Номер 166, страница 40 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 5. Умножение и деление рациональных дробей. Возведение рациональной дроби в степень. Упражнения - номер 166, страница 40.

Условие.

166. Упростите выражение:

1) $\frac{a^2 - 36}{a^2 + ab - 6a - 6b} : \frac{a^2 + ab + 6a + 6b}{a^2 + 2ab + b^2};$

2) $\frac{a^2 + a - ab - b}{a^2 + a + ab + b} : \frac{a^2 - a - ab + b}{a^2 - a + ab - b}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Исходное выражение: $ \frac{a^2 - 36}{a^2 + ab - 6a - 6b} : \frac{a^2 + ab + 6a + 6b}{a^2 + 2ab + b^2} $
Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй (перевернуть вторую дробь):
$ \frac{a^2 - 36}{a^2 + ab - 6a - 6b} \cdot \frac{a^2 + 2ab + b^2}{a^2 + ab + 6a + 6b} $
Теперь разложим на множители числители и знаменатели дробей.
Числитель первой дроби: $a^2 - 36 = a^2 - 6^2 = (a - 6)(a + 6)$ (формула разности квадратов).
Знаменатель первой дроби: $a^2 + ab - 6a - 6b = (a^2 + ab) - (6a + 6b) = a(a + b) - 6(a + b) = (a - 6)(a + b)$ (метод группировки).
Числитель второй дроби: $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$ (формула квадрата суммы).
Знаменатель второй дроби: $a^2 + ab + 6a + 6b = (a^2 + ab) + (6a + 6b) = a(a + b) + 6(a + b) = (a + 6)(a + b)$ (метод группировки).
Подставим разложенные выражения обратно и сократим общие множители:
$ \frac{(a - 6)(a + 6)}{(a - 6)(a + b)} \cdot \frac{(a + b)^2}{(a + 6)(a + b)} = \frac{\cancel{(a - 6)}\cancel{(a + 6)}}{\cancel{(a - 6)}(a + b)} \cdot \frac{(a + b)^2}{\cancel{(a + 6)}(a + b)} = \frac{(a + b)^2}{(a + b)(a + b)} = \frac{(a + b)^2}{(a + b)^2} = 1 $
Ответ: $1$

2) Исходное выражение: $ \frac{a^2 + a - ab - b}{a^2 + a + ab + b} : \frac{a^2 - a - ab + b}{a^2 - a + ab - b} $
Заменим деление умножением на обратную дробь:
$ \frac{a^2 + a - ab - b}{a^2 + a + ab + b} \cdot \frac{a^2 - a + ab - b}{a^2 - a - ab + b} $
Разложим на множители все числители и знаменатели методом группировки.
$a^2 + a - ab - b = (a^2 + a) - (ab + b) = a(a + 1) - b(a + 1) = (a - b)(a + 1)$
$a^2 + a + ab + b = (a^2 + a) + (ab + b) = a(a + 1) + b(a + 1) = (a + b)(a + 1)$
$a^2 - a + ab - b = (a^2 - a) + (ab - b) = a(a - 1) + b(a - 1) = (a + b)(a - 1)$
$a^2 - a - ab + b = (a^2 - a) - (ab - b) = a(a - 1) - b(a - 1) = (a - b)(a - 1)$
Подставим разложения в выражение и проведем сокращение:
$ \frac{(a - b)(a + 1)}{(a + b)(a + 1)} \cdot \frac{(a + b)(a - 1)}{(a - b)(a - 1)} = \frac{\cancel{(a - b)}\cancel{(a + 1)}}{\cancel{(a + b)}\cancel{(a + 1)}} \cdot \frac{\cancel{(a + b)}\cancel{(a - 1)}}{\cancel{(a - b)}\cancel{(a - 1)}} = 1 \cdot 1 = 1 $
Ответ: $1$