каждый с каждым":

$(x \cdot x - 3 \cdot x - 2 \cdot x + (-2) \cdot (-3)) - (x \cdot x + 1 \cdot x - 6 \cdot x + (-6) \cdot 1) = 12$

$(x^2 - 3x - 2x + 6) - (x^2 + x - 6x - 6) = 12$

Приведем подобные слагаемые внутри каждой скобки:

$(x^2 - 5x + 6) - (x^2 - 5x - 6) = 12$

Теперь раскроем вторые скобки, поменяв знаки всех слагаемых внутри них на противоположные:

$x^2 - 5x + 6 - x^2 + 5x + 6 = 12$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$(x^2 - x^2) + (-5x + 5x) + (6 + 6) = 12$

$0 + 0 + 12 = 12$

$12 = 12$

В результате преобразований мы получили верное числовое равенство, которое не зависит от переменной $x$. Это означает, что исходное уравнение является тождеством, и его решением является любое действительное число.

Ответ: $x$ — любое число.

171. Докажите, что уравнение $ \frac{2x+1}{3} - \frac{x-4}{2} = \frac{x+5}{6} $ не имеет корней.

Для того чтобы доказать, что данное уравнение не имеет корней, необходимо его решить. Если в процессе решения мы придем к неверному числовому равенству, это будет означать, что ни одно значение переменной $x$ не может удовлетворить исходному уравнению.

Исходное уравнение:

$\frac{2x+1}{3} - \frac{x-4}{2} = \frac{x+5}{6}$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель дробей. В данном случае знаменатели равны 3, 2 и 6. Наименьшее общее кратное (НОК) для этих чисел равно 6.

Умножим каждый член уравнения на 6:

$6 \cdot \left(\frac{2x+1}{3}\right) - 6 \cdot \left(\frac{x-4}{2}\right) = 6 \cdot \left(\frac{x+5}{6}\right)$

Сократим дроби, выполнив умножение:

$2(2x+1) - 3(x-4) = 1(x+5)$

Теперь раскроем скобки:

$4x + 2 - (3x - 12) = x + 5$

$4x + 2 - 3x + 12 = x + 5$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$(4x - 3x) + (2 + 12) = x + 5$

$x + 14 = x + 5$

Перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть уравнения, а числовые слагаемые — в правую:

$x - x = 5 - 14$

$0 \cdot x = -9$

$0 = -9$

В результате преобразований мы получили неверное числовое равенство $0 = -9$. Это равенство является ложным при любом значении переменной $x$. Следовательно, не существует такого значения $x$, при котором исходное уравнение обратилось бы в верное равенство.

Ответ: данное уравнение не имеет корней, так как его решение приводит к неверному числовому равенству $0 = -9$.

172. Из пункта A в пункт B, расстояние между которыми равно 192 км, со скоростью 60 км/ч выехал мотоциклист. Через 30 мин навстречу ему из пункта B со скоростью 75 км/ч выехал второй мотоциклист. Сколько времени ехал второй мотоциклист до встречи с первым?

Для решения этой задачи сначала определим, какое расстояние проехал первый мотоциклист за то время, пока второй еще не выехал. Первый мотоциклист ехал один в течение 30 минут.

Переведем 30 минут в часы: $30 \text{ мин} = 0,5 \text{ ч}$. Скорость первого мотоциклиста $v_1 = 60 \text{ км/ч}$. Найдем расстояние $S_1$, которое он проехал за это время: $S_1 = v_1 \cdot t = 60 \text{ км/ч} \cdot 0,5 \text{ ч} = 30 \text{ км}$.

Изначально расстояние между пунктами А и В было $S_{общ} = 192 \text{ км}$. После того как первый мотоциклист проехал 30 км, расстояние между ним и вторым мотоциклистом (который только начал движение из пункта В) стало: $S_{ост} = S_{общ} - S_1 = 192 \text{ км} - 30 \text{ км} = 162 \text{ км}$.

Теперь оба мотоциклиста движутся навстречу друг другу. Найдем их скорость сближения, которая равна сумме их скоростей. Скорость первого мотоциклиста $v_1 = 60 \text{ км/ч}$. Скорость второго мотоциклиста $v_2 = 75 \text{ км/ч}$. Скорость сближения: $v_{сбл} = v_1 + v_2 = 60 \text{ км/ч} + 75 \text{ км/ч} = 135 \text{ км/ч}$.

Время, которое ехал второй мотоциклист до встречи, равно времени, за которое они вместе преодолели оставшееся расстояние $S_{ост}$ со скоростью сближения $v_{сбл}$. $t_{встречи} = \frac{S_{ост}}{v_{сбл}} = \frac{162 \text{ км}}{135 \text{ км/ч}}$.

Вычислим это значение: $t_{встречи} = 1,2 \text{ ч}$. Можно также выразить это время в часах и минутах: $1,2 \text{ ч} = 1 \text{ час } + 0,2 \text{ ч} = 1 \text{ час } + (0,2 \cdot 60) \text{ мин} = 1 \text{ час } 12 \text{ минут}$.

Ответ: второй мотоциклист ехал до встречи с первым 1,2 часа (или 1 час 12 минут).