Номер 170, страница 40 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 5. Умножение и деление рациональных дробей. Возведение рациональной дроби в степень. Глава 1. Рациональные выражения - номер 170, страница 40.

Условие.

170. Решите уравнение:

1) $(2x + 3)^2 - 2x (5 + 2x) = 10;$

2) $(x - 2)(x - 3) - (x - 6)(x + 1) = 12.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $(2x + 3)^2 - 2x(5 + 2x) = 10$

Для решения этого уравнения сначала раскроем скобки. Для первого слагаемого используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Для второго слагаемого применим распределительный закон умножения.

$(2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 3 + 3^2 - (2x \cdot 5 + 2x \cdot 2x) = 10$

$4x^2 + 12x + 9 - (10x + 4x^2) = 10$

Теперь раскроем вторые скобки, поменяв знаки слагаемых внутри них на противоположные:

$4x^2 + 12x + 9 - 10x - 4x^2 = 10$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$(4x^2 - 4x^2) + (12x - 10x) + 9 = 10$

$2x + 9 = 10$

Перенесем 9 в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:

$2x = 10 - 9$

$2x = 1$

Разделим обе части уравнения на 2, чтобы найти $x$:

$x = \frac{1}{2}$

Ответ: $x = \frac{1}{2}$

---

2) $(x - 2)(x - 3) - (x - 6)(x + 1) = 12$

Раскроем скобки в левой части уравнения, перемножив многочлены по правилу "каждый с каждым":

$(x \cdot x - 3 \cdot x - 2 \cdot x + (-2) \cdot (-3)) - (x \cdot x + 1 \cdot x - 6 \cdot x + (-6) \cdot 1) = 12$

$(x^2 - 3x - 2x + 6) - (x^2 + x - 6x - 6) = 12$

Приведем подобные слагаемые внутри каждой скобки:

$(x^2 - 5x + 6) - (x^2 - 5x - 6) = 12$

Теперь раскроем вторые скобки, поменяв знаки всех слагаемых внутри них на противоположные:

$x^2 - 5x + 6 - x^2 + 5x + 6 = 12$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$(x^2 - x^2) + (-5x + 5x) + (6 + 6) = 12$

$0 + 0 + 12 = 12$

$12 = 12$

В результате преобразований мы получили верное числовое равенство, которое не зависит от переменной $x$. Это означает, что исходное уравнение является тождеством, и его решением является любое действительное число.

Ответ: $x$ — любое число.