Номер 168, страница 40 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 5. Умножение и деление рациональных дробей. Возведение рациональной дроби в степень. Глава 1. Рациональные выражения - номер 168, страница 40.

Условие.

168. Докажите тождество:

$\frac{8a^2}{a-3b} : \frac{6a^3}{a^2-9b^2} \cdot \frac{3a}{4a+12b} = 1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Чтобы доказать тождество, необходимо преобразовать его левую часть и показать, что она равна 1. Будем выполнять действия по порядку: сначала деление, затем умножение.

Исходное выражение: $ \frac{8a^2}{a - 3b} : \frac{6a^3}{a^2 - 9b^2} \cdot \frac{3a}{4a + 12b} $

1. Первым действием выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную (перевернутую) дробь:

$ \frac{8a^2}{a - 3b} : \frac{6a^3}{a^2 - 9b^2} = \frac{8a^2}{a - 3b} \cdot \frac{a^2 - 9b^2}{6a^3} $

2. Теперь подставим результат обратно в исходное выражение. Все операции теперь являются умножением, поэтому мы можем записать все множители под одной дробной чертой:

$ \frac{8a^2 \cdot (a^2 - 9b^2) \cdot 3a}{(a - 3b) \cdot 6a^3 \cdot (4a + 12b)} $

3. Для упрощения выражения разложим на множители многочлены в числителе и знаменателе. Используем формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$ и вынесение общего множителя за скобки:

• $ a^2 - 9b^2 = a^2 - (3b)^2 = (a - 3b)(a + 3b) $
• $ 4a + 12b = 4(a + 3b) $

4. Подставим разложенные на множители выражения в нашу дробь:

$ \frac{8a^2 \cdot (a - 3b)(a + 3b) \cdot 3a}{(a - 3b) \cdot 6a^3 \cdot 4(a + 3b)} $

5. Теперь можно сократить общие множители в числителе и знаменателе:

• Сокращаем $(a-3b)$: $ \frac{8a^2 \cdot (a + 3b) \cdot 3a}{6a^3 \cdot 4(a + 3b)} $
• Сокращаем $(a+3b)$: $ \frac{8a^2 \cdot 3a}{6a^3 \cdot 4} $

6. Выполним умножение оставшихся членов в числителе и знаменателе:

• Числитель: $ 8a^2 \cdot 3a = 24a^3 $
• Знаменатель: $ 6a^3 \cdot 4 = 24a^3 $

7. В результате получаем дробь:

$ \frac{24a^3}{24a^3} $

При условии, что $a \neq 0$, $a \neq 3b$ и $a \neq -3b$ (чтобы знаменатели исходных дробей не были равны нулю), мы можем сократить эту дробь:

$ \frac{24a^3}{24a^3} = 1 $

Мы преобразовали левую часть выражения и получили 1. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Левая часть тождества после упрощения равна 1, что и требовалось доказать.